
- •1.Комплексные числа. Свойства. Формы записи.
- •2.Интегрирование простейших рациональных функций
- •3)Интегрирование рациональных функций методом неопределённых коэффициентов. Метод Остроградского.
- •4.Интегрирование тригонометрических функций
- •Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- •Примеры
- •13. Несобственный интеграл второго рода
- •15. Схема применения определённого интеграла
- •16. Вычисление площади плоских фигур
- •Вопрос 20
- •Вопрос 21 Формула метода трапеций.
- •Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона).
- •Вопрос 23
- •Вопрос 24
- •37 Приложения двойного интэграла 1. Вычисление площадей
- •2. Вычисление объёмов тел
- •3. Центр тяжести плоской фигуры
- •42 Приложения тройного интэграла . Вычисление объёма тела:
- •2. Вычисление массы тела переменной плотности γ (X; y; z):
- •3. Координаты центра тяжести тела с постоянной плотностью:
- •4. Координаты центра тяжести тела с переменной плотностью γ (X; y; z):
Вопрос 20
Суть метода прямоугольников.
Пусть
функция y
= f(x) непрерывна
на отрезке [a;
b].
Нам требуется вычислить определенный
интеграл .
Обратимся
к понятию
определенного интеграла.
Разобьем отрезок [a;b] на n частей точками
.
Внутри каждого отрезка
выберем
точку
.
Так как по определению определенный
интеграл есть предел интегральных сумм
при бесконечном уменьшении длины
элементарного отрезка разбиения
,
то любая из интегральных сумм является
приближенным значением интеграла
.
Суть метода прямоугольников заключается в том, что в качестве приближенного значения определенного интеграла берут интегральную сумму (далее мы покажем, какую именно интегральную сумму берут в методе прямоугольников).
БИЛЕТ21
Вопрос 21 Формула метода трапеций.
Формула
метода Симпсона (парабол) имеет
вид
.
Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона).
Красной линией изображен график функции y=f(x), синей линией показано приближение графика функции y=f(x) квадратичными параболами на каждом элементарном отрезке разбиения.
БИЛЕТ22
Исследование пределов и непрерывности в многомерных пространствах приводит ко многим нелогичным и патологическим результатам, не свойственным функциям одной переменной. Например, существуют скалярные функции двух переменных, имеющих точки в области определения, которые при приближении вдоль произвольной прямой дают специфический предел, и дают другой предел при приближении вдоль параболы. Функция
стремится
к нулю по любой прямой, проходящей через
начало координат. Однако, когда к началу
координат приближаются вдоль параболы ,
предел = 0.5. Так как пределы по разным
траекториям не совпадают, предела не
существует.
Функция имеет
пределом число A при стремлении
переменных
,
соответственно, к
,
если для каждого число
найдется
такое число
,
что
,
то есть
.
Функция называется
непрерывной в точке
,
если предельное значение этой функции
в точке
существует
и равно частному значению
.
Функция называется
непрерывной на множестве
,
если она непрерывна в каждой точке этого
множества.
БИЛЕТ23
Вопрос 23
Частная производная обобщает понятие производной на случай нескольких измерений. Частная производная функции нескольких переменных — это производная относительно одной переменной, все другие переменные при нахождении считаются константами.
Для упрощения ограничимся случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.
Пусть
в некоторой области имеем
функцию
;
возьмем точку
в
этой области. Если мы будем считать
и
за
постоянные значения
и
,
и будем менять
,
то
будет
функцией от одной переменной
(в
окрестности
);
можно поставить вопрос о вычислении ее
производной в точке
.
Придадим этому значению
приращение
,
тогда функция получит приращение
,
которое можно было бы назвать ее частным
приращением (по
),
поскольку оно вызвано изменением
значения лишь одной переменной. По
самому определению производной, она
представляет собою предел
.
Эта производная называется частной
производной функции
по
в
точке
.
Аналогично
определяются и частные производные
функции по
и
в
точке
.
Само вычисление частной производной
по существу не представляет ничего
нового по сравнению с вычислением
обыкновенной производной. Частные
производные могут быть объединены
интересными способами для создания
более сложных выражений производных.
В векторном
исчислении оператор
набла (
)
используется для определения
понятий градиента, дивергенции,
и ротора с
точки зрения частных производных.
Матрица частных производных — матрица
Якоби —
может использоваться для представления
производной функции (отображения) между
двумя пространствами произвольной
размерности. Таким образом производная
может быть представлена как линейное
преобразование, которое изменяется в
зависимости от точки из области
определения функции.
Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называют дифференциальными уравнениями в частных производных или (Д)УЧП. Эти уравнения как правило сложнее для решения чем обычные дифференциальные уравнения, которые содержат производные относительно только одной переменной.
БИЛЕТ24