![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Случайные события, действия над событиями
- •2.Классическое определение вероятности и ее свойства.
- •4.Формулы комбинаторики, гипергеометр. Распределение.
- •6. Формула полной вер-сти. Ф-ла Байеса.
- •7. Схема независимых испытаний Бернулли
- •8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •9. Функция распределения вероятности и ее свойства.
- •10. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.
- •11.Математическое ожидание и его свойства.
- •12. Дисперсия и её свойства.
- •13.Коэффициент корреляции и ковариация
- •14. Моменты
- •15. Основные дискретные распределения св.
- •16.Равномерное распределение.
- •Показательное распред. Наз.Распред.Вер-тей св,к-рое опис-ся плотностью
- •17. Нормальное распределение.
- •18. Двумерная функция распределения и ее свойства.
- •19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20. Независимость случайных величин
- •21. Условный закон распределения.
- •22. Неравенство Чебышева. Сходим.Случ.Посл-тей
- •23. Теорема Чебышева.Теорема Берелли.
- •24. Центральная предельная теорема.
- •25. Выборочный метод
- •26. Эмпирическая функция распределения.
- •27. Гистограмма и полигон.
- •28. Числовые характеристики выборки.
- •29.Точечное оценивание
- •30. Доверительные интервалы.
- •31.Стандартная ошибка точечной оценки
- •32. Распределение , Стьюдента и Фишера.
- •33.Довер.Интервалы для оценки мОпри известном
- •33. Доверит.Интервалы для оценки мо нормального распределения при неизвестном
- •35.Проверка статистических гипотез.
- •36. Построение критической области.
- •37. Критерий согласия Пирсона.
- •38.Вычисление теоретич.Частот для норм.Распр-ния.
- •39. Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.
- •40.Сравнение средних 2х норм.Выборок(Крит.Стьюдента)
- •41. Дисперсионный анализ
- •42.Парная регрессия
- •43. Парный коэффициент корреляции.
- •44. Проверка гипотез о достоверности коэфф.Корреляции.
6. Формула полной вер-сти. Ф-ла Байеса.
Пусть событие А может произойти только с одним из n несовместных событий H1…Hn, образующих полную группу:
Ø,
,тогда
.
По
правилу сложения вер-тей несовм.соб.получаем
.
А по правилу умноженияP(HiA)=P(Hi)P(A/Hi).
Откуда оканчательно имеем
- формулу
полной вероятности.
События H1, H2,…, Hn часто называют гипотезами.
Иногда
интересует, как перераспределятся
вероятности
гипотез
после того, как событие А уже произошло:
.
По теореме умножения
,
.
Подставляя в знаменатель формулу полной вероятности, получим формулу Байеса:
.
7. Схема независимых испытаний Бернулли
Пусть
производится n
независ.испытаний, в каждом из кот.может
появ.соб.А или не появится.Вер-сть
появления соб.,
не появления
,
.
Под элементарн.событием в схеме Бернулли поним.послед-сть наступлений и не наступл.соб.А в n испытаниях.
Требуется найти вероятностьPn(m) того, что соб.А в этих n опытах появиться ровно m раз.
Для
произвольных m
и n
вероятность одного элементарного исхода
равна pmqn-m
.
Число таких элементарных исходов равно
числу способов разместить m
единиц по n
местам, а это по определению есть число
сочетаний из n
элементов по m.
Получим формулу Бернулли
.
Часто в схеме Бернулли интересует вероятность появления события А не ровно m раз, а от m1 до m2 раз включительно. Тогда она определяется формулой:
8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
При
больших n
применение форм.Берн.затрудн-но из-за
сложности выч.факториалов и степеней.В
этом случ.исп-тся приближ.формулы.Рассм.2
случая: 1)или
;
2) p(0,1)и не близко ни к 0, ни к 1.
Теорема
Пуассона. If
в сх.Берн.,
так,что np
a,
тогда
.Замеч.:1)
–среднее
число появл.соб.А вn
испыт-ях.2как правило,теор.Пуассона
прим,когда
3)В
конце книг поТВесть табл.для подсчета
вер-ти для разл.aи
m.
Лок.предельная
теорема Муавра-Лапласа.If
вер-сть наступл. некот.соб.в n
независ.испыт.постоянна и=p,p(0,1),то
вер-сть того,что в этих испыт.соб.A
наступ.ровноmраз,
удовл.при n
соотнош.
,где
равном-но
по всемm,
для
кот.
наход.
в каком-то конечн. интервале; Ф-ция
-плотность
норм.распред.
Интегр.пред.теорема
Муавра-Лапласа.If
m-число
наступл. соб.в
n
независ.испыт.,в
каждом из кот-х вер-сть этого соб.=p,
p(0,1),то
равномерно относ-но a
и
b
(−∞<a<b<+∞)
n
имеет место соотношение
,
где
-ф-ция
Лапласа. Замеч.:1)Ф-ция
Лапласа нечетная:
=
-
.2)Ф0(z)
асимптотич-я и при
она
быстро стрем.к 0,5. Это стремл. настолько
быстрое, что при
можно
счит=0,5. 3)
Плотность норм.распред.
- четная функция.4)Ф-ции
,
в конце книг по ТВиМС заданы таблично.
9. Функция распределения вероятности и ее свойства.
Случ.велич.ξ, наз.величина, значеие кот.завис.от случая. Функция определенная на множестве элемент-х событий Ω.СВобознач.греч. буквами, напр.ξ(кси), η(эта) и т.д.,а их возможные значения малыми лат.буквами x1,x2,...,y1,y2… СВ бывают дискретные (если приним.конечное или счётное знач.), недискретные и др. Законом распред.дискретной СВ ξ наз. соответствие между возможными знач.и их вер-ми. Обычно для дискр. СВ ξ закон распред. изображ.в виде табл. Соб.ξ= x1;ξ=x2,… несовместны и образуют полную группу, поэтому ∑pi=1
Пусть
ξ-СВ и x
-произвольное действит.число.Вер-сть
того, чтопримет
знач.меньшее чем x
наз.функцией
распред. вер-ти.
.СВ
наз.непрерывной,
если ее ф-ция распред.F(x)непрерывна.
Функция распределения вероятностей явл. неслуч. функциикй, вычисленной на основ.закона распределения СВ.
Свойства функции распределения:
1.
, 0
, так как это вероятность.
2.
F(x) –неубывающая функция.т.е.
Следств:2.1)
Вер-сть
попаданияСВ в задан.интервал есть
приращ.ф-ции распред.на этом
интервале.P(x1≤≤x2)=F(x2)-
F(x1).
2.2)Вер-сть принять одно фиксиров.знач.для непрерывной СВ=0,т.к. функция распред.непрерывной СВнепрерывна.
2.3)
Вер-сть
попадания непрер.СВ в откр.или замкнутый
промеж. одинакова. P(a≤≤b)=
P(a<
≤b)=
P(a≤
<b)=
P(a<
<b).
3.
F(x)непрерывна
слева в кажд.точке
4.F(-∞)=0
5. F(+∞)=1