Тема 4.

4. 1. Слово «процент» имеет два наиболее употребительных значения. Первое – математическое - означает сотую долю какого-либо количества. В абстрактном случае – просто сотую долю числа. Второе - «экономическое»- выражает плату за использование средств (ссуда, кредит), предоставляемых одним лицом (кредитором) другому лицу (заемщику, дебитору). Величина суммы оплаты определяется обычно как процент (в математическом смысле) от суммы долга. В основе таких сделок лежат заранее оговоренные их субъектами правила получения дохода на процент от предоставления денег в долг. Таким образом, процент выступает как причина изменения стоимости денег во времени. Однако нужно помнить, что в финансовых расчетах процент рассматривается не только как плата за пользование заемными средствами, а шире – как показатель доходности любого вложения капитала.

Процентными деньгами, или процентами называют сумму, которую уплачивают за пользование денежными средствами. Это абсолютная величина дохода. Отношение процентных денег, полученных за единицу времени, к величине капитала называется процентной ставкой.

Методы финансово-экономических расчетов различны в зависимости от вида применяемых процентов. Относительно момента выплаты или начисления дохода за пользование предоставленными денежными средствами проценты подразделяются на обычные и авансовые.  Обычные (декурсивные) проценты начисляются в конце периода относительно исходной величины средств. Доход на процент выплачивается в конце периодов финансовой операции.

Если же доход, определяемый процентом, выплачивается в момент предоставления кредита, то данная форма расчетов называется авансовой или учетом, а применяемые проценты – авансовыми (антисипативными), которые начисляются в начале периода относительно конечной суммы денег.

Период начисления процентов – отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами взимания процентов или срок финансовой операции, если проценты начисляются 1 раз в год.

Практика уплаты процентов основывается на теории наращивания денежных средств по арифметической или геометрической прогрессии.

Арифметическая прогрессия соответствует простым процентам, геометрическая – сложным, т.е. в зависимости оттого, что является базой для начисления – переменная или постоянная величина.

Проценты делятся на:

- простые, которые весь срок обязательства начисляются на первоначальную сумму;

- сложные, база для начисления, которых постоянно меняется за счет присоединения ранее исчисленных процентов.

Рассмотрим методику начисления простых  процентов.

Пусть задана исходная (или современная, настоящая (present value PV)) стоимость денег и осуществляется ее наращение или рост, т.е. процесс увеличения стоимости денег за счет начисления процентов.  Наращенную (будущую) сумму денег через определенный период обозначим FV (future value), число процентных периодов, т.е. периодов начисления процентов – n, ставку процентов за период – i. Тогда простые декурсивные (обычные) проценты вычисляются следующим образом:

PV*i=I, где I (от английского слова interest) – сумма процентных денег, начисленных за единицу времени. PV*i*n=In, сумма процентных денег, начисленных за все (n) процентные периоды.

Процесс наращения суммы денег за счет начисления простых процентов выглядит как арифметическая прогрессия: PV,   PV+ PV*i,  PV+ 2*PV*i,   PV + 3*PV*i и т.д.

Тогда  будущая стоимость денег за счет начисленных простых процентов за n период имеет вид:

FV= PV + PV*i +  PV*i+……+  PV*i   =    PV*(1+ni), где  PV*n*i = In;

Например, банк выдал ссуду 20 млн.тенге на 2 года под 10% годовых. Нужно определить подлежащую возврату сумму, если простой процент начисляется за каждый год, а долг гасится единовременным платежом.

FV= PV*(1+ni) = 20* (1+2*0,1) = 24 млн. тенге.

FV= 20 + 20*0,1 + 20*0,1 = 24 млн. тенге.

FV= 20 + 20*2*0,1 = 20 + 4 = 24 млн. тенге.

Этой формулой пользуются для исчисления суммы погашения ссуды, предоставляемой под простые проценты, размера срочного вклада и др.

4.2 В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием сложных процентов. Принципиальное отличие сложных процентов от простых в том, что база для начисления процентного платежа (дисконта) меняется на протяжении всего срока финансовой операции за счет периодического присоединения (снятия) начисленного ранее дохода (скидки), в то время как база при использовании простых процентов остается неизменной.   Расчеты по правилу сложных процентов часто называют начисление процентов на проценты, а процедуру присоединения начисленных процентов их реинвестированием или капитализацией. Из-за постоянного роста базы вследствие реинвестирования процентов рост первоначальной суммы денег осуществляется с ускорением. Как правило, сложные проценты применяются в средне- и долгосрочных финансовых операциях. Но в любом случае, если начисленные проценты капитализируются, расчеты итоговой наращенной суммы следует вести по формулам сложных процентов,  а также при определении стоимости денег под влиянием инфляции и дисконтированием денежных сумм за ряд периодов времени в простом проектном анализе.

Если расчет осуществляется по ставке обычных процентов i , то формулу для определения наращенной суммы через  n периодов можно вывести, прослеживая путь наращения с учетом капитализации процентов в конце каждого из n периодов:

FV к концу первого периода = PV+ PV*i, 

 FV к концу второго периода = PV+ (PV*(1+i))i, 

FV к концу третьего периода = PV(1+i)², 

FV к концу n – го периода = PV(1+i)ⁿ, 

где i -  ставка процентов за период;

             n – срок финансовой операции и процентных периодов, т.к. проценты исчисляются по истечении каждого отрезка срока.

Согласно общей теории статистики, если известны цепные темпы роста, чтобы получить базисный, надо перемножить все имеющиеся цепные темпы роста. Ставка процента за период – цепной темп прироста, 1+i – цепной темп роста. Так как мы рассматриваем постоянную ставку за период, т.е. темпы роста постоянны, то общий базисный темп роста за весь период имеет вид:

         Тр = (1+i) *(1+i) *(1+i) *(1+i)= (1+i)ⁿ.

Выражение (1+i)ⁿ  называют коэффициентом (множителем) наращения.

        Таким образом, в финансовом анализе инвестиционных проектов обычно используются математические методы приведения поступлений  будущих периодов к настоящему (текущему) уровню, который называется дисконтированием, а также приведение настоящего (текущего) уровня к будущему, который называется методом наращения (компаундирования).

Сущность метода наращения состоит в определении суммы денег, которую  будет иметь инвестор в конце операции. Заданными величинами здесь являются исходная сумма инвестиций, срок и процентная ставка доходности, а искомой величиной сумма средств, которая будет получена после завершения операции. При использовании этого метода исследование денежного потока ведется от настоящего к будущему. Для определения стоимости, которую будут иметь  инвестиции через несколько лет, при использовании сложных процентов применяют следующую формулу:

                                     S  =   P(1+r) ^t 

где S – будущая стоимость инвестиций через t лет,

P – первоначальная сумма инвестиций,

r – ставка процентов в виде десятичной дроби,

t – число лет в расчетном периоде.

 Метод дисконтирования денежных поступлений (ДДП) – исследование денежного потока, наоборот – от будущего к текущему моменту времени. Он позволяет  определить, сколько денег нужно вложить сегодня, чтобы получить  определенную сумму в конце заданного периода. Для этого используется следующая формула:

                         P= S/ (1+ r) ^t = S* 1/(1+ r) ^t = S (1+ r)- ^t

  Этот метод используется для определения суммы инвестиций, которые необходимо вложить сейчас, чтобы довести их стоимость до требуемой величины при заданной ставке процента.

Например, для того, чтобы через пять стоимость инвестиций составила 1 млн 700 тысяч тенге при ставке 20%, сегодня нужно вложить 984 тысячи тенге ( Р = 1700/ (1+0,2)⁵). Другой пример, компания рассматривает вопрос о том, стоит ли вкладывать 150 млн. тенге в проект, который через 2 года принесет  доход 200 млн. тенге.  Принято решение вложить деньги только при условии, что годовой доход от этой инвестиции составит не менее 10%, которые можно получить, если бы положили деньги в банк. Для того, чтобы через 2 года получить 200 млн. тенге, компания должна вложить под 10% годовых 165 млн. тенге (200/ (1+ 0,1) ²). Проект дает доход в 200 млн. тенге при меньшей сумме инвестиций (150), это значит, что ставка дохода превышает 10%, следовательно, проект является выгодным.

     Дисконтирование денежных поступлений положено в основу методов определения чистой (приведенной) текущей стоимости  проектов и уровня их рентабельности. Об этом будет изложено позже.