Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",

42

в) вісь симетрії Oy і A(−2;3 2 ).

44

в) d : x =10 .

Задача 19. Скласти рівняння кола, яке проходить через вказані точки і має центр в точці A .

45

19.1.Фокуси гіперболи 5x2 −11y2 = 55 , A(0;5).

19.2.B(1;4), A - вершина параболи y2 = x −3 4 .

19.3.Лівий фокус еліпса 3x2 +7 y2 = 21, A(−1;−3).

19.4.Ліву вершину гіперболи 5x2 −9 y2 = 45 , A(0;−6).

19.5.Фокуси еліпса 24x2 −25 y2 = 600 , A - його верхня вершина.

19.6.Правий фокус гіперболи 57x2 −64 y2 = 3648 , A(2;8).

19.7.Лівий фокус еліпса 13x2 + 49 y2 =837 , A(1;8).

19.8.B(3;4), A - вершина параболи y2 = x +4 7 .

19.9.Фокуси гіперболи 4x2 −5 y2 = 20 , A(0;−6).

19.10.Праву вершину гіперболи 3x2 −25 y2 = 75 ,

A(−5;−2).

19.11.O(0;0), A - вершина параболи y2 = 3(x −4).

19.12.Фокуси еліпса 16x2 + 41y2 = 656 , A - його нижня вершина.

19.13.Вершину гіперболи 2x2 −9 y2 =18 , A(0;4).

19.14.Лівий фокус гіперболи 3x2 −5 y2 = 30 , A(0;6).

19.15.Правий фокус еліпса 33x2 +49 y2 =1617 , A(1;7).

19.16.O(0;0), A - вершина параболи y2 = − x +2 5 .

19.17.Фокуси гіперболи 4x2 −5 y2 =80 , A(0;−4).

19.18.Вершину гіперболи x2 −16 y2 = 64 , A(0;−2).

19.19.Фокуси еліпса 3x2 + 4 y2 =12 , A - його верхня вершина.

19.20.Лівий фокус гіперболи 3x2 −4 y2 =12 , A(0;−3).

19.21.Фокуси еліпса 9x2 + 25 y2 =1, A(0;6).

19.22.Вершини гіперболи 12x2 −13y2 =156 , A(0;−2).

46

19.23.Фокуси гіперболи 24x2 −25 y2 = 600 , A(0;−8).

19.24.B(2;−5), A - вершина параболи x2 = −2(y +1).

19.25.Правий фокус еліпса x2 + 4 y2 =12 , A(2;−7).

19.26.Вершини гіперболи 4x2 −9 y2 = 36 , A(0;4).

19.27.Праву вершину гіперболи 40x2 −81y2 = 3240 ,

A(−2;5).

19.28.Фокуси еліпса x2 +10 y2 = 90 , A - його нижня вершина.

19.29.Лівий фокус гіперболи 7x2 −9 y2 = 63 , A(−1;−2).

19.30.Праву вершину гіперболи 3x2 −16 y2 = 48 , A(1;3).

Задача 20.

20.1. Скласти рівняння і побудувати лінію, відстань кожної точки якої до прямої x +6 = 0 вдвічі більша відстані до точки

A(1;3).

20.2. Скласти рівняння і побудувати лінію, відстань кожної точки якої від точки A(2;0) і від прямої 5x +8 = 0 відносяться як 5:4.

20.3.Скласти рівняння і побудувати лінію, кожна точка якої рівновіддалена від точки A(2;6) і від прямої y + 2 = 0 .

20.4.Скласти рівняння і побудувати лінію, для кожної точки якої сума квадратів відстаней її від точок A(−3;3) і B(6;3)

дорівнює 81.

20.5. Фокуси еліпса розміщені на осі Oy симетрично відносно початку координат, а один з них співпадає з фокусом параболи x2 = −16 y . Відстань від однієї із точок еліпса до фо-

кусів рівна 3 і 7. Скласти рівняння еліпса. Зробити рисунок. 20.6. Скласти рівняння гіперболи і її асимптот, якщо відо-

мо, що гіпербола симетрична відносно осей координат, один із її фокусів співпадає з центром кола x2 + y2 −20 y +19 = 0 , а ексцентриситет рівний 1,25. Зробити рисунок.

47

20.7. Скласти рівняння і побудувати лінію, відстані кожної точки якої до точки A(2;3) і до прямої 5x +8 = 0 відносяться

як 5:4.

20.8. Скласти рівняння кола, яке дотикається директриси параболи x2 =16 y і має центр у фокусі цієї параболи. Зробити

рисунок.

20.9. Фокуси гіперболи розміщені на осі Ox симетрично відносно початку координат. Гіпербола проходить через точку M (5;3), а її уявна піввісь рівна 6. знайти ексцентриситет гі-

перболи і скласти рівняння її асимптот. Зробити рисунок. 20.10. Скласти рівняння параболи і її директриси, якщо ві-

домо, що парабола проходить через точки перетину прямої y = 2x з колом x2 + y2 −10 y = 0 і вісь Ox є віссю симетрії параболи. Зробити рисунок.

20.11.Сума відстаней однієї із точок еліпса до його фокусів рівна 6, а довжина хорди, яка проходить через фокус і перпендикулярна більшій осі, рівна 2. знайти ексцентриситет еліпса. Зробити рисунок.

20.12.Написати рівняння траєкторії точки M , яка при своєму русі залишається весь час у півтора рази далі від точки

F(0;6) ніж від прямої y = 83 . Зробити рисунок.

20.13. Через фокус параболи y2 =8x і через ту її точку,

абсциса якої дорівнює 0,5, а ордината додатня, проведена пряма. Обчислити відстань від центра кола

x2 + y2 +6x +4 y −3 = 0 до цієї прямої. Зробити рисунок.

20.14. Відстань між кінцями малої і великої осей еліпса в півтора рази більша відстані між його фокусами. Знайти ексцентриситет еліпса і скласти його рівняння в системі координат, в якій фокуси еліпса розміщені на осі Ox симетрично відносно початку координат, а еліпс проходить через точку M 0 (5;2). Зробити рисунок.

20.15. Скласти рівняння кола, яке проходить через фокуси еліпса x2 + 4 y2 =16 і має центр у вершині еліпса, ордината

48

якого є від’ємною. Знайти точки перетину цього кола з віссю Oy . Зробити рисунок.

20.16. Точка P ділить відрізок між фокусами гіперболи 9x2 −16 y2 =144 , який має початок в фокусі з від’ємною абс-

цисою, у відношенні 1:4. Скласти рівняння перпендикулярів опущених з точки P на асимптоти гіперболи. Зробити рисунок.

20.17. Малу вісь еліпса видно із його фокуса під кутом 120°, а відстань між кінцями малої і великої осей рівна 7. Знайти ексцентриситет і відстань між фокусами еліпса. Зробити рисунок.

20.18. Скласти рівняння і побудувати лінію, для кожної точки якої квадрат її відстані до точки A(5;4) більше квадрата

відстані до точки B(−2;2) на 10.

20.19. Скласти рівняння і побудувати лінію, кожна точка якої знаходиться від точки A(−3;3) втричі далі, ніж від точки

B(5;1).

20.20. Скласти рівняння і побудувати лінію, кожна точка якої віддалена від прямої x −2 = 0 уп’ятеро дальше, ніж від точки A(4;−3).

20.21. Скласти рівняння і побудувати лінію, для кожної точки якої відстані до точок A(2;−4) і B(3;5) відноситься як

2:3.

20.22. Скласти рівняння і побудувати лінію, для кожної точки якої сума квадратів відстаней її від точок A(−5;3) і

B(2;−4) рівна 65.

20.23. Скласти рівняння перпендикулярів, опущених із фо-

сунок.

20.24. Скласти рівняння кола, діаметр якого є відрізок прямої y = 2x +9 , який відтинається гіперболою xy = 5 . Зро-

бити рисунок.

49

20.25. Скласти рівняння лінії, кожна точки якої рівновіддалена від прямої x +6 = 0 і від початку координат. Зробити рисунок.

20.26. Скласти рівняння еліпса, симетрично розташованого відносно осей координат, якщо один з його фокусів співпадає

з фокусом параболи x2 = −12 y , а відстані однієї з його точок

до його фокусів дорівнюють 4 і 6. Зробити рисунок.

20.27. Скласти рівняння гіперболи з асимптотами 3x ± y = 0 , яка дотикається до прямої 2x − y −3 = 0 . Зробити

рисунок.

20.28. Скласти рівняння траєкторії точки, яка рухається так, що її відстань від точки A(2;3) рівна її відстані до прямої 3x + 4 y −5 = 0 . Зробити рисунок.

20.29. Струмінь води, що створений фонтаном, має форму параболи, параметр якої p = 0,1. Знайти висоту струменя, як-

що відомо, що вона падає на відстані 2 м від місця виходу. 20.30. Мостова арка має форму параболи. Визначити пара-

метр цієї параболи, знаючи, що проліт арки 24м, а висота 6м.

Задача 21. Побудувати криву, задану рівнянням в поляр-

50

Задача 22. Скориставшись методом паралельних перерізів, встановити тип, дослідити форму заданих поверхонь та побудувати їх.