Lektsiyi_7-15
.pdf
Лекція 11 СТАТИЧНО НЕВИЗНАЧЕНІ СИСТЕМИ
11.1 Ступінь статично невизначеної системи
Як вже раніше вказувалось, статично невизначеними називаються системи, в яких реакції і внутрішні силові фактори не можна знайти тільки з рівнянь статики. В таких системах більше зв'язків, ніж тих, що потрібні для рівноваги. Такі зв'язки називаються зайвими, а зусилля в них
— зайвими невідомими. Кількість зайвих невідомих вказує ступінь статичної невизначеності системи.
На рис. 11.1а показана балка на двох опорах — система статично визначена і геометрично незмінна. Всі три реакції ( R А , Н А , R B ) визначаються з трьох рівнянь статики. Використовуючи метод перерізів, можна знайти Q(x) і М(х) в довільному перерізі.
Додамо ще один зв'язок, наприклад, шарнірно-рухому опору в перерізі С (рис. 11.1 б). Хоча в результаті цього система стала більш міцною і жорсткою, однак з точки зору геометричної незмінності цей зв'язок зайвий. Тепер з 3 рівнянь рівноваги чотири реакції ( R А , Н А , RВ,RС) знайти не можна. Таким чином, балка на рис. 11.1 б, один раз статично невизначена.
На рис. 11.2 а балка один раз статично невизначена. На рис. 11.2 б, в балки два рази статично не визначені.
11.2 Канонічні рівняння методу сил
Розрахунок статично невизначеної балки пояснимо на прикладі балки, показаної на рис. 11.3 а.
1. Встановлюємо ступінь статичної невизначеності балки. Кількість невідомих реакцій - 5; кількість рівнянь статики - 3; різниця 5-3=2, отже, балка двічі статично невизначена.
2.Відкидаючи зайві зв'язки, утворюємо основну систему (рис. 11.3 б). Основна система (о.с.) повинна бути статично визначеною і геометрично незмінною. Можливі різні варіанти основних систем. Раціональний вибір о.с. спрощує розрахунок.
3.Навантажуємо основну систему заданим навантаженням і реакціями відкинутих зв'язків. Така система називається еквівалентною системою (е.с.) рис. 11.3 в.
4.Щоб деформації і внутрішні зусилля заданої системи і еквівалентної були однаковими, прирівнюємо до нуля переміщення точок прикладання невідомих реакцій по напрямку їх дії. Тобто
(11.1)
На основі закону незалежності дії сил можна кожне і переміщень зобразити як суму переміщень від дії зайвих невідомих і переміщень від дії заданого навантаження. Тоді (11.1) набувають вигляду
(11.2) - Перший індекс при означає точку і напрямок її переміщення, другий вказує від якого складового фактору шукається переміщення. Наприклад, — це переміщення точки прикладанні сили Х1 по напрямку ЇЇ дії від сили Х2; — це переміщення точки прикладання сили X 1 по
напрямку її дії від заданого навантаження.
Кожне з переміщень |
можна зобразити як добуток питомого |
|
переміщення |
від дії одиничної сиди на величину невідомої сили ХK |
|
Після підстановки значень переміщень в умову (11.2) одержимо систему рівнянь, з яких визначаються невідомі зусилля Х1 і Х2
(11.3)
Рівняння (113) називаються канонічними рівняннями методу сил. Така назва вказує на те, що ці рівняння записуються за відповідним правилом (каноном) і невідомими в цих рівняннях с сили або моменти, які являють собою реакції відкинутих зв'язків. Кількість таких рівнянь дорівнює ступеню статичної невизначеності заданої системи.
Питомі переміщення, які мають однакові індекси, називаються головними коефіцієнтами, а питомі переміщення, які мають неоднакові індекси — бічними коефіцієнтами канонічних рівнянь.
Переміщення і , які входять в канонічні рівняння (11.3), як правило визначають за методом Мора або за способом Верещагіна. Якщо для балки або рами прямокутного перерізу відношення висоти перерізу до довжини прольоту <0,2, то при визначенні переміщень впливом поперечних сил можна знехтувати.
Слід мати на увазі, що в реальних балочних або рамних конструкціях відношення h/l < 0,1. Тому при визначенні переміщень за формулою Мора доцільно враховувати лише згинальні моменти. Тоді за формулою (10.1)
̅
∫ ; ∫
∫
|
̅ |
∫ |
̅ ̅ |
|
|
∫ |
̅ ̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
̅ ̅ |
∫ |
̅ |
̅ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
На основі теореми про взаємність переміщень коефіцієнти мають властивість
СТІЙКІСТЬ СТИСНУТИХ СТЕРЖНІВ
11.3Поняття про стійкі і нестійкі форми рівноваги
Зтеоретичної механіки відомо, що рівновага твердих тіл може бути стійкою, нестійкою та байдужою. Так, на рис. 11.4 а, 11.4 б, 11.4 в положення рівноваги кульки відповідно стійке, нестійке і байдуже. На відміну від форм рівноваги абсолютно твердого тіла, які залежать лише від його положення, форми рівноваги реальних деформованих тіл залежать від їх матеріалу, форми, співвідношення розмірів і величини прикладених сил.
Розглянемо рівновагу прямого стержня, який стискається силою F. До певної величини стискаючої сили F стержень, відхилений від вертикального положення силою Q, під дією внутрішніх сил повертається у початковий стан, якщо силу Q усунути; це означає, що його прямолінійна форма рівноваги є стійкою (рис. 11.5 а). Коли сила F досягає критичного
значення, яке ми позначимо через Fкр, стержень, виведений із прямолінійної форми, може повернутися до неї, але може також залишитися злегка зігнутим, коли сила Q перестала діяти (рис. 11.5 б).
Якщо F > Fкр , прямолінійна форма рівноваги не зберігається, стержень сильно скривлюється і набуває нової, криволінійної форми рівноваги (рис. 11.5 в) або руйнується.
Отже, критичною силою для прямого стержня ми називаємо ту найменшу стискуючу силу Fmin, прямолінійна форма рівноваги стержня стає нестійкою.
При розрахунку на стійкість критична сила аналогічна руйнуючій при розрахунку на міцність. Щоб забезпечити стійкість, необхідно, щоб F [ ]
Тут
[ ]
де - допустимий коефіцієнт запасу стійкості.
Лекція 12
12.1 Визначення критичної сили за формулою Ейлера
Для розрахунків стиснених стержнів на стійкість треба знати способи визначення критичної сили F^. Розглянемо стиск стержня силою F, величина якої трохи більше, ніж Fкр і стержень знаходиться у злегка зігнутому стані (рис. 12.1 а).
Диференціальне рівняння зігнутої осі стержня маг вигляд
( |
) |
( |
) |
(12.1) |
Так як абсолютна величина згинального моменту |
|
|||
| |
( )| |
| |
| |
|
а знак прогину у і другої похідної у" завжди протилежні, то рівняння (12.1) мас вигляд
( ) |
(12.2) |
Зауважимо, що незалежно від того, куди зігнеться стержень: вліво (рис. 12.1 а) або вправо (рис. 12.1 б) і незалежно від вибору осі у, диференціальне рівняння завжди має вигляд (12.2).
Запишемо (12.2) у вигляді
=0
або
(12.3)
де
(12.4)
Загальний розв'язок цього однорідного лінійного диференціального рівняння записується, як відомо, так:
|
(12.5) |
Сталі інтегрування А і В визначаємо з граничних умов |
|
y(0)=0; y(l)=0 |
|
З першої умови маємо |
|
З другої умови одержуємо |
|
|
(12.6) |
Оскільки А≠0 (в протилежному разі не було б згину стержня, бо якщо |
|
A = 0 і B = 0, то у 0, а ми припустили, що стержень зігнувся), то |
|
|
(12.7) |
Визначаємо з (12.7) к і підставимо в (12.4), знаходимо
F= |
|
(12.8) |
|
Найменше значення F=Fкр відмінне від нуля, одержимо з (12.8) при
I=Imin і n=1. Тоді
(12.9)
Формула (12.9) вперше була одержана Ейлером у 1744 р. і називається формулою Ейлера для критичної сили для стержня з шарнірним закріпленням кінців. Значенню F = Fкр відповідає зігнута вісь стержня у вигляді півхвилі синусоїди (рис. 12.1 а) з рівнянням
(12.10)
Найбільший прогин стержня утах = А при х = l / 2 . Отже, А — це найбільший прогин посередині стержня.
З формули (12.9) видно, що Fкр пропорційна найменшій жорсткості стержня ЕІтіп, гак як очевидно, що прогин стержня відбувається завжди в площині найменшої жорсткості, яка перпендикулярна до осі z, відносно якої момент інерції поперечного перерізу стержня Iz = Imin.
Для визначення критичної сили при інших способах закріплення кінців стержня треба знов інтегрувати рівняння (12.3) при відповідних граничних умовах. Наведемо формулу Ейлера без доведення для загального випадку
|
(12.11) |
|
( ) |
||
|
де µl — зведена довжина стержня, а µ — коефіцієнт зведення довжини, який залежить від способу кріплення кінців стержня. На рис. 12.2 зображено способи кріплення кінців стержня, які найчастіше застосовують, і наведено значення µ.
12.2 Межі придатності формули Ейлера. Формула Ясинського
Виведення формули Ейлера грунтується на законі Гука, який дійсний доти, поки напруження не перевищує межі пропорційності σпц. Для визначення меж застосування формули Ейлера знайдемо критичне напруження в стержні σкр,яке виникає під дією критичної сили. Розділивши Fкр на площу поперечного перерізу стержня А, одержимо
|
|
|
|
|
(12.12) |
( ) |
( ) |
|
|||
|
|
|
|||
— мінімальний радіус інерції поперечного перерізу стержня; λ — гнучкість стержня, безрозмірна величина. Формулою Ейлера можна користуватися тільки тоді, коли