Линейная алгебра

Т.к. определитель матрицы не равен нулю, то обратная матрица существует.

Вычислим алгебраические дополнения Aik по формуле Aik ( 1)i k M ik .

Для того чтобы проверить, правильно ли найдена обратная матрица, нужно использовать определение, т.е. проверить, выполняются ли равенства A 1 A E ; A A 1 E . Найдем произведение A 1 A :

Решение. а) Для системы уравнений (1) выберем за «ведущее» первое уравнение и будем исключать неизвестное x2 из второго и третьего уравнений. Для этого к левой и правой частям второго уравнения прибавить соответственно левую и правую части первого «ведущего» уравнения, а из левой и правой части третьего уравнения вычесть соответственно левую и правую части первого уравнения. Система уравнений примет вид:

В полученной системе уравнений (2) за «ведущее» уравнение примем второе уравнение и исключим неизвестное x1 из третьего уравнения. Для этого из левой и правой частей третьего уравнения вычтем соответственно левую и правую части второго уравнения.

Система уравнений (2) примет вид:

б) Для решения с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений (1) в матричной форме, введя матрицы A,X,B. Матрица A составляется из коэффициентов при неизвестных, Х – матрица – столбец из неизвестных, В – матрица – столбец из свободных членов.

4 8 4 8 2 8 6 0

-обратная матрица существует. ( вычислен по правилу треугольника).

Вычислим алгебраические дополнения по формуле Aik ( 1)i k M ik .

Найдем матрицу Х:

Решение системы найдено верно, т.к. получили три верных тождества. Задача 5. Даны векторы a1 , a2 , a3 ,b .

а) Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис трехмерного пространства.

б) Найти координаты вектора b в новом базисе.

Решение. 1. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Три вектора в трехмерном пространстве линейно независимы, если определитель, составленный из координат этих векторов не равен нулю.

Составим и вычислим определитель третьего порядка и вычислим его по правилу треугольника.

1 27 16 12 6 6 42 0

Т.к. определитель 0, то векторы a1 , a2 , a3 образуют базис.

2. Запишем разложение вектора b по этому базису (или представим вектор b в виде линейной комбинации векторов базиса)

bx1 a1 x2 a2 x3 a3 , (1)

-где x1, x2, x3 - неизвестные коэффициенты разложения, подлежащие определению.

Запишем векторное уравнение (1) в координатной форме:

(7;0;7) x1 (1; 3;4) x2 (2;1;3) x3 (3; 2;1) (2)

От уравнения (2)перейдем к системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Для этого используем правило умножения числа на вектор, правило сложения векторов и условие равенства векторов в координатной форме.

Найдем решение данной системы методом Гаусса.

Примем первое уравнение за «ведущее» и исключим неизвестное x1 , из второго и третьего уравнений. Для этого ко второму и третьему уравнению прибавим первое, умноженное соответственно на 3 и (-4). Получим эквивалентную систему уравнений вида:

5x2 11x3 21

Будем исключать неизвестное x2 . Для этого левую и правую части второго уравнения разделим на 7, а затем к третьему уравнению прибавим второе, умноженное на 5.

Из третьего уравнения найдем x3 . Подставим значение x3 1 во второе уравнение последней системы и найдем x2 2 . Значение x2 и x3 подставим в первое уравнение и найдем x1 . Найденные значения коэффициентов разложения подставим в равенство (1) и получим разложение вектора b по базису векторов a1 , a2 , a3 .

b 0 a1 2a2 1 a3 , т.е. b 2a2 a3

Координаты вектора b в новом базисе: b(0;2;1;) .

Замечание. Чтобы проверить – правильно ли решена система уравнений (3), нужно найденные значения x1 , x2 , x3 подставить в каждое уравнение системы. Если каждое уравнение обратится в тождество, то решение системы найдено верно.

Задачи 41-50

Предварительно ознакомьтесь со следующими вопросами по теме «Аналитическая геометрия на плоскости»:

1. Метод координат на плоскости. Расстояние между двумя точками на плоскости A(x1, y1 ) и B(x2 , y2 ) определяется по формуле

2. Деление отрезка AB пополам точкой C(x, y) (нахождение середины отрезка):

3.Угловой коэффициент прямой: k tg , где - угол наклона прямой

коси ox , 0 .

4.Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y kx b .

5.Уравнение прямой, проходящей через заданную точку x0 , y0 в

данном направлении (уравнение пучка прямых):

y y0 k x x0 .

где k1 и k2 - угловые коэффициенты данных прямых.

9. Условие параллельности двух прямых: k1 =k2.

10. Условие перпендикулярности двух прямых: k1 k12

11. Расстояние от точки (x0 ; y0 ) до прямой Ax By C 0 :

d Ax0 By0 C

A2 B2

Обратите внимание, что уравнение прямой, в каком бы виде оно ни было записано, является уравнением первой степени.

Задача. Даны вершины треугольника А(2;1), В(-4;4), С(-1,5). Сделать чертеж и найти:

1)длину стороны АВ;

2)внутренний угол А в радианах с точностью до 0,001;

3)уравнение высоты CD, проведенной через вершину С;

4)уравнение медианы BE, проведенной через вершину В;

5)точку пересечения высоты CD и медианы BE;

6)длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение. Начнем решение задачи с выполнения чертежа (рис 1). Построим точки А(2;1), В(-4;4), С(-1;5) в прямоугольной системе

координат и, соединив их отрезками прямых, получим треугольник ABC. Проведем высоту CD и медиану BE, уравнения которых нужно найти.

Рис. 1

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками

А(2;1) и В(-4;4) по формуле:

2. При ответе на вопрос пункта 2 (найти внутренний угол) воспользуемся чертежом. Отметим искомый угол А дугой и на ней поставим стрелку, показывающую направление, противоположное движению часовой стрелки. Первой будет та прямая, от которой, направлена стрелка. Так, на рис. 1 первая прямая АС, вторая - АВ.

Следовательно, в формуле надо положить k1 k AC и k2 k AB

Найдем указанные угловые коэффициенты прямых. Для этого нет необходимости составлять их уравнения, проще воспользоваться формулой, где угловой коэффициент прямой находится по координатам двух ее точек.

Так, в нашем примере:

Заметим что tgA 0 , так как угол А - острый.

Из таблицы (например, Брадиса) видно, что такое значение тангенса соответствует углу А=26°34/.

Обратите внимание на то, что ответ следует дать в радианах. Для перевода градусов в радианы можно воспользоваться соответствующими таблицами, либо формулой:

α - угол в градусах. Итак, в радианах угол

A 26 34' 0,01745 26 3460 0,01745 26,5667 0,01745 0,464 рад.

3. Составим уравнение высоты CD. Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Угловой коэффициент прямой АВ был найден ранее:

kAВ = -1/2

По условию перпендикулярности двух прямых

Уравнение высоты СD cоставим по известной точке С (-1;5) найденному угловому коэффициенту, воспользовавшись уравнением пучка прямых

yy0 k(x x0 ) y 5 2(x 1) .

Ответ обычно дают в виде уравнения с целыми коэффициентами и с правой частью, равной нулю. Преобразуем полученное уравнение:

y 5 2x 2 или 2x y 7 0 . (CD)