Линейная алгебра

Программа по дисциплине «Линейная алгебра»

Раздел I. Элементы линейной и векторной алгебры

1.Определители второго и третьего порядка, их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки и столбца. Понятие об определителях n-го порядка.

2.Понятие системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методами Крамера, Гаусса и методом обратной матрицы.

3.Понятие n-мерного вектора. Линейно зависимые, линейно независимые системы векторов. Теоремы о линейной зависимости и независимости векторов. Ранг и базис системы векторов. Разложение векторов по единичному и произвольному базису.

4.Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Ранг матрицы и его вычисление. Понятие обратной матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Теорема Кронекера - Капелли.

Раздел II. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

1.Числовая ось. Декартова система координат на прямой, на плоскости, в пространстве. Координаты точки.

2.Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.

3.Понятие об уравнении линии. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой и его исследование. Уравнение прямой, проходящей через одну и через две точки. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Пересечение двух прямых.

4.Неравенства первой степени. Решение неравенства. Графическое решение системы линейных неравенств.

5.Канонические уравнения кривых вторых порядка: окружности, параболы, эллипса, гиперболы.

Раздел III. Комплексные числа

1.Комплексные числа, действия с ними.

2.Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.

3.Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

4.Корни из комплексных чисел.

Литература

1.Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / Н.Ш. Кремер. – 2 изд. М.: ЮНИТИ, 2001.

2.Зайцев, И.А. Высшая математика: учебник / И.А. Зайцев. – 3-е

изд., испр. – М.: Дрофа, 2004. - 400 с.

3.Баврин, И.И. Высшая математика: учебник для студентов естественно – научных специальностей / И.И. Баврин – М.: «Академия», Высшая школа, 2002.

4.Кудрявцев, В.А, Демидович, Б.П. Краткий курс высшей математики: учебник / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович - 6 изд. – М.: Наука Главная редакция физико-математическая литература, 1996.

5.Данко, П.Е., Попов, А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2-х частях»: учебное пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов – 5-е изд., исправленные. М.: Высшая школа, 1998.

6.Шипачев, В.С. Курс высшей математики: учебник / В.С. Шипачев

-М.: Т.К. Велби, изд. Проспект, 2004.

Методические указания к выполнению контрольной работы

В предлагаемых методических указаниях решены задачи, аналогичные тем, которые даются студентам-заочникам в контрольных работах; обращено внимание на основные трудности и типичные ошибки, которые допускаются при выполнении контрольных работ.

Перед решением каждой задачи предлагаем ознакомиться с основными вопросами теории. Перечисленные ниже вопросы по каждой теме являются основными при защите контрольных работ.

Контрольная работа №1

Первая контрольная работа посвящена темам: «Элементы линейной и векторной алгебры», «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве», «Комплексные числа».

Задачи № 1-10; 11-20; 11-30.

Данные задачи относятся к теме «Элементы линейной и векторной алгебры». Ознакомьтесь со следующими вопросами по этой теме:

1. Определители n-го порядка, их свойства и вычисление. Миноры и алгебраические дополнения.

Определитель n-го порядка имеет вид:

aik - элементы определителя, при этом i 1,2,3,....., n ; k 1,2,3,....., n

i - номер строки, k - номер столбца, на пересечении которых находится элемент ai k .

Определение1. Минором M ik элемента aik определителя (1) называется определитель (n-1)-го порядка, полученный путем вычеркивания i -ый строки и k -ого столбца.

Определение 2. Алгебраическим дополнением (адъюнктом) элемента ai k определителя (1) называется произведение минора M i k этого элемента на множитель ( 1)i k , т.е. Ai k ( 1)i k M i k .

Определение 3. Определителем (детерминантом) n-го порядка (n 2) называется число, равное сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения, т.е.

Запись по формуле (2) называется разложением определителя (1) по элементам первой строки. Определение позволяет вычислить определитель, понижая его порядок последовательно до определителя второго порядка вида:

С помощью свойств определитель можно разложить по элементам любой строки и любого столбца и в любой строке (столбце) вместо элементов, кроме одного, можно получить элементы равные нулю. Это облегчит вычисление определителя. Этого можно достичь, используя очень важное свойство:

величина определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число 0 .

2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера, методом Гаусса.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

определитель системы составлен из коэффициентов при неизвестных, т.е.

a11 a12 a13

a21 a2 2 a2 3 , a31 a3 2 a33

определители 1 , 2 , 3 составлены из определителя системы уравнений (1) путем замены соответственно первого, второго и третьего столбца столбцом из свободных членов (b1 ,b2 ,b3 ) .

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных. Для этого выбираем, например, первое уравнение за «ведущее». Из второго и третьего уравнения системы (1) вычитаем «ведущее», умноженное

неизвестные x2 из уравнения системы уравнений (2). Система примет вид:

Из третьего уравнения системы (3) найдем неизвестные x3 , из второго -

x2 , а из первого уравнения - x1 .

Замечание. Системы линейных уравнений (1), (2) и (3) эквивалентны. 3. Линейно зависимые и независимые векторы. Ранг и базис системы

векторов. Разложение вектора по единичному и произвольному базису.

выполняется при условии, когда все i 0 , то векторы линейно независимы. Определение 1. Рангом n мерного пространства называется

максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Определение 2. Любая система n линейно независимых векторов n –

мерного пространства называется базисом этого пространства.

Из этого определения и теоремы о линейной независимости n векторов n – мерного пространства следует, что любая система n – мерных векторов образует базис n – мерного пространства, если определитель, составленный из координат, не равен нулю.

Например, единичные векторы e1 , e2 , e3 en n – мерного пространства образуют единичный базис.

Замечание. Ранг n – мерного пространства совпадает с размерностью пространства.

4. Матрицы, виды матриц. Действия над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица и ее вычисление.

Матрицей Аm n называется таблица, т.е.

m n - размерность матрицы, m – число строк, n – число столбцов в матрице, aik - элементы матрицы (i = 1,2,3 … m, k = 1,2,3 … n).

Замечание. Матрица – это таблица, и смешивать ее с определителем нельзя!

Строки и столбцы матрицы можно рассматривать соответственно как n

– мерные векторы и m – мерные векторы.

Определение 1. Минором r – го порядка матрицы (1) называется определитель r – го порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых r строк и r столбцов.

Определение 2. Рангом матрицы называется наивысший порядок ее минора, отличного от нуля.

Определение 3. Рангом матрицы называется максимальные числа линейно независимых векторов – строк и векторов – столбцов. Обозначается r (A).

Замечание. Произведение матриц существует, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы В.

Пусть дана квадратная матрица

Определение 5. Квадратная матрица n – порядка называется неособенной (невыраженной), если её ранг равен n, т.е. определитель

Умножим равенство A X B слева направо на A 1 , получим

A 1 A X A 1 B , т.к. A 1 A E ; EX X , то X A 1 B -

формула для решения системы уравнений с помощью обратной матрицы. Рассмотрим задачи.

Для нахождения произведения используем правило умножения матриц. (см. п. 4 определение 4)

Определители второго порядка вычисляются по формуле:

Задача 2. Выяснить, существует ли для данной матрицы А обратная матрица.

Решение. Обратная матрица вычисляется по формуле

где - определитель матрицы А, т.е. (A) . Вычисляем определитель матрицы А:

Обратная матрица не существует.

Задача 3. Найти матрицу, обратную для данной матрицы А. Сделать проверку.

Решение. Обратная матрица вычисляется по формуле

где - определитель матрицы А. Вычислим определитель.