Физика. Электромагнетизм

q= q0 e− βt cos(ωt + α );

§частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение описывает затухающие колебания в контуре и с те- чением времени обращается в нуль . Вынужденные колебания в системе

будут описываться частным решением неоднородного дифференциального уравнения (4). Оно имеет вид

После подстановки в формулу (6) выражений для частоты собствен-

Из формул (8) и (10) следует, что амплитуды заряда на конденсаторе и тока в контуре зависят от частоты внешней э.д.с. Ω.

Графики зависимости q0 ( Ω ) и i0 ( Ω ) называются резонансными кривыми колебательного контура.

Затухающие колебания в контуре описаны в теоретическом введении к лабора-

торной работе №7.

Явление резонанса – резкое возрастание амплитуды колебаний в системе при

частоте внешнего воздействия, близкой к собственной частоте колебательной системы.

71

Рассмотрим резонансные кривые для силы тока. Они имеют вид кри- вых с максимумом (рис. 2).

Максимальное значение силы тока достигается при минимальном значении знаменателя в формуле (10), когда

Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с соб- ственной частотой контура.

Подставим выражение (11) в формулу (10), получим выражение для амплитуды силы тока при резонансе:

Отметим некоторые практические применения резонанса.

§Резонансные методы применяют для точного измерения ин- дуктивности и ёмкости систем.

§Резонанс в колебательном контуре используют для выделения из сложного напряжения нужной составляющей при настройке радиоаппа-

ратуры на определённую частоту Ωi.

Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно

ε = åε0 k × cos( Ωk t + αk ).

k

72

Параметры контура L и C подбираются таким образом, чтобы

LC1 = Ωi .

Относительная ширина резонансной кривой Определение добротности контура

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности. Добротность характеризует потери энергии в системе и оп-

ределяется общей формулой

В формуле (16) W(t) – энергия колебательной системы в момент времени t; W(t)–W(t + T) – убыль энергии за 1 период колебаний.

При малых затуханиях добротность колебательного контура опреде-

ляется приближенной формулой

Пусть вынуждающая ЭДС представляет собой сумму гармониче- ских ЭДС с различными циклическими частотами:

K =1

Результирующий ток в колебательном контуре также будет пред- ставлять сумму синусоидальных токов:

n

i = å IOK ×cos( ΩK t +ϕК ). (19)

K =1

Вследствие резонанса контур сильнее всего реагирует на ту состав- ляющую ЭДС, частота которой наиболее близка собственной частоте кон-

тура ω0 .

Выделение нужной составляющей из сложного напряжения (18) тем эффективней, чем острее резонансная кривая, то есть зависимость i0 ( Ω ).

Остроту резонансного пика можно охарактеризовать с помощью его

73

Получим выражение для относительной ширины резонансной кри-

вой ΔΩ . Зависимость амплитуды тока в колебательном контуре от часто-

ω0

ты внешней ЭДС имеет вид

Так как циклическая частота колебаний Ω не может быть величиной отрицательной, то физический смысл имеют только положительные корни уравнений (26) и (27):

74

Разность частот циклических частот Ω2 и Ω1 найдём, вычитая из выражения (28) выражение (29), получим

тота ν0 определяются экспериментально (рис. 3).

I0

I0max

I0max

2

Рис. 3. Определение относительной ширины резонансной кривой

Описание лабораторной установки

Принципиальная схема опытной установки изображена на рис. 4, а монтажная – на рис. 5.

75

С=1 мкФ

Рис. 4. Принципиальная схема установки

900 витков

Рис. 5. Монтажная схема установки

Колебательный контур содержит катушку индуктивности (L), имеющую сопротивление Rк и содержащую 900 витков, конденсатор ёмко- стью С. Для возбуждения вынужденных колебаний в контуре использует- ся генератор синусоидального напряжения, частоту колебаний которого можно изменять. При работе схемы в качестве вольтметра (V0) и ампер- метра (A1) используются виртуальные приборы.

Порядок выполнения работы

Соберите электрическую цепь (рис. 5). Для этого необходимо вы- полнить следующие операции:

76

1.Из набора миниблоков выберите одноэлементный миниблок (конденсатор С=1мкФ, 63 В) и вставьте его в соответствующие гнёзда (разъёмы) наборного поля.

2.Возьмите миниблок «Трансформатор с разъёмным сердечни- ком», удалите из него катушку с количеством витков W=300 (жёлтая) и одну половинку разъёмного сердечника. Вторую катушку с количеством витков W=900 (зелёная) и вторую половинку разъёмного сердечника уста- новите в наборное поле как показано на монтажной схеме.

3.Для измерения тока, напряжения и угла сдвига фаз в работе используются виртуальные приборы. Измерительные приборы A1 и V0 не-

обходимо подключить к схеме путем подсоединения соответствующих

пар гнезд коннектора. На коннекторе установить пределы: для напряже-

ния (V0) – 20 В, для тока (A1) – 500 мА.

4.После проверки схемы преподавателем подключите стенд к источнику питания.

5.Переключатель «форма» генератора напряжений специальной

формы необходимо установить в положение « » (синусоидальный сигнал); с помощью регулятора «амплитуда» установить максимальное напряжение на выходе генератора.

6.Включите компьютер и откройте блок виртуальных приборов «Приборы I». Активизируйте в верхнем окне этого блока прибор V0, а в третьем сверху – прибор A1 и установите род измеряемой величины «Дей- ствующее».

7.Выберите из меню позицию «Приборы II», в результате откро- ется блок виртуальных приборов «Приборы II». В верхнем окне этого бло- ка (слева) выберите две величины: A1 и V0; установите род измеряемой величины «Угол сдвига фаз».

8.Плавно изменяя частоту колебаний, добейтесь резонанса ; зна- чение резонансной частоты запишите в отчёт.

9.Изменяя частоту вниз и вверх от резонансной, снимите зави- симость тока и угла сдвига фаз от частоты. По мере удаления от резонанса шаг по частоте можно увеличить. Количество экспериментальных точек должно составлять не менее десяти. Результаты измерений занесите в таб- лицу.

10.Постройте графики зависимостей тока и угла сдвига фаз от

частоты.

11.Используя график зависимости тока от частоты, определите полуширину резонансной кривой так, как показано на рис. 3.

При резонансе амплитуда тока имеет максимальное значение, а угол сдвига фаз

между током и напряжением равен нулю.

77

Результаты измерения силы тока в контуре и угла сдвига фаз между током и напряжением в зависимости от частоты вынужденных колебаний

12.Рассчитайте добротность колебательного контура по формуле

Значение добротности запишите в отчет.

Контрольные вопросы

1.Какие процессы называют колебаниями? В чем состоит осо- бенность электромагнитных колебаний?

2.Что называется колебательным контуром? Чем реальный коле- бательный контур отличается от идеализированного?

3.Опишите физические процессы, происходящие в идеализиро- ванном колебательном контуре.

4.Какие колебания называются вынужденными?

5.Приведите дифференциальное уравнение вынужденных коле- баний и его решение.

6.Какое явление называется резонансом? Изобразите резонанс- ные кривые для силы тока в колебательном контуре при различных зату- ханиях.

7.Как изменяется амплитуда колебаний в контуре с увеличением сопротивления потерь контура? Какова была бы амплитуда колебаний, ес- ли бы сопротивление контура было равно нулю?

8.Что такое добротность контура? Как она определяется экспе- риментально?

78

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература

1.Савельев, И. В. Курс общей физики / И. В. Савельев. Кн.2. Электричество и магнетизм. – М.: Астрель, 2003. – 336 с.

2.Бондарев, Б. В. Курс общей физики / Б. В. Бондарев, Н. П. Ка- лашников, Г. Г. Спирин. Кн.2. Электромагнетизм. Оптика. Квантовая фи-

зика. – М.: Высшая школа, 2005. – 439 с.

3.Зисман, Г. А. Курс общей физики / Г. А. Зисман, О. М. Тодес. Т.2. Электричество и магнетизм. – СПб: Лань, 2007. – 352 с.

4.Фирш, С. Э. Курс общей физики / С. Э. Фирш, А. В. Тиморева.

Т.2. Электрические и электромагнитные явления. – СПб: Лань. – 2009. – 518 с.

5.Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. –

М.: Академия, 2008. – 720 с.

6.Волькенштейн, В. С. Сборник задач по общему курсу физики /

В. С. Волькенштейн. – СПб.: Книжный мир, 2003. – 328 с.

7.Трофимова, Т. И. Краткий курс физики / Т. И. Трофимова – М.: Высшая школа, 2009. – 352 с.

8.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова – М.: Акаде-

мия, 2008. – 558 с.

9.Трофимова, Т. И. Сборник задач по курсу физики с решениями

/Т. И. Трофимова. – М.: Высшая школа, 2007. – 592 с.

10.Сборник заданий по физике / под общ. ред. В. Ф. Новикова. – Тюмень: ТюмГНГУ, 2004.

Дополнительная литература

1. Электромагнетизм. Основные законы : учеб. пособ. для сту- дентов вузов / И. Е. Иродов. – 3-е изд., испр. – М.: Физматлит ; СПб: Нев- ский диалект ; М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. – 352 с.

2.Физика в таблицах и формулах : учеб. пос. для студентов вуза, обучающихся по техническим специальностям / Т. И. Трофимова. – М.:

Дрофа, 2002. – 432 с.

3.Физика. 500 основных законов и формул : справочник для сту-

дентов вузов / Т. И. Трофимова. – 3-е изд., стереотип. – М.: Высшая шко-

ла, 2000. – 63 с.

79