![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Задачи гидромеханики в бурении
- •§ 1. Базовые задачи гидродинамики при промывке и цементировании скважин
- •§ 2. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в щелевом канале
- •§ 3. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в кольцевом канале
- •§ 4. Задачи фильтрации при строительстве скважин
- •Формула дюпюи и ее обобщения
§ 4. Задачи фильтрации при строительстве скважин
ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ.
Формула дюпюи и ее обобщения
Одна из основных практически важных стационарных задач фильтрации – определение расхода жидкости при поглощении или проявлении пласта, искусственном нагнетании жидкости в пласт или отборе ее из пласта, а также определение параметров пласта и призабойной зоны при гидродинамических испытаниях скважин.
1. Простейшее решение этой задачи базируется на следующих предпосылках:
однородный изотропный пористый, трещиноватый или трещиновато-пористый пласт проницаемостью
ограничен непроницаемыми плоскостями
и
(кровля и подошва пласта) и проницаемыми цилиндрическими поверхностями
(стенка скважины),
(поверхность питания), на которых поддерживаются однородные граничные условия
|
(3.55) |
поры пласта заполнены однородной невесомой жидкостью вязкости
;
фильтрация происходит при жестком
или установившемся
ламинарном режиме.
Основные уравнения теории фильтрации в этом случае запишутся в виде
|
(3.56) |
|
(3.57) |
Подстановка (3.56) в (3.57) дает простейший вид уравнения Лапласа
|
|
Общим решением этого уравнения является функция
|
(3.58) |
где
и
– постоянные интегрирования, определяемые
граничными условиями (3.55).
В результате получим решение первой основной граничной задачи фильтрации (3.55 – 3.57):
|
(3.59) |
|
(3.60) |
где
– заданный перепад давления между
скважиной и пластом.
При поглощении
проявлении
пласта объемный расход жидкости через
любую цилиндрическую поверхность
,
в том числе и через стенку скважины,
|
(3.61) |
где
;
– соответственно коэффициент
гидропроводности, или просто
гидропроводность, и коэффициент
продуктивности, или просто продуктивность
пласта; размерность м3/Па.с.
Формула (3.61) впервые получена французским инженером Дюпюи и поэтому названа его именем.
2.
Используя формулу (3.61) в решении (3.59),
непосредственно решается вторая основная
граничная задача [см. условие (2.37)], когда
у стенки скважины
заданы
скорость фильтрации и расход жидкости
.
Распределение давления в этом случае
описывается формулой
|
(3.62) |
Важно
подчеркнуть, что это решение совпадает
с фундаментальным решением двумерного
уравнения Лапласа (2.34), когда в плоскости
действуют источник
или сток
интенсивности
.
Следовательно, влияние работы скважины на изменение давления в пласте аналогично работе источника (или стока). Этот результат часто используется как простой метод решения сложных задач фильтрации в прискважинной области. Далее мы неоднократно будем пользоваться этим методом.
3. В реальной ситуации благодаря наличию глинистой корки, зон кольматации, загрязнения, искусственной трещиноватости (при гидроразрыве) и т. д. проницаемость произвольной зоны скважины может сильно отличаться от проницаемости остальной части пласта. Учесть влияние этой неоднородности можно двумя способами.
Первый способ
заключается в замене граничного условия
условием вида (2.38)
|
(3.63) |
где
- безразмерный параметр, характеризующий
степень роста поверхностного сопротивления
при
(глинистая корка, кольматации, загрязнение
и т. д.) или его снижение при
(декольматации, поверхностные трещины,
установлен фильтр высокой проницаемости);
при
граничное условие (3.63) совпадает с первым
условием (3.39).
Используя общее
решение (3.58), граничное условие (3.63) и
условие
без труда найдем, что решение этой задачи
также имеет вид (3.58) – (3.61), необходимо
только заменить истинный радиус скважины
приведенным:
|
(3.64) |
В частности, формула Дюпюи (3.61) принимает следующий обобщенный вид:
|
(3.65) |
где
- приведенные коэффициенты гидропроводности
и продуктивности пласта;
НРМ-6-04
|
(3.66) |
Как будет показано ниже, к формуле (3.65) сводятся решения разных граничных задач фильтрации.
Параметр ОП дает количественную оценку снижения (при C>0) или увеличения (при S<0) гидропроводности и продуктивности пласта вследствие кольматации или декольматации приствольной части пласта. Поэтому он используется в настоящее время как основной показатель качества вскрытия продуктивных пластов, освоения и заканчивания скважин.
Для определения
показателя ОП необходимо, как следует
из формул (3.49) и (3.50), найти параметры
или параметрS
при известном отношении
.
Приведенная (или
фактическая) гидропроводность пласта
устанавливается по индикаторной
диаграмме (ИД) – зависимости
,
получаемой при исследовании скважины
методом установившихся отборов. Истинная
(или потенциальная) гидропроводность
пласта
определяется обычно по кривой
восстановления давления (КВД) –
зависимости
,
получаемой при исследовании скважины
на неустановившемся режиме фильтрации.
По КВД при дополнительных сведениях о
пласте находят параметрS.
Второй способ
решения данной задачи заключается в
рассмотрении плоско-радиальной фильтрации
для составной области, состоящей из
приствольной зоны
,
постоянной или переменной по
проницаемостью
,
и удаленной части пласта
с проницаемостью
.
Если принять
,
то для каждой из однородных областей
имеем решение вида (3.42)
|
(3.67) |
где
константы
определяются из 4-х граничных условий
|
(3.68) |
В результате простых вычислений получим следующее решение задачи [сравн. с формулой (3.62)]:
|
(3.69) |
где
- расход, определяемый по формуле
|
|
- гидропроводности
приствольной и удаленной частей пласта;
- приведенный радиус скважины:
|
(3.70) |
Сравнивая правые части (3.64) и (3.70), получим известную формулу для вычисления показателя «скин-эффекта»
|
(3.71) |
Отсюда и из формулы (3.66) следует:
|
|
Так как
очень близкие величины, то понятно, что
увеличение проницаемости приствольной
зоны оказывает слабое влияние на
гидропроводность пласта. В то же время
уменьшение проницаемости приствольной
зоны может оказать существенное влияние
на снижение гидропроводности пласта.
Например, при
и
получим
и
,
т. е. гидропроводность пласта уменьшится
в 2 раза. Но при
,
что соответствует увеличению диаметра
скважины в 2 раза, имеем
,
т. е. гидропроводность пласта увеличится
всего на 12%.
4.
В том случае, когда приствольная зона
скважины
представляет собой область непрерывного
изменения проницаемости
,
уравнение неразрывности(3.57)
видоизменится:
|
(3.72) |
Для удаленной
части пласта
распределение давления
соответствует решению (3.51), а для
приствольной зоны путем интегрирования(3.56)
находим
|
(3.73) |
Примем закономерность
изменения проницаемости в области
в виде
|
|
где
– проницаемость удаленной части пласта,
т. е. при
|
|
–проницаемость
стенки скважины
.
После
подстановки
в (3.73),
интегрирования
и определения постоянных
из граничных
условий (3.68) получим следующее решение
задачи:
|
|
где
,
а расход
вычисляется по обобщенной формуле Дюпюи
(3.65), в которой приведенный радиус
скважины надо принять
|
|
Используя
сходство этой формулы с формулой (3.70),
легко найти
параметр
,
исходя
непосредственно из формулы (3.71):
|
|
Пусть, например,
при бурении проницаемого интервала
на
стенке скважины сформирована глинистая
корка проницаемостью
,
т. е.
и
.
Принимая
и
,
получим
и
,
т. е. поглощение фильтрата бурового
раствора уменьшится более чем в 2 раза.
5. Если пласт содержит упорядоченную систему трещин, то в нем благодаря анизотропии проницаемости плоско-радиальный характер фильтрации не будет иметь место (см. разд. 2).
Рассмотрим случай,
когда одно из главных направлений
анизотропии Ox3
совпадает с направлением оси скважины
Oz
(например,
упорядоченная система вертикальных
трещин в вертикальной скважине). Тогда
два других главных направления анизотропии
Ох1
и Ох2
расположены
в плоскости
,
т. е. параллельно кровле и подошве пласта.
При заданных однородных граничных
условиях в скважине и на поверхности
питания (3.55) фильтрация будет плоской,
так как
,
но не радиальной. В плоскостих1х2
имеют место обобщенный закон Дарси [см.
формулу (2.40)]
|
|
и соответствующее ему уравнение неразрывности [см. формулу (2.42)]
|
(3.74) |
Как было сказано в разд. 2, введением новой системы координат
|
(3.75) |
уравнение (3.74), заданное в анизотропной плоскости х1х2, преобразуется в уравнение Лапласа
|
(3.76) |
для
изотропной плоскости
,
проницаемость которой
|
|
Принимая
скважину в качестве источника (или
стока) интенсивностью
,
получим, аналогично (3.62), поле давления
|
(3.77) |
где,
–
радиус контура питания в плоскости
.
Отсюда
следует, что эквипотенциальной
поверхностью
являются: окружность
в плоскости
и эллипс
в плоскостих1х2,
где
–полуоси
эллипса.
Это
означает, что контуром питания (где
)
в анизотропном
пласте может быть только эллипс
|
(3.78) |
Согласно
(3.59) этому эллипсу в плоскости
соответствует окружность
.
В то же время
окружность
преобразуется в эллипс
|
(3.79) |
Поэтому
в строгой постановке первая основная
граничная задача формулируется так:
найти решение уравнения (3.76), удовлетворяющее
условию
в точках эллипса (3.79) и условию
на окружности
.
Однако
для определения расхода
‚
достаточно
хорошее приближение получается, если
эллипс (3.79) заменить эквивалентной
окружностью радиуса
|
(3.80) |
Используя в (3.61)
условие
при
получим
|
(3.81) |
Если истинный эллиптический контур питания (3.78) заменить условным – окружностью радиуса
|
(3.82) |
то,
выразив
через
и подставив
полученное выражение и соотношение
(3.80) в (3.81) придем к обычной формуле Дюпюи
(3.65), в которой
,
а приведенный
радиус скважины, приведенные коэффициенты
гидропроводности и продуктивности надо
принять равными:
|
(3.83) |
где
|
(3.84) |
Отсюда
следует, что при прочих равных условиях
в анизотропном пласте расход жидкости
выше, чем в изотропном пласте эквивалентной
гидропроводности
.
В
нижеследующей таблице приведены значения
при нескольких
параметрах анизотропии
и
.
|
5 |
10 |
50 |
102 |
103 |
104 |
|
1,03 |
1,05 |
1,15 |
1,21 |
1,50 |
2,05 |
Видно,
что влияние анизотропии заметно при
больших отношениях
.
6.
Если после вскрытия пласта проницаемости
и
в
приствольной зоне скважины изменились
и стали равными
и
то возникает
задача об определении расхода в
неоднородном анизотропном пласте.
Приближенное решение этой задачи может
быть без труда найдено при следующих
условиях:
главные направления проницаемостей в приствольной зоне и удаленной части пласта совпадают;
границей раздела областями является эллипс
|
(3.85) |
где
– радиус границы раздела в преобразованной
плоскости
.
Обозначим
давление на общей границе через
и рассмотрим каждую из областей независимо
друг от друга.
Так
как подобным эллипсам (3.78) и (3.85) в
плоскости
соответствуют
концентрические окружности
и
,
то для удаленной части пласта имеем
[см. формулу(3.81)]
|
(3.86) |
где
– приведенная
гидропроводность удаленной части
пласта. Рассматривая приствольную зону
скважины, замечаем, что здесь преобразование
системы координат х1х2
в
осуществляется с помощью другого
параметра анизотропии
,
т. е.
|
|
Следовательно,
границы этой области: эллипс (3.69) и
окружность
преобразуются в эллипсы с соответствующими
полуосями
|
|
Заменив эти эллипсы эквивалентными окружностями, радиусы которых равны
|
(3.87) |
получим приближенную формулу для расхода жидкости
|
(3.88) |
где
– приведенная гидропроводность
призабойной части пласта.
Определив
из равенства
правых частей (3.86) и (3.88), после преобразования
получим следующую обобщенную формулу
Дюпюи:
|
(3.89) |
где
|
|
Видно,
что при
и
имеем
,
т. е. влияние анизотропии исчезает, если
призабойная зона скважины в результате
кольматации приобрела свойства изотропной
среды. Аналогичный результат имеет
место при
и
,
что возможно, например, при гидроразрыве
изотропного пласта. Отсюда следует
вывод гидроразрыв гранулярного коллектора
в ПЗ не может привести к заметному росту
продуктивности скважины. Его положительная
роль сводится к разрушению зоны
кольматации и тем самым восстановлению
потенциальной продуктивности пласта.
Только при гидроразрыве анизотропного
пласта, когда
,
продуктивность
скважины может быть увеличена.
7. Фильтрация, отличная от плоско-радиальной, возникает и в том случае, когда пласт вскрыт не на всю мощность, а частично или часть пласта перекрыта обсадной колонной, или связь пластовой и скважинной жидкостей осуществляется через перфорационные отверстия в колонне.
В
этих случаях
говорят о несовершенном вскрытии пласта
и задают граничное условие
лишь
на открытой части поверхности
,
а на остальной условие непроницаемости
.
Течение жидкости в таких условиях вблизи
скважины пространственно, и, естественно,
решение задачи фильтрации усложняется.
Известны различные приближенные аналитические решения этих задач и экспериментальные исследования на моделях, учитывающие тот или иной вид несовершенства вскрытия пласта.
Общий вывод, который следует из полученных решений, сводится к тому, что расход жидкости и в этих случаях вычисляется по обобщенной формуле Дюпюи (3.49), где приведенный радиус скважины
|
(3.90) |
здесь
– показатель
фильтрационного сопротивления, связанный
с несовершенством вскрытия пласта.
Отношение
расхода жидкости
при несовершенном вскрытии к расходу
при совершенном вскрытии пласта в тех
же условиях определяют аналогично
параметру ОП [см. формулу(3.66)]:
|
(3.91) |
В
общем случае
где
и
– показатели сопротивления, обусловленные
несовершенством по степени и характеру
вскрытия пласта. Для случая вскрытия
части пласта
Маскет,
используя метод источников, нашел, что
при
показатель несовершенства по степени
вскрытия можно определить по формуле
|
|
Здесь
,
где
– гамма-функция (известная, табулированная
функция);
.
Представление
о функции
и показателе
дает табл.
3.
Таблица 3
|
| |||||||
0,9 |
0,8 |
0,7 |
0,6 |
0,5 |
0,4 |
0,3 |
0,2 | |
| ||||||||
0,43 |
0,84 |
1,38 |
2,04 |
2,93 |
4,33 |
7,1 |
13,11 | |
50 |
0,16 |
0,47 |
0,91 |
1,52 |
2,35 |
2,62 |
5,35 |
8,1 |
100 |
0,24 |
0,65 |
1,21 |
1,98 |
3,04 |
3,65 |
6,87 |
10,87 |
500 |
0,41 |
1,05 |
1,89 |
3,05 |
4,66 |
6,07 |
10,63 |
17,39 |
1000 |
0,49 |
1,22 |
2,19 |
3,52 |
5,35 |
7,11 |
12,24 |
20,08 |
Например,
при Rc
= 0,1 м, h
= 20 м, h1
= 10 м, согласно таблице при h/Rc=200
и h1=0,5,
получим С1=З,35,
что при
соответствует
коэффициенту сопротивленияКС
= 0,65.
Существенное
значение в этой задаче могут иметь
различные проницаемости вдоль пласта
и в направлении, перпендикулярном к
пласту
,
т. е. анизотропия проницаемости. Доказано,
что учесть этот фактор можно, если
заменить истинную мощность пласта
приведенной
.
Если,
например,
,
то по данным предыдущего примера имеем
,
и, согласно формулам,
и
.
Несовершенство по характеру вскрытия имеет место, когда связь со скважиной осуществляется через круглые или щелевые отверстия в обсадной колонне. В этом случае показатель несовершенства может быть вычислен по следующим приближенным формулам:
|
|
где
–
открытая часть поверхности колонны;
–
диаметры перфорационных отверстий и
скважины;т
—
число рядов
щелей.
Рис.
3.5 Схема призабойной
зоны скважины с искусственным фильтром
Рис. 3.6 Зависимость показателя снижения фильтрационного сопротивления от величины дополнительной зоны фильтрации при h/Re = 15: 1 2, 3 соответственно при Rф/Rc = 8; 5; 3
Рис. 3.7 Зависимость показателя снижения фильтрационного сопротивления от мощности пласта и радиуса фильтра при l/Rф = 2: 1, 2, 3 соответственно
при Rф/Rc = 8; 5; 3
Приведем
решение задачи, когда приствольная зона
скважины оборудована искусственным
фильтром (2)
высотой
и проницаемостью
,
отличной
от проницаемости пласта (1)
(рис. 3.5).
Приведенный радиус в этом случае
|
(3.92) |
где
– параметр «скин-эффекта» [см. формулу
(3.71)];
показатель
снижения сопротивления, обусловленный
наличием дополнительной зоны
;
– функция безразмерных параметров
,
,
.
На
рис.3.6 показаны графики зависимости
от
при трех
значениях отношения
и
.
Из него следует, что с увеличением
функция
быстро растет до асимптотического
значения, которое наступает при
.
Это доказывает
нецелесообразность установки фильтра
высотой больше чем
.
Влияние
мощности пласта на
иллюстрируется
графиками на рис.3.7 при тех же значениях
и
.