![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Задачи гидромеханики в бурении
- •§ 1. Базовые задачи гидродинамики при промывке и цементировании скважин
- •§ 2. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в щелевом канале
- •§ 3. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в кольцевом канале
- •§ 4. Задачи фильтрации при строительстве скважин
- •Формула дюпюи и ее обобщения
§ 3. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в кольцевом канале
1. Для ньютоновской жидкости, используя соотношение (3.2) в системе уравнений (2.24), получим простейшее уравнение состояния
Из сравнения с решением (3.4) следует уравнение относительно скорости
Решение
этого дифференциального уравнения,
удовлетворяющее граничным
условиям
,
имеет вид
(3.30)
где
и
—
радиусы
внутреннего и внешнего цилиндров,
ограничивающих кольцевой канал;
,
(3.31)
Нетрудно
убедиться в том, что максимальная
скорость жидкости
будет при
,
а интегральные характеристики потока
(3.32)
где
— параметр Рейнольдса для кольцевого
канала.
Легко
проверить, что при
и
поэтому
.
Сравнивая полученные результаты с формулами (3.8), можно сделать вывод, что кольцевой цилиндрический канал с отношением радиусов окружностей сечения
α
>
0,3 и плоская
щель с параметрами сечения 2h
= R
(1
- α)
и b
= πR
(1+ α)
эквивалентны
между собой в отношении интегральных
гидродинамических
характеристик при ламинарном течении
ньютоновской
жидкости, т. е. величин vcp,
Q,
λ,
ΔР. Однако
эти каналы имеют и существенное различие:
переход от ламинарного
режима течения к турбулентному в
кольцевом канале
наступает быстрее, чем в плоской щели,
так как
Из
формул (3.30) и (3.32) при
вытекают
известные
формулы Хагена - Пуазейля, характеризующие
течение жидкости
в круглой трубе:
где
— параметр Рейнольдса для трубы.
2.
Для
неньютоновской жидкости Шведова
— Бингама,
если учесть
характер распределения скорости
(3.30) в кольцевом зазоре
и соотношения (3.2) в формулах
(2.26) и (2.27), получим
где α1R и α2R — радиусы цилиндрических поверхностей, ограничивающих жесткое ядро потока (рис.3.2). Используя также соотношения (3.2), из (2.24) получим следующее уравнение состояния:
Из сопоставления с решением (3.4) имеем следующее дифференциальное уравнение относительно скорости:
(3.33)
а также уравнения относительно параметров α1 и α2 (безразмерные радиусы ядра потока) и ω = с / R:
(3.34)
Интегрируя уравнение (3.33) при граничных условиях v (α) = v (1) = 0, получим профиль скорости
(3.35)
а из уравнений (3.34) следует, что
(3.36)
Если в последнем соотношении (3.36) принять α1 = α и α2 = 1, то получим условие отсутствия движения
Следовательно, течение неньютоновской жидкости Шведова — Бингама в кольцевом канале возможно при условии
Из
условия сопряжения скорости при
вытекает третье уравнение относительно
искомых параметров
(3.37)
которое с помощью соотношений (3.36) сводится к трансцендентному уравнению относительно одного из параметров ω2, α1 или α2, допускающему лишь численное решение.
Рис.3.2 Характерный вид профиля скорости в кольцевом канале при течении неньютоновской жидкости Шведова-Бингама
В табл. 1 приведены значения параметров α1, α2 и ω, полученные путем численного решения уравнений (3.36) и (3.37) на ЭВМ с точностью до 1%.
Таблица 1
ΔP0/ΔP |
α | |||||||||||
0,45 |
0,55 |
0,65 |
0,75 | |||||||||
α1 |
α2 |
ω |
α1 |
α2 |
ω |
α1 |
α2 |
ω |
α1 |
α2 |
ω | |
0,1 |
0,68 |
0,74 |
0,71 |
0,74 |
0,79 |
0,76 |
0,8 |
0,84 |
0,82 |
0,86 |
0,89 |
0,87 |
0,3 |
0,63 |
0,79 |
0,7 |
0,7 |
0,83 |
0,76 |
0,77 |
0,87 |
0,82 |
0,84 |
0,91 |
0,87 |
0,5 |
0,57 |
0,85 |
0,69 |
0,65 |
0,88 |
0,76 |
0,73 |
0,91 |
0,81 |
0,81 |
0,94 |
0,87 |
0,7 |
0,52 |
0,91 |
0,69 |
0,61 |
0,93 |
0,75 |
0,7 |
0,94 |
0,81 |
0,79 |
0,96 |
0,87 |
0,9 |
0,48 |
0,97 |
0,68 |
0,57 |
0,98 |
0,75 |
0,67 |
0,98 |
0,81 |
0,77 |
0,99 |
0,87 |
Видно,
что параметр
очень слабо зависит от отношения
Максимальное
различие между значениями ω при
и 0,9 составляет: 3,5% — при α = 0,45; 2%—
при
α
= 0,55; 1% — при α
= 0,65. Следовательно, параметр ω
можно с высокой
точностью вычислить по той же формуле,
что и в задаче течения
ньютоновской жидкости (3.31), т. е.
Решая
систему уравнений (3.36), найдем с точностью
до первого порядка
относительно
Из сравнения с табличными значениями α1 и α2 легко убедиться, что погрешность такого приближения не более 4% для α1, и 2% для α2.
После
подстановки полученных таким образом
соотношений для
параметров α1,
α2
и ω
в (3.35), интегрирования по кольцевому
сечению и пренебрежения слагаемыми,
содержащими величину
в
3-й и 4-й степенях, получим следующий
результат:
(3.38)
или
приα
> 0,3,
где
— обобщенный параметр Рейнольдса:
— приведенная вязкость жидкости
Шведова - Бингама и
-параметр
Сен-Венана для кольцевого
канала:
- то же, чтов
(3.32).
Надо
подчеркнуть, что приближенное решение
(3.38) практически не
отличается от точного при выполнении
условия
<0,5
или
Расчеты
показывают, что параметр
,
является практически постоянной
величиной, диапазон его изменения
составляет от 0,87
до 0,88 при 0,1<
α
<0,9.
Сравнивая
формулы (3.15) и (3.38), можно сделать полезный
вывод:
при течении жидкости Шведова — Бингама
имеет место гидравлическая
эквивалентность кольцевого цилиндрического
канала и плоской
щели, если
;
α
>0,3;
2h
= R(1-
α
); b
= πR(1+
α
)
и
где
- соответственно
предельные напряжения
сдвига для жидкостей в щелевом и
кольцевом каналах. Легко
заметить, что последнее требование
опускается, если принять
=3/4,т.е.
.
Аналогично первой задаче и здесь
отношение
параметров Рейнольдса Rе
к*
и Rещ
равно 2.
В
предельном случае, когда
—приведенный
радиус жесткого ядра, из решений (3.35) и
(3.38) следуют
основные расчетные формулы для течения
неньютоновской жидкости
Шведова — Бингама в круглой трубе
радиуса R:
(3.39)
(3.40)
,
— обобщенный параметр Рейнольдса,
— приведенная вязкость жидкости
Шведова - Бингама
и
— параметр Сен-Венана для трубы. Этиформулы
известны как упрощенные формулы
Букингама.
3. Для неньютоновской жидкости Освальда — Вейля, используя в последнем уравнении состояния (2.24) соотношения (3.2) и значение интенсивности скорости деформации сдвига [см. формулу (2.27)].
получим
(3.41)
где использованы те же обозначения, что и в предыдущих задачах.
Из сопоставления (3.41) и (3.4) приходим к дифференциальному уравнению
где
—
некоторая характерная величина
скорости.
Интегрируя последнее уравнение при граничных условиях
v (α) = v (1) = 0, получим профиль скорости
(3.42)
Из
условия сопряжения скорости при
(3.43)
определяется параметр ω.
В общем
случае ()
интегралы в формуле (3.42) и вуравнении
(3.43) нельзя представить элементарными
функциями, и поэтому
вычисления следует выполнять с помощью
численного интегрирования
на ЭВМ. То же относится и к вычислению
средней скорости
потока
(3.44)
Численное решение уравнения (3.43) показывает, что параметр ω (безразмерная координата максимальной скорости) практически не зависит от реологической константы модели п и весьма точно может быть вычислен по формуле (3.31). Это иллюстрирует рис. 3.3, где показаны профили скорости для нескольких значений п, построенные по формулам (3.42) и (3.43) при α = 0,6.
Рис. 3.3 Профили скорости при α = 0,6 для степенной модели Освальда — Вейля: 1, 2, 3 - соответственно при n = 0,9; 0,7; 0,5.
С достаточной точностью рассчитать среднюю скорость можно по формуле
(3.45)
При этом коэффициент гидравлического сопротивления
где
-обобщенный
параметр Рейнольдса,
— приведенная вязкость жидкости Освальда
— Вейля для кольцевого канала. В
предельном случае, когда
,
уравнение
(3.43) не имеет смысла, а из
зависимости (3.42) следует элементарная
формула для распределения
скорости в сечении круглой трубы
где
Поэтому основные интегральные характеристики потока жидкости в трубе принимают вид
где
—
обобщенный параметр Рейнольдса
и
— приведенная вязкость жидкости для
трубы.
4.
При
турбулентном режиме течения,
учитывая соотношения (3.1) и характер
распределения профиля скорости [см.,
например, соотношение (3.41)], найдем по
уравнениям Прандтля (2.20) связь напряжения
Рейнольдса
с усредненной по времени скоростью
:
(3.46)
Если
исходить из тех же упрощающих предположений
Прандтля,
что и в области основного
турбулентного ядра напряжения
,
принять
равными касательным напряжениям на
стенках канала соответственно слева и
справа от цилиндрической поверхности
r
= ωR,
то, используя формулу
(21) при r
= αR
и r
= R,
получим
(3.47)
где
Из сравнения соотношений (3.46) и (3.47) получим уравнение относительно скорости
где
-
характерная скорость. Интегрируя данное
уравнение
с
учетом условия
при
и
,
получим
закон распределения
скорости в кольцевом канале
(3.48)
где
—
максимальная скорость потока:
(3.49)
содержит
экспериментальные параметры
— размеры пристенных слоев у внутренней
и внешней стенок канала.
Из равенства (3.49) следует уравнение относительно параметра ω
(3.50)
Для
упрощения решения этого трансцендентного
уравнения примем,
что отношения размеров зон турбулентного
ядра и пристенных слоев слева и справа
от поверхности
равнымежду
собой, т. е.
(3.51)
Тогда из уравнения (3.50) получим
(3.52)
Путем интегрирования профиля скорости (3.48), пренебрегая пристенными слоями и используя равенство (3.52), легко найти среднюю скорость турбулентного потока
(3.53)
Согласно формуле (3.5) коэффициент сопротивления
Отсюда, учитывая формулы (3.49), (3.52) и (3.53), получим
Принимая
по аналогии с задачей для гладких стенок:
= 0,4;
закон сопротивления длякольцевого
канала запишем в виде
(3.54)
где
μ - вязкость или приведенная вязкость жидкости.
Рис. 3.4. Зависимость коэффициента сопротивления от параметра Рейнольдса (закон сопротивления) при турбулентном режиме течения:
1,
2 – соответственно при α = 0,9 и α = 0.
Если
α = 0, тоа=1
и
соотношение (3.54)
выражает
известный универсальный
закон сопротивления Прандтля для гладких
труб, который
неоднократно был проверен опытами.
При
α
> 0,3 величина а
изменяется
в пределах от 0,54 до 0,45. Следовательно,
для малых кольцевых зазоров ()
законсопротивления
(3.54) принимает вид закона сопротивления
для щели
(3.28), где 2h
= R(
1 - α).
Из
рис. 3.4 следует вывод, что закон
сопротивления при турбулентном
режиме течения слабо зависит от α, т. е.
от формы
канала (круглая труба, кольцевое
пространство или щель).
В диапазоне чисел Рейнольдса
кривые
на рис.3.4 можно аппроксимировать функцией
,
которую принято называть формулой
Блазиуса.
Таблица 2.
-
S0/R
а
0
0,3
0,5
0.7
0,9
0,001
0,016
0,018
0,02
0,023
0,032
0,005
0,025
0,027
0,031
0,037
0,056
0,01
0,03
0,034
0,038
0,047
0,077
0,025
0,041
0,046
0,054
0,069
—
0,05
0,053
0,062
0,073
—
—
Отсюда непосредственно находят коэффициент сопротивления по высоте элемента шероховатости s0 стенки канала. Некоторые значения λ, вычисленные по этой формуле, приведены в табл. 2.
Полученные выше решения дают основание сделать следующий практический вывод: при гидравлических расчетах или обработке опытных данных кольцевой канал скважины можно рассматривать как щель с параметрами 2h = R( 1 - α) и b =π R( 1 + α). При этом точность расчета будет зависеть в основном от точности значений реологических параметров жидкости и геометрических параметров кольцевого зазора.
Для расчета гидравлических потерь при турбулентном режиме течения жидкости в затрубном пространстве открытой части ствола скважины необходимо воспользоваться формулой Дарси — Вейсбаха, в которой среднестатистическое значение коэффициента λ должно быть установлено по опытным данным в п типовых скважинах.