- •Задачи гидромеханики в бурении
- •§ 1. Базовые задачи гидродинамики при промывке и цементировании скважин
- •§ 2. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в щелевом канале
- •§ 3. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в кольцевом канале
- •§ 4. Задачи фильтрации при строительстве скважин
- •Формула дюпюи и ее обобщения
§ 4. Задачи фильтрации при строительстве скважин
ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ.
Формула дюпюи и ее обобщения
Одна из основных практически важных стационарных задач фильтрации – определение расхода жидкости при поглощении или проявлении пласта, искусственном нагнетании жидкости в пласт или отборе ее из пласта, а также определение параметров пласта и призабойной зоны при гидродинамических испытаниях скважин.
1. Простейшее решение этой задачи базируется на следующих предпосылках:
однородный изотропный пористый, трещиноватый или трещиновато-пористый пласт проницаемостью ограничен непроницаемыми плоскостямии(кровля и подошва пласта) и проницаемыми цилиндрическими поверхностями(стенка скважины),(поверхность питания), на которых поддерживаются однородные граничные условия
|
(3.55) |
поры пласта заполнены однородной невесомой жидкостью вязкости ;
фильтрация происходит при жестком или установившемсяламинарном режиме.
Основные уравнения теории фильтрации в этом случае запишутся в виде
|
(3.56) |
|
(3.57) |
Подстановка (3.56) в (3.57) дает простейший вид уравнения Лапласа
|
|
Общим решением этого уравнения является функция
|
(3.58) |
где и– постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями (3.55).
В результате получим решение первой основной граничной задачи фильтрации (3.55 – 3.57):
|
(3.59) |
|
(3.60) |
где – заданный перепад давления между скважиной и пластом.
При поглощении проявлениипласта объемный расход жидкости через любую цилиндрическую поверхность, в том числе и через стенку скважины,
|
(3.61) |
где ;– соответственно коэффициент гидропроводности, или просто гидропроводность, и коэффициент продуктивности, или просто продуктивность пласта; размерность м3/Па.с.
Формула (3.61) впервые получена французским инженером Дюпюи и поэтому названа его именем.
2. Используя формулу (3.61) в решении (3.59), непосредственно решается вторая основная граничная задача [см. условие (2.37)], когда у стенки скважины заданы скорость фильтрации и расход жидкости . Распределение давления в этом случае описывается формулой
|
(3.62) |
Важно подчеркнуть, что это решение совпадает с фундаментальным решением двумерного уравнения Лапласа (2.34), когда в плоскости действуют источник или стокинтенсивности.
Следовательно, влияние работы скважины на изменение давления в пласте аналогично работе источника (или стока). Этот результат часто используется как простой метод решения сложных задач фильтрации в прискважинной области. Далее мы неоднократно будем пользоваться этим методом.
3. В реальной ситуации благодаря наличию глинистой корки, зон кольматации, загрязнения, искусственной трещиноватости (при гидроразрыве) и т. д. проницаемость произвольной зоны скважины может сильно отличаться от проницаемости остальной части пласта. Учесть влияние этой неоднородности можно двумя способами.
Первый способ заключается в замене граничного условия условием вида (2.38)
, |
(3.63) |
где - безразмерный параметр, характеризующий степень роста поверхностного сопротивления при(глинистая корка, кольматации, загрязнение и т. д.) или его снижение при(декольматации, поверхностные трещины, установлен фильтр высокой проницаемости); приграничное условие (3.63) совпадает с первым условием (3.39).
Используя общее решение (3.58), граничное условие (3.63) и условие без труда найдем, что решение этой задачи также имеет вид (3.58) – (3.61), необходимо только заменить истинный радиус скважиныприведенным:
. |
(3.64) |
В частности, формула Дюпюи (3.61) принимает следующий обобщенный вид:
, |
(3.65) |
где - приведенные коэффициенты гидропроводности и продуктивности пласта;
НРМ-6-04
. |
(3.66) |
Как будет показано ниже, к формуле (3.65) сводятся решения разных граничных задач фильтрации.
Параметр ОП дает количественную оценку снижения (при C>0) или увеличения (при S<0) гидропроводности и продуктивности пласта вследствие кольматации или декольматации приствольной части пласта. Поэтому он используется в настоящее время как основной показатель качества вскрытия продуктивных пластов, освоения и заканчивания скважин.
Для определения показателя ОП необходимо, как следует из формул (3.49) и (3.50), найти параметры или параметрS при известном отношении .
Приведенная (или фактическая) гидропроводность пласта устанавливается по индикаторной диаграмме (ИД) – зависимости, получаемой при исследовании скважины методом установившихся отборов. Истинная (или потенциальная) гидропроводность пластаопределяется обычно по кривой восстановления давления (КВД) – зависимости, получаемой при исследовании скважины на неустановившемся режиме фильтрации. По КВД при дополнительных сведениях о пласте находят параметрS.
Второй способ решения данной задачи заключается в рассмотрении плоско-радиальной фильтрации для составной области, состоящей из приствольной зоны , постоянной или переменной попроницаемостью, и удаленной части пластас проницаемостью.
Если принять , то для каждой из однородных областей имеем решение вида (3.42)
|
(3.67) |
где константы определяются из 4-х граничных условий
|
(3.68) |
В результате простых вычислений получим следующее решение задачи [сравн. с формулой (3.62)]:
|
(3.69) |
где - расход, определяемый по формуле
; |
|
- гидропроводности приствольной и удаленной частей пласта; - приведенный радиус скважины:
. |
(3.70) |
Сравнивая правые части (3.64) и (3.70), получим известную формулу для вычисления показателя «скин-эффекта»
. |
(3.71) |
Отсюда и из формулы (3.66) следует:
|
|
Так как очень близкие величины, то понятно, что увеличение проницаемости приствольной зоны оказывает слабое влияние на гидропроводность пласта. В то же время уменьшение проницаемости приствольной зоны может оказать существенное влияние на снижение гидропроводности пласта. Например, прииполучими, т. е. гидропроводность пласта уменьшится в 2 раза. Но при, что соответствует увеличению диаметра скважины в 2 раза, имеем, т. е. гидропроводность пласта увеличится всего на 12%.
4. В том случае, когда приствольная зона скважины представляет собой область непрерывного изменения проницаемости, уравнение неразрывности(3.57) видоизменится:
. |
(3.72) |
Для удаленной части пласта распределение давлениясоответствует решению (3.51), а для приствольной зоны путем интегрирования(3.56) находим
. |
(3.73) |
Примем закономерность изменения проницаемости в области в виде
, |
|
где – проницаемость удаленной части пласта, т. е. при
|
|
–проницаемость стенки скважины . После подстановки в (3.73), интегрирования и определения постоянных из граничных условий (3.68) получим следующее решение задачи:
|
|
где , а расходвычисляется по обобщенной формуле Дюпюи (3.65), в которой приведенный радиус скважины надо принять
. |
|
Используя сходство этой формулы с формулой (3.70), легко найти параметр , исходя непосредственно из формулы (3.71):
|
|
Пусть, например, при бурении проницаемого интервала на стенке скважины сформирована глинистая корка проницаемостью, т. е.и. Принимаяи, получим
и , т. е. поглощение фильтрата бурового раствора уменьшится более чем в 2 раза.
5. Если пласт содержит упорядоченную систему трещин, то в нем благодаря анизотропии проницаемости плоско-радиальный характер фильтрации не будет иметь место (см. разд. 2).
Рассмотрим случай, когда одно из главных направлений анизотропии Ox3 совпадает с направлением оси скважины Oz (например, упорядоченная система вертикальных трещин в вертикальной скважине). Тогда два других главных направления анизотропии Ох1 и Ох2 расположены в плоскости , т. е. параллельно кровле и подошве пласта. При заданных однородных граничных условиях в скважине и на поверхности питания (3.55) фильтрация будет плоской, так как, но не радиальной. В плоскостих1х2 имеют место обобщенный закон Дарси [см. формулу (2.40)]
, |
|
и соответствующее ему уравнение неразрывности [см. формулу (2.42)]
. |
(3.74) |
Как было сказано в разд. 2, введением новой системы координат
|
(3.75) |
уравнение (3.74), заданное в анизотропной плоскости х1х2, преобразуется в уравнение Лапласа
. |
(3.76) |
для изотропной плоскости , проницаемость которой
|
|
Принимая скважину в качестве источника (или стока) интенсивностью , получим, аналогично (3.62), поле давления
. |
(3.77) |
где,– радиус контура питания в плоскости. Отсюда следует, что эквипотенциальной поверхностью являются: окружностьв плоскости и эллипс в плоскостих1х2, где –полуоси эллипса.
Это означает, что контуром питания (где ) в анизотропном пласте может быть только эллипс
|
(3.78) |
Согласно (3.59) этому эллипсу в плоскости соответствует окружность. В то же время окружность преобразуется в эллипс
|
(3.79) |
Поэтому в строгой постановке первая основная граничная задача формулируется так: найти решение уравнения (3.76), удовлетворяющее условию в точках эллипса (3.79) и условию на окружности .
Однако для определения расхода ‚ достаточно хорошее приближение получается, если эллипс (3.79) заменить эквивалентной окружностью радиуса
. |
(3.80) |
Используя в (3.61) условие при получим
. |
(3.81) |
Если истинный эллиптический контур питания (3.78) заменить условным – окружностью радиуса
|
(3.82) |
то, выразив через и подставив полученное выражение и соотношение (3.80) в (3.81) придем к обычной формуле Дюпюи (3.65), в которой , а приведенный радиус скважины, приведенные коэффициенты гидропроводности и продуктивности надо принять равными:
|
(3.83) |
где
. |
(3.84) |
Отсюда следует, что при прочих равных условиях в анизотропном пласте расход жидкости выше, чем в изотропном пласте эквивалентной гидропроводности .
В нижеследующей таблице приведены значения при нескольких параметрах анизотропии и.
5 |
10 |
50 |
102 |
103 |
104 | |
1,03 |
1,05 |
1,15 |
1,21 |
1,50 |
2,05 |
Видно, что влияние анизотропии заметно при больших отношениях .
6. Если после вскрытия пласта проницаемости ив приствольной зоне скважины изменились и стали равнымии то возникает задача об определении расхода в неоднородном анизотропном пласте. Приближенное решение этой задачи может быть без труда найдено при следующих условиях:
главные направления проницаемостей в приствольной зоне и удаленной части пласта совпадают;
границей раздела областями является эллипс
|
(3.85) |
где – радиус границы раздела в преобразованной плоскости.
Обозначим давление на общей границе через и рассмотрим каждую из областей независимо друг от друга.
Так как подобным эллипсам (3.78) и (3.85) в плоскости соответствуют концентрические окружности и, то для удаленной части пласта имеем [см. формулу(3.81)]
, |
(3.86) |
где – приведенная гидропроводность удаленной части пласта. Рассматривая приствольную зону скважины, замечаем, что здесь преобразование системы координат х1х2 в осуществляется с помощью другого параметра анизотропии, т. е.
|
|
Следовательно, границы этой области: эллипс (3.69) и окружность преобразуются в эллипсы с соответствующими полуосями
|
|
Заменив эти эллипсы эквивалентными окружностями, радиусы которых равны
|
(3.87) |
получим приближенную формулу для расхода жидкости
, |
(3.88) |
где – приведенная гидропроводность призабойной части пласта.
Определив из равенства правых частей (3.86) и (3.88), после преобразования получим следующую обобщенную формулу Дюпюи:
, |
(3.89) |
где
. |
|
Видно, что при иимеем, т. е. влияние анизотропии исчезает, если призабойная зона скважины в результате кольматации приобрела свойства изотропной среды. Аналогичный результат имеет место прии, что возможно, например, при гидроразрыве изотропного пласта. Отсюда следует вывод гидроразрыв гранулярного коллектора в ПЗ не может привести к заметному росту продуктивности скважины. Его положительная роль сводится к разрушению зоны кольматации и тем самым восстановлению потенциальной продуктивности пласта. Только при гидроразрыве анизотропного пласта, когда, продуктивность скважины может быть увеличена.
7. Фильтрация, отличная от плоско-радиальной, возникает и в том случае, когда пласт вскрыт не на всю мощность, а частично или часть пласта перекрыта обсадной колонной, или связь пластовой и скважинной жидкостей осуществляется через перфорационные отверстия в колонне.
В этих случаях говорят о несовершенном вскрытии пласта и задают граничное условие лишь на открытой части поверхности , а на остальной условие непроницаемости. Течение жидкости в таких условиях вблизи скважины пространственно, и, естественно, решение задачи фильтрации усложняется.
Известны различные приближенные аналитические решения этих задач и экспериментальные исследования на моделях, учитывающие тот или иной вид несовершенства вскрытия пласта.
Общий вывод, который следует из полученных решений, сводится к тому, что расход жидкости и в этих случаях вычисляется по обобщенной формуле Дюпюи (3.49), где приведенный радиус скважины
, |
(3.90) |
здесь – показатель фильтрационного сопротивления, связанный с несовершенством вскрытия пласта.
Отношение расхода жидкости при несовершенном вскрытии к расходупри совершенном вскрытии пласта в тех же условиях определяют аналогично параметру ОП [см. формулу(3.66)]:
|
(3.91) |
В общем случае где и – показатели сопротивления, обусловленные несовершенством по степени и характеру вскрытия пласта. Для случая вскрытия части пласта Маскет, используя метод источников, нашел, что при показатель несовершенства по степени вскрытия можно определить по формуле
|
|
Здесь , где– гамма-функция (известная, табулированная функция);.
Представление о функции и показателе дает табл. 3.
Таблица 3
0,9 |
0,8 |
0,7 |
0,6 |
0,5 |
0,4 |
0,3 |
0,2 | |
0,43 |
0,84 |
1,38 |
2,04 |
2,93 |
4,33 |
7,1 |
13,11 | |
50 |
0,16 |
0,47 |
0,91 |
1,52 |
2,35 |
2,62 |
5,35 |
8,1 |
100 |
0,24 |
0,65 |
1,21 |
1,98 |
3,04 |
3,65 |
6,87 |
10,87 |
500 |
0,41 |
1,05 |
1,89 |
3,05 |
4,66 |
6,07 |
10,63 |
17,39 |
1000 |
0,49 |
1,22 |
2,19 |
3,52 |
5,35 |
7,11 |
12,24 |
20,08 |
Например, при Rc = 0,1 м, h = 20 м, h1 = 10 м, согласно таблице при h/Rc=200 и h1=0,5, получим С1=З,35, что при соответствует коэффициенту сопротивленияКС = 0,65.
Существенное значение в этой задаче могут иметь различные проницаемости вдоль пласта и в направлении, перпендикулярном к пласту, т. е. анизотропия проницаемости. Доказано, что учесть этот фактор можно, если заменить истинную мощность пласта приведенной .
Если, например, , то по данным предыдущего примера имеем,и, согласно формулам, и .
Несовершенство по характеру вскрытия имеет место, когда связь со скважиной осуществляется через круглые или щелевые отверстия в обсадной колонне. В этом случае показатель несовершенства может быть вычислен по следующим приближенным формулам:
|
|
где – открытая часть поверхности колонны;– диаметры перфорационных отверстий и скважины;т — число рядов щелей.
Рис. 3.5 Схема призабойной зоны скважины с искусственным фильтром
Рис. 3.6 Зависимость показателя снижения фильтрационного сопротивления от величины дополнительной зоны фильтрации при h/Re = 15: 1 2, 3 соответственно при Rф/Rc = 8; 5; 3
Рис. 3.7 Зависимость показателя снижения фильтрационного сопротивления от мощности пласта и радиуса фильтра при l/Rф = 2: 1, 2, 3 соответственно
при Rф/Rc = 8; 5; 3
Приведем решение задачи, когда приствольная зона скважины оборудована искусственным фильтром (2) высотой и проницаемостью, отличной от проницаемости пласта (1) (рис. 3.5).
Приведенный радиус в этом случае
, |
(3.92) |
где – параметр «скин-эффекта» [см. формулу (3.71)]; показатель снижения сопротивления, обусловленный наличием дополнительной зоны ;– функция безразмерных параметров,,.
На рис.3.6 показаны графики зависимости от при трех значениях отношения и. Из него следует, что с увеличением функция быстро растет до асимптотического значения, которое наступает при. Это доказывает нецелесообразность установки фильтра высотой больше чем .
Влияние мощности пласта на иллюстрируется графиками на рис.3.7 при тех же значениях и.