1.8. Работа сил электростатического поля. Потенциал

Пусть электростатическое поле создаётся неподвижным точечным зарядомq; поместим его в начало координат (рис. 1.14). Возьмём точечный пробный заряд q^' и рассчитаем работу сил поля по его переносу из точки поля 1 в точку 2.

Из механики: работа силы на бесконечно малом перемещенииопределится формулой:

, (1.46)

где . (1.47)

В этом выражении - напряженность поля, создаваемого точечным зарядомq. Она равна

. (1.48)

Здесь - радиус-вектор точки поля, в которой находится пробный заряд.

Подставим выражения (1.47) и (1.48) в формулу (1.46), получим:

. (1.49)

Так как , то скалярное произведение, тогда

. (1.50)

Для нахождения работы сил поля по переносу пробного заряда из точки поля 1 в точку 2 проинтегрируем выражение (1.50), получим:

, (1.51)

. (1.52)

Из выражения (1.52) следует, что работа сил электростатического поля, создаваемого точечным зарядом, не зависит от траектории движения заряда и определяется только положением начальной и конечной точек траектории. Следовательно, электростатическое поле является потенциальным.

Из механики: работа сил потенциального поля равна убыли потенциальной энергии системы:

. (1.53)

Здесь и - значения потенциальной энергии пробного заряда в точках поля 1 и 2. Из сравнения выражений (1.52) и (1.53) следует, что потенциальная энергия пробного заряда в электростатическом поле, создаваемом точечным зарядом q, определится формулой:

. (1.54)

Обозначим отношение потенциальной энергии пробного заряда к его величине символом :

. (1.52)

Величина не зависит от величины пробного зарядаи определяется свойствами самого поля. Она называется потенциалом электростатического поля.

Потенциал является энергетической характеристикой электрического поля. Его физический смысл можно определить из формулы (1.52):

потенциал численно равен потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля.

Для поля, создаваемого точечным зарядом, потенциал определяется формулой:

. (1.53)

Отметим, что потенциал – величина скалярная и алгебраическая. Потенциал подчиняется принципу суперпозиции полей. Пусть электрическое поле создается системой зарядов. Тогда потенциал поля, созданного системой зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:.

. (1.54)

1.9. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Назовем циркуляцией вектора напряженности электростатического поля по заданному замкнутому контуру интеграл вида:

. (1.55)

Здесь -скалярное произведение векторов и ; - элемент длины контура. Интеграл берется по замкнутому контуру L, направление обхода контура должно быть задано. Физический смысл циркуляции вектора : работа сил поля по перемещению единичного положительного заряда по замкнутой траектории.

Так как электростатическое поле потенциально, то

. (1.56)