1.6.Теорема Остроградского-Гаусса

Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое положит точечным зарядом. Окружим заряд замкнутой поверхностью (рис.1.8). Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность, охватывающую заряд, равен числу линий вектора , пересекающих поверхность, и не зависит от формы поверхности. Возьмем поверхность в виде сферы радиусаr и вычислим поток вектора .

. (1.22)

Так как , то во всех точках сферической поверхности нормальные составляющие одинаковы и равны

. (1.23)

Поток вектора напряженности будет равен

. (1.24)

Подставляя выражение (1.23) в формулу (1.24) и производя сокращения, окончательно получим:

. (1.25)

Поток вектора напряжённости сквозь произвольную замкнутую поверхность, охватывающую одиночный точечный заряд, равен отношению величины этого заряда к электрической постоянной.

Рассмотрим электрическое поле, создаваемое системой зарядов^ . Согласно принципу суперпозиции полей напряжённость поля системы зарядов равна

. (1.26)

Окружим эти заряды произвольной замкнутой поверхностью. Поток вектора напряжённости будет равен

(1.27)

Проинтегрируем почленно выражение (1.27), получим:

. (1.28)

Здесь - поток вектора напряжённости поля, создаваемого зарядом. Он равен

. (1.29)

Подставим выражение (1.29) в (1.28), получим:

. (1.30)

Поток вектора напряжённости электростатического поля сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную. Это положение называется теоремой Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме.

1.7. Применение теоремы Остроградского-Гаусса к расчёту электростатических полей

В тех случаях, когда электрическое поле обладает симметрией, теорема Остроградского-Гаусса позволяет достаточно легко и просто рассчитывать напряжённость поля. Способ расчёта заключается в следующем.

• Из соображений симметрии выбирается вспомогательная замкнутая поверхность так, чтобы поток сквозь нее можно было бы рассчитать наиболее просто.

• Рассчитывается поток вектора напряженности.

• Применяется формула (1.30).

Рассмотрим несколько случаев.

1. Поле бесконечной равномерно заряженной по поверхности плоскости.

Обозначим символом σ поверхностную плотность заряда на плоскости. Из соображений симметрии следует:

• напряжённость электрического поля в любой точке перпендикулярна к плоскости;

• в точках, симметрично расположенных по обе стороны плоскости напряжённость электрического поля имеет одинаковую величину и противоположное направление (рис.1.9).

Такая конфигурация поля подсказывает, что в качестве вспомогательной замкнутой поверхности можно выбрать поверхность цилиндра, основания которого параллельны плоскости (рис.1.10).

Поток вектора сквозь поверхность цилиндра равен сумме потоков сквозь боковую поверхность и потоков сквозь основания цилиндра:

. (1.31)

Поток сквозь боковую поверхность равен нулю, так как вектор параллелен боковой поверхности:. Поэтому

, (1.32)

где - площадь основания цилиндра.

Заряд, заключенный внутри поверхности цилиндра, равен:

. (1.33)

Применяя теорему Гаусса, получим:

. (1.34)

После сокращения на получим:

. (1.35)

На всех расстояниях от плоскости напряжённость поля одинакова по величине.