Из рисунка следует, что

, (4.38)

где - угол поворота радиуса-вектора при продвижении вдоль контура на.

Подставим (4.37) и (4.38) в формулу (4.36), получим:

.

Циркуляция вектора равна

.

При обходе контура радиус-вектор поворачивается на угол2π, поэтому

.

Для циркуляции вектора получаем:

. (4.39)

Если ток контуром не охватывается, то при обходе контура от точки1до точки2радиус-вектор повернётся на некоторый уголφ; далее при обходе от точки2до точки1он будет поворачиваться в обратном направлении (рис.4.11). В результате

и .

Формула (4.39) получена нами для частного случая, когда поле создается прямым током и контур лежит в плоскости перпендикулярной току. Но она справедлива также для магнитных полей, создаваемых токами любой формы и произвольном выборе контура.

Если контур охватывает несколько токов, то

. (4.40)

Соотношение (4.40) называется законом полного тока. Сформулируем его.

Циркуляция вектора магнитной индукции, взятая по произвольному замкнутому контуру, равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром.

Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода контура правилом правого винта.

Примечание: формула (4.40) справедлива только для магнитного поля в вакууме. Для поля в веществе кроме макротоков (т.е. токов, текущих по проводникам) необходимо учитывать и молекулярные токи (микротоки), тогда

.

4.8. Применение закона полного тока. Магнитное поле соленоида и тороида

Соленоид представляет собой проводник, намотанный виток к витку на цилиндрический каркас.

Рассмотрим бесконечно длинный соленоид^. Обозначим n – число витков, приходящееся на единицу длины соленоида, и найдем индукцию магнитного поля B, если через соленоид протекает ток силой i . Так как соленоид бесконечно длинный, то в силу симметрии магнитное поле может быть направлено только параллельно его оси.

Для нахождения магнитной индукции применим закон полного тока. Возьмем прямоугольный контур (рис. 4.12), и вычислим циркуляцию вектора вдоль этого контура.

1 2 3 4

Интегралы 2 и 4 равны нулю, так как на этих участках магнитная индукция .

Возьмем участок контура34 на очень большом расстоянии от соленоида. Можно принять, что на этом участке, магнитная индукция равна нулю. Тогда интеграл 3 также будет равен нулю. В результате получим

. (4.41)

По закону полного тока

. (4.42)

Алгебраическая сумма токов равна:

, (4.43)

где - число витков на участке соленоида12.

Подставляя (4.43) в (4.42) и производя сокращения, получим: . (4.44)

Если участок контура 12 взять вне соленоида, тогда контур ток не охватывает, и.За пределами бесконечно длинного соленоида магнитное поле отсутствует.

4.9. Сила Лоренца

На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера:

. (4.45)

Сила Ампера обусловлена суммарным действием магнитного поля на все движущиеся в проводнике заряды. Определим силу, действующую на единичный движущийся в магнитном поле заряд.

Возьмем элемент длины проводника . ОбозначимN - число заряженных частиц, движущихся в элементе ,q - заряд каждой частицы, - среднюю скорость их направленного движения. Тогда

. (4.46)

Подставим выражение (4.46) в формулу для силы Ампера (4.45), получим:

.(4.47)

Здесь - суммарная сила, действующая со стороны магнитного поля наN носителей заряда. На одиночный электрический заряд в магнитном поле действует сила, равная

. (4.48)

Подставим в это выражение формулу (4.47), получим:

. (4.49)

Эта сила называется силой Лоренца.

Свойства силы Лоренца определяются свойствами векторного произведения, поэтому она перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы и.

Для положительных зарядов (q>0) направление силы Лоренца совпадает с направлением векторного произведения . Если заряд частицы отрицателен (q<0), то направления векторов ипротивоположны (рис.4.13).

Модуль силы Лоренца равен:

, (4.50)

где - угол между векторами и.

Из формулы (4.50) следует, что магнитное поле не действует на заряженную частицу в двух случаях:

• когда частица покоится ();

• когда частица движется вдоль линий магнитного поля (||).

Так как сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно вектору скорости, то она не совершает работы над частицей. Следовательно, постоянное магнитное поле не изменяет кинетическую энергию частицы.