2.6. Параллельное и последовательное соединение конденсаторов

Для получения необходимого значения электроёмкости конденсаторы часто соединяют в батареи. Различают два вида соединений конденсаторов: параллельное и последовательное^.

При параллельном соединении конденсаторов соединяют одноимённо заряженные обкладки (рис.2.14, а). При этом общий заряд батареи равен:

.

Так как

, ,,

то .

Ёмкость такой батареи равна:

. (2.35)

При параллельном соединении конденсаторов общая ёмкость системы равна сумме ёмкостей всех конденсаторов:

. (2.36)

При последовательном соединении конденсаторов соединяют разноимённо заряженные обкладки (рис.2.14, б). При этом заряд батареи равен:

. (2.37)

Разность потенциалов между точками А и В равна:

. (2.38)

Из выражений (2.37) и (2.38) следует, что

. (2.39)

При последовательном соединении конденсаторов общая ёмкость системы рассчитывается по формуле:

. (2.40)

Если в батарею соединены конденсаторов одинаковой ёмкости , то общая ёмкость соединения рассчитывается по формулам:

• при параллельном соединении ; (2.41)

• при последовательном соединении . (2.42)

2.7. Энергия электрического поля

Силы, с которыми взаимодействуют заряженные тела, консервативны, (их работа не зависит от пути). Следовательно, система заряженных тел обладает потенциальной энергией.

Получим выражение для потенциальной энергии системы точечных зарядов.

Рассмотрим вначале систему из двух зарядов q₁ и q₂. Потенциальная энергия их взаимодействия выражается формулой:

. (2.43)

Выражение определяет потенциал точки поля, в которой находится первый заряд; - потенциал точки поля, в которой находится второй заряд. Поэтому для потенциальной энергии можно записать

. (2.44)

или

. (2.45)

Если система содержит N точечных зарядов, то для потенциальной энергии их взаимодействия можно получить:

,

или

. (2.46)

Получим выражение для энергии заряженного проводника.

Рассмотрим уединенный проводник. Электроемкость проводника равна С, на проводнике имеется заряд q, его потенциал равен , и для всех точек проводника он одинаков:. (2.47)

Заряд, на проводнике можно рассмотреть как систему N точечных зарядов:

. (2.48)

Энергия заряженного проводника есть энергия их взаимодействия и для неё справедлива формула (2.46).

Преобразуем формулу (2.46) с учетом (2.47) и (2.48), получим:

. (2.49)

Так как , то для энергии заряженного проводника можно записать выражение:

. (2.50)

Получим выражение для энергии заряженного конденсатора. Заряженный конденсатор - система, состоящая из отрицательных зарядов , сосредоточенных на одной обкладке с потенциаломи положительных зарядов, сосредоточенных на другой обкладке с потенциалом.

; .

Энергия такой системы зарядов равна:

. (2.51)

Так как , то . (2.52)

Согласно современным представлениям носителем энергии являются не заряды, а само электрическое поле.

Выразим энергию заряженного конденсатора через напряженность поля характеристику самого поля: его напряженность Е.

Возьмем плоский конденсатор. Его электроёмкость выражается формулой:

. (2.53)

Электрическое поле внутри конденсатора однородно и разность потенциалов равна:

. (2.54)

Подставим (2.53) и (2.54) в формулу (2.52), получим:

. (2.55)

Обозначим отношение . Эта величина называетсяобъёмной плотностью энергии; она численно равна энергии электрического поля, заключённой в единице объёма.

. (2.56)

С учётом того, что напряжённость и электрическое смещение связаны друг с другом (), для объёмной плотности энергии можно записать:

. (2.52)

Эта формула получена нами для однородного электрического поля. Она справедлива также и для неоднородных полей.