2.5. Вектор электрического смещения. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике

Ранее было установлено, что напряженность электрического поля в однородном изотропном диэлектрике в ε раз меньше напряженности внешнего поля:

. (2.9)

Рассмотрим границу раздела двух диэлектриков, находящихся в однородном электрическом поле и расположенную перпендикулярно линиям напряженности (рис.2.9). Так как диэлектрические проницаемости различны, то на границе раздела вектор напряжённости электрического поля изменяется скачком. Линии вектора напряженности разрываются. Это создает неудобства при расчете электрических полей в веществе.

Введем вспомогательный вектор

. (2.10)

Вектор называется вектором электрического смещения. Он характеризует только внешнее поле и не зависит от свойств среды.

Подставим в выражение (2.10), получим:

. (2.11)

Выражение (2.11) справедливо для однородных изотропных диэлектриков. Для всех видов диэлектриков (включая сегнетоэлектрики) справедливо соотношение:

. (2.12)

Выразим из формулы (2.12) и подставим в формулу (2.11), получим:

. (2.13)

Выражение (2.13) справедливо для любых диэлектриков. Оно включает в себя:

• характеристику поля, создаваемого свободными зарядами (электрическое смещение );

• характеристику поля, создаваемого связанными зарядами (поляризованность диэлектрика );

• характеристику поля, создаваемого всеми зарядами (напряжённость поля в диэлектрике ).

Отметим свойства вектора электрического смещения.

1. Характеризует поле, создаваемое свободными зарядами.

2. Также как и напряжённость поля подчиняется принципу суперпозиции полей:

. (2.14)

3. Графически изображается с помощью линий вектора электрического смещения.

Отметим различия в графическом представлении полей и. Линии вектора напряженности начинаются и заканчиваются на любых зарядах: свободных и связанных, они терпят разрыв на границах раздела двух сред. Линии вектора электрического смещения начинаются и заканчиваются только на свободных зарядах и являются непрерывными. Непрерывность линий позволяет использовать вектор при расчёте электрических полей в диэлектрике.

Для вектора электрического смещения справедлива теорема Остроградского-Гаусса.

.(2.15)

Поток вектора электрического смещения сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности.

Применим теорему Остроградского-Гаусса для вектора и рассчитаем электростатическое поле заряженного диэлектрического шара.

Пусть имеется шар радиуса , равномерно заряженный с объёмной плотностью заряда. Шар изготовлен из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостьюи окружён другим диэлектриком с диэлектрической проницаемостью(рис.2.9). Необходимо найти выражения для электрического смещения и напряжённости электрического поля.

Система обладает сферической симметрией, поэтому можно считать, что векторы и направлены по радиальным прямым. Поэтому в качестве вспомогательной замкнутой поверхности выберем сферу радиуса .

Поток вектора через вспомогательную сферическую поверхность равен:

. (2.16)

Приравняем правые части выражений (2.16) и (2.15), получим формулу для расчёта электрического смещения:

. (2.17)

1.Пусть радиус вспомогательной поверхности ; в этой области диэлектрическая проницаемость равна. Тогда

. (2.18)

Подставим выражение (2.18) в формулу (2.17), получим:

,

. (2.19)

Напряжённость поля

. (2.20)

2.Пусть радиус вспомогательной поверхности ; в этой области диэлектрическая проницаемость равна. Так как за пределами заряженного шара зарядов нет, то

. (2.21)

Подставим выражение (2.21) в формулу (2.17), получим:

,

. (2.22)

Напряжённость поля

. (2.23)

На рисунке (2.8) приведены зависимости электрического смещения и напряжённости поля, создаваемого заряженным шаром, от расстояния от центра шара.