5. Интервальный ряд с интервалами, изменяющимися в арифметической прогрессии

Интервальный ряд с интервалами, возрастающими в арифметической прогрессии: ширина каждого последующего интервала i_i+1 больше предыдущего i_i на определенное число d (разность прогрессии).

i_i+1 = i_i + d

В этом случае размах вариации

R = верхняя граница последнего интервала – нижняя граница первого интервала

будет равен сумме первых n членов арифметической прогрессии

R = ,

R=,

где m – количество интервалов, d – разность прогрессии, i₁ – ширина первого интервала, i_m – ширина последнего интервала.

Используя эти формулы, можно определить ширину первого интервала и прирост прогрессии.

Интервальный ряд с интервалами, убывающими в арифметической прогрессии: ширина каждого последующего интервала i_i+1 меньше предыдущего i_i на определенное число d (разность прогрессии).

i_i+1 = i_i - d

В этом случае размах вариации

R = верхняя граница последнего интервала – нижняя граница первого интервала

будет равен сумме первых n членов арифметической прогрессии

R = ,

,

R=,

где m – количество интервалов, d – разность прогрессии, i₁ – ширина первого интервала, i_m – ширина последнего интервала.

Используя эти формулы, можно определить ширину первого интервала и прирост прогрессии.

6. Интервальный ряд с интервалами, изменяющимися в геометрической прогрессии

Интервальный ряд с интервалами, возрастающими в геометрической прогрессии: ширина каждого последующего интервала i_i+1 больше предыдущего i_i в определенное число раз g (знаменатель геометрической прогрессии).

i_i+1 = i_i *g

В этом случае размах вариации

R = верхняя граница последнего интервала – нижняя граница первого интервала

будет равен сумме первых n членов геометрической прогрессии

R=,

R=

где m – количество интервалов, g – знаменатель прогрессии, i₁ – ширина первого интервала, i_m – ширина последнего интервала.

Используя эти формулы, можно определить ширину первого интервала и знаменатель прогрессии.

Интервальный ряд с интервалами, убывающими в геометрической прогрессии: ширина каждого последующего интервала i_i+1 меньше предыдущего i_i в определенное число раз g (знаменатель геометрической прогрессии).

i_i+1 = i_i /g

В этом случае размах вариации

R = верхняя граница последнего интервала – нижняя граница первого интервала

будет равен сумме первых n членов геометрической прогрессии

R=,

Используя эти формулы, можно определить ширину первого интервала и знаменатель прогрессии.

Внимание!

Полигон распределения частот, гистограмма строятся также с использованием абсолютной плотности распределения вместо частоты и относительной плотности распределения вместо частости.

Абсолютная плотность распределения (р) представляет собой величину частоты, приходящейся на единицу размера интервала отдельной группы ряда :

р = f / i.

Мода для интервального вариационного ряда с неравными интервалами осуществляется по уже известной формуле, только вместо показателей частот f используются показатели плотности распределения p, которые обеспечивают сопоставимость неравных интервалов.

где:

1.  — значение моды

2.  — нижняя граница модального интервала

3. i —ширина интервала (верхняя граница интервала – нижняя граница)

4. p_m — абсолютная плотность распределения модального интервала

5. p_m-1   — абсолютная плотность распределения интервала, предшествующего модальному

6. p_m+1   — абсолютная плотность распределения интервала, следующего за модальным

7. ПРИМЕР

Рассмотрим пример построения ряда с неравными интервалами.

Исходные данные приведены в таблице

Название компании	объем реализации, млн.руб.
Микротест	5,7
Открытые технологии	6,9
КРОК	9
НТ Компьютер	9,7
Верисел	11,6
Техносервис	15,2
IBS	16,3
Ланит	17,2
НКК	22,7
Ситроникс	27

Для построения интервального ряда с равными интервалами рассчитаем:

эффективное число групп	4,322
округляем эффективное число групп до целого большего	5
максимальное значение	27
минимальное значение	5,7
.i (ширина интервала)	4,26

Если взять ширину интервала 4, то получится следующий ряд:

номер интервала	нижняя граница	верхняя граница
1	5	9
2	9	13
3	13	17
4	17	21
5	21	25

Полученные интервалы не включают в себя все значения. Следовательно, берем ширину интервала, равную 5.

Получаем интервальный ряд:

номер интервала	нижняя граница	верхняя граница	частоты
1	5	10	4
2	10	15	1
3	15	20	3
4	20	25	1
5	25	30	1
ИТОГО			10

Строим полигон распределения частот и гистограмму распределения частот:

Видно, что распределение компаний по интервалам неравномерное, линия полигона распределения частот зигзагообразная, имеются малочисленные интервалы.

Поэтому построим несколько вариантов ряда с неравными интервалами и выберем лучший.

1. Построим равночастотный квинтильный интервальный ряд:

нижняя граница	верхняя граница	частоты	ширина интервала	Абсолютная плотность распределения
(1)	(2)	(3)	(2-1)=(4)	(5)=(3/4)
5	7	2	2	1,000
7	10	2	3	0,667
10	16	2	6	0,333
16	18	2	2	1,000
18	27	2	9	0,222

Проблема не решена – зигзаги сохраняются

2. Строим ряд с произвольными интервалами, в которых коэффициент вариации не превышает 20%.

интервал	частота	V
0-8	2	0,189419
8-16	4	0,187466
16-24	3	0,151005
24-32	1	0
	0	0

3. Строим ряд с интервалами, возрастающими в арифметической прогрессии

i_i+1 = i_i + a

ширина первого интервала – 3, а=1,

номер интервала	нижняя граница	верхняя граница	ширина интервала	частота	абсолютная плотность распределения
(1)	(2)	(3)=(2+4)	(4)	(5)	(6)=(5/4)
1	5	8	3	2	0,250
2	8	12	4=3+1	3	0,250
3	12	17	5=4+1	2	0,118
4	17	23	6=5+1	2	0,087
5	23	30	7=6+1	1	0,033

4. Построим ряд с интервалами, убывающими в арифметической прогрессии

i_i+1 = i_i - a

номер интервала	нижняя граница	верхняя граница	ширина интервала	частота	абсолютная плотность распределения
(1)	(2)	(3)=(2+4)	(4)	(5)	(6)=(5/4)
1	5	12	7	5	0,417
2	12	18	6	3	0,167
3	18	23	5	1	0,043
4	23	27	4	1	0,037
5	27	30	3	0	0,000

5. Построим ряд с интервалами, возрастающими в геометрической прогрессии

i_i+1 = i_i * a

номер интервала	нижняя граница	верхняя граница	ширина интервала	частота	абсолютная плотность распределения
(1)	(2)	(3)=(2+4)	(4)	(5)	(6)=(5/4)
1	5	7	2	2	0,286
2	7	11	4	2	0,182
3	11	19	8	4	0,211
4	19	35	16	2	0,057

6. Построим ряд с интервалами, убывающими в геометрической прогрессии

i_i+1 = i_i / a

номер интервала	нижняя граница	верхняя граница	ширина интервала	частота	абсолютная плотность распределения
(1)	(2)	(3)=(2+4)	(4)	(5)	(6)=(5/4)
1	5	21	16	8	0,381
2	21	29	8	2	0,069
3	29	33	4	0	0,000
4	33	35	2	0	0,000

Итак, наиболее плавная линия полигона распределения частот, получается при построении ряда с интервалами, возрастающими в арифметической прогрессии, и в ряде с произвольными интервалами (у нас получились равные). Эти ряды и нужно использовать для дальнейших расчетов.

Но какой именно? На этот вопрос поможет ответить эмпирическое корреляционное отношение. Нужно использовать ряд с максимальным эмпирическим корреляционным отношением.

1. Рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение для ряда с произвольными интервалами

группа	Компания	объем реализации, млн.руб.	дисперсия по группе		частота группы
(1)	(2)	(3)	(4)		(5)		(4*5)
0-8	Микротест	5,7	0,3600		2		0,7200
	Открытые технологии	6,9
8-16	КРОК	9	5,7819		4		23,1275
	НТ Компьютер	9,7
	Верисел	11,6
	Техносервис	15,2
16-32	IBS	16,3	8,0022		3		24,0067
	Ланит	17,2
	НКК	22,7
	Ситроникс	27	0,0000		1		0,0000
	Итого						47,8542
	общая дисперсия		43,0041
	случайная дисперсия		4,7854
	факторная дисперсия		38,2187
	эмпирическое корреляционное отношение			0,9427

2. Рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение для ряда с неравными интервалами

группа	Компания	объем реализации, млн.руб.	дисперсия по группе		частота группы
(1)	(2)	(3)	(4)		(5)		(4*5)
5-8	Микротест	5,7	0,3600		2		0,7200
	Открытые технологии	6,9
8-12	КРОК	9	1,2067		3		3,6200
	НТ Компьютер	9,7
	Верисел	11,6
12-17	Техносервис	15,2
	IBS	16,3	0,3025		2		0,6050
17-23	Ланит	17,2
	НКК	22,7	7,5625		2		15,1250
23-30	Ситроникс	27	0,0000		1		0,0000
	Итого						20,0700
	общая дисперсия		43,0041
	случайная дисперсия		2,0070
	факторная дисперсия		40,9971
	эмпирическое корреляционное отношение			0,9764

Для ряда с неравными интервалами эмпирическое корреляционное отношение больше, следовательно, это – самый удачный вариант группировки наших данных.

12