28Задание 6.3.1. По данным табл. 6.3.1 требуется определить зависимости от

Соотношения (6.2.8) и (6.2.9) справедливы для экспоненциального

распределения. Для любого распределения наработки до отказа вероятность

безотказной работы подсистемы, состоящей из k последовательно соединенных

блоков, связана с вероятностями безотказной работы этих блоков следующим

соотношением:

k

P_П(t) = P_i(t). (6.2.12)

i=1

Если блоки равнонадежны, как принято в задании, то

P_п(t) =P_Б (t). (6.2.13)

Рассчитав значение Р_П(t) по формуле (6.2.13) для t = Т_П , сравните его со

значением, рассчитанным по формуле (6.2.10).

Контрольный вопрос. В какой период эксплуатации - начальный или по

мере приближения к предельному состоянию - интенсивность отказов объектов

обычно резко и неуклонно возрастает и почему?

Задание 6.2.4. Для наработки t = Т_П требуется рассчитать вероятность

∏

κ

2

Отсюда вероятность безотказной работы системы

Р_с(T_П ) = 1- Q_C(T_П ) (6.2.16)

или иначе

Р_с(T_П ) = 1- (1- Р_П (T_П ))². (6.2.17)

недостатки вы видите в принятой схеме

Контрольный вопрос. Какие

резервирования?

6.3. Контрольная работа №2

наработки (пробега автомобиля) математического ожидания (среднего

значения) износа шатунных шеек коленчатого вала ДВС ⎯y(t) и дисперсии

износа Д(y(t)), полученные уравнения необходимо записать. Параметры

искомых зависимостей следует рассчитать с использованием правила

определения уравнения прямой, проходящей через две точки с известными

координатами.

Методические указания к заданию 6.3.1. Данное задание выполняется в

предположении, что математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия

износа шатунных шеек коленчатого вала представляют собой линейные

функции пробега автомобиля. Это подтверждается исследованиями,

проведенными в различных автохозяйствах и обработкой статистических

данных.

Обозначим износ шеек как некоторую переменную величину Y.

Зависимость Y от наработки (пробега автомобиля) представляет собой

случайную функцию, реализации которой являются монотонными

неубывающими функциями. Для описания такой случайной функции часто

вполне достаточно знать, как меняются в зависимости от наработки ее

математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия: ⎯y(t) и Д(y(t)).

Исследования, проведенные в различных автохозяйствах, показывают, что

для описания зависимости износа от пробега автомобиля могут быть

использованы линейные функции

y(t) = ⎯y₀ + аt, (6.3.1)

Д(y(t)) = Д(y₀) + вt, (6.3.2)

где ⎯y₀ и Д(y₀) соответственно - среднее значение, мм и дисперсия износа

шеек, мм² при t=0, при этом началом отсчета является последняя обточка

коленвалов;

а - средняя скорость увеличения износа, мм/тыс. км;

в - скорость увеличения дисперсии износа, мм²/тыс. км;

t - пробег автомобиля, тыс. км.

290 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Таблица 6.3.1

Результаты обработки измерения износа

шатунных шеек коленчатых валов двигателя автомобиля

Расчетная Пр е д п о с л е д н я я ц и ф р а ши ф р а

Пе р в о е и з м е р е н и е

25 20 40 50 30 45 70 35 55 18

0,050 0,045 0,087 0,090 0,060 0,085 0,105 0,072 0,089 0,045

0,098 0,050 0,147 0,157 0,079 0,118 0,176 0,060 0,128 0,040

В т о р о е и з м е р е н и е

75 100 95 115 105 135 145 150 120 130

0,135 0,182 0,165 0,174 0,183 0,192 0,198 0,210 0,186 0,190

0,192 0,144 0,241 0,251 0,173 0,212 0,270 0,154 0,222 0,134²²Искомыми параметрами функций (6.3.1) и (6.3.2) являются ⎯y₀, а, Д(y₀) и

величина

Пробег t₁, тыс.км

Средний износ⎯y₁, мм

Дисперсия износа Д(у₁), ммПробег t₂, тыс. км

Средний износ⎯y₂, мм

Дисперсия износа Д(у₂), мм

(6.3.3)

в. На практике для их нахождения необходимо область возможных значений

наработки (нижняя граница которой t=0, а верхняя находится из условия

достижения предельного значения износа) разбить на несколько (обычно 10-20)

интервалов.

При каждом из разделяемых этими интервалами пробегов автомобиля t₁,

t₂, ..., t_i, ... производят измерения износа большого количества коленчатых

валов и вычисляют соответствующие пробегам средние значения ⎯y₁, ⎯y₂, ...,

⎯y_i, ..., а затем дисперсии Д(y₁), Д(y₂), ..., Д(y_i), .... Располагая такими наборами

значений t_i и y_i или t_i и Д(y_i), можно, используя метод наименьших квадратов,

определить искомые зависимости ⎯y(t) и Д(y(t)).

В контрольной работе задача существенно упрощена. Предполагается, что

массивы данных об износе шеек для каждого t_i уже обработаны. Считается

также возможным определить искомые линейные зависимости, располагая

координатами только двух точек.

В таком случае параметры а и в зависимостей (6.3.1) и (6.3.2) могут бытьПроизведите необходимые вычисления и запишите полученные

y₂ - y₁ y₂ - y₁

t₂ - t₁ t₂ - t₁

Д (у₂) - Д (у₁) Д (у₂)

t₂ - t₁ t₂

31

(6.3.7)

t . (6.3.8)

y(t) = y₂ - t₂ + t

и

Д (y(t)) = Д (у₂) -

определены соответственно

y₂ - y₁

t₂-t₁

a =

и

Д (у₂) - Д (у₁)

t₂ - t₁

y₂ - y₁

Д (у₂) - Д (у₁)

в = . (6.3.4)

После этого, используя координаты любой из известных двух точек,

например второй (t₂, ⎯y₂) или (t₂, Д(у₂)), можно найти два других параметра:

y₀ = y₂ - t₂ , (6.3.5)

t₂ - t₁

Д (у₀) = Д (у₂) - t₂ . (6.3.6)

t₂ - t₁

Подставив значения (6.3.3), (6.3.4), (6.3.5) и (6.3.6) в уравнения (6.3.1) и

(6.3.2), получите выражения, определяющие зависимости от пробега среднего

износа шатунных шеек ДВС и дисперсии износа:

t₂ +

- Д (у₁)

- t₁

выражения (6.3.1) и (6.3.2) с числовыми значениями параметров.

Контрольный вопрос. Могут ли исходные значения среднего износа шеек

⎯у₀ и дисперсии износа Д(у₀), соответствующие t=0, быть равными 0?

Отрицательными числами?

Задание 6.3.2. Требуется рассчитать средние значения {y(t_i)}, дисперсии

{Д(y(t_i))} и средние квадратические отклонения {σ(y(t_i))} износа при

нескольких значениях пробега, пользуясь зависимостями, полученными на

предыдущем шаге. Затем требуется для тех же значений пробега определить

нижнюю y(t_i)_min и верхнюю y(t_i)_max границы практически возможных значений

износа. Результаты расчетов следует занести в таблицу, выполненную по форме

6.3.1, и построить по ним линии, представляющие собой зависимость среднего

износа шеек от пробега, нижнюю и верхнюю границы практически возможных

значений износа.

Форма 6.3.1

Результаты расчета средних значений, дисперсий и средних

квадратических отклонений износа шеек коленчатых валовМетодические указания к заданию 6.3.2. Заполните таблицу,

Пробег, тыс. км

0 50 100 ... 300 350

Величина

Средний износ ⎯y(t), мм

Дисперсия износа Д(у(t)), ммСреднее квадратическое отклонение

износа σ(y(t)), мм

Утроенное значение 3σ(y(t)), мм

Нижняя граница y(t)_min

Верхняя граница y(t)_max

1

2

3

4

5

6

Предельное значение у_призноса шеек коленчатых валов ДВС типа ЧН21/21

установлено равным 1,7мм. На практике обточку стремятся производить при

прокате 1,5 мм, поэтому при выполнении контрольной работы примите у_пр

равным 1,5мм. Заданный пробег указан в табл. 6.3.2.

Таблица 6.3.2

Заданная серия и пробег Т_зад

Последняя цифра шифра

Заданный пробег Т_зад, тыс.

км

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

150 240 170 230 190 280 180 260 160 250

32

последовательно производя вычисления по формулам, полученным при

выполнении задания 6.3.1, для различных значений пробега автомобиля. Расчет

среднеквадратических отклонений произведите по формуле

σ (y_i) = Д(y_i) ,

где i- номер интервала в таблице по форме 6.3.1.

Принятой модели процесса износа шейки, определяемой выражениями

(6.3.1) и (6.3.2), соответствует такое постепенное увеличение износа, при

котором среднее значение и дисперсия приращения износа за некоторый

интервал пробега ∆t пропорциональны длине этого интервала и не зависят от

достигнутого значения у. В таком случае вполне допустимо, основываясь на

основных теоремах теории вероятностей, считать, что для любого t_i (пока

у<у_пр) значения износа распределены по нормальному закону с плотностью

распределения

f(y_i ) = exp^2⎜- .

⎝ ⎠

Сужение области определения функции f(y_i) до интервала ]0, у_пр]

практически не оказывает влияния на результаты расчетов.

Для нахождения области практически возможных значений случайной

величины Y_i, распределенной по нормальному закону, пользуются “правилом

трех сигм”. В соответствии с этим правилом для каждого пробега автомобиля t_i

верхняя и нижняя границы практически возможных значений износа шеек

находятся как^⎟ti Тн Тзад Тто-4 Tk

(6.3.9)

практически

(6.3.10)

y(t_i)_{max, min} = ⎯y_i ± 3σ(y_i).

Кривые, показывающие верхнюю и нижнюю границы

возможных значений износа, определяются выражениями

y(t)_max = ⎯y₀ + at + 3 Д ( у₀) + вt ,

y(t)_min = ⎯y₀ + at - 3 Д (у₀) + вt . (6.3.11)

Полученные зависимости иллюстрирует рис. 6.3.1.

Изображая на таких графиках кривую распределения, подразумевают, что

оси f(y_i) и f(y) направлены перпендикулярно плоскости t_oy.

По результатам расчетов, сведенным в таблице по форму 6.3.1, постройте

график зависимости среднего износа шеек от пробега (рис. 6.3.1). Проведите на

графике прямую y=y_пр. Пользуясь данными табл. 6.3.1, постройте на этом же

графике кривые, показывающие верхнюю и нижнюю границы практически

33

⎛

⎜

(y-y_i )2s^{2 ⎞2}(y_i )

1

у(y_i ) 2р

⎟

возможных значений износа шеек. Покажите на графике обе исходные точки

(t₁, y₁),(t₂,y₂) и отметьте их координаты.

При построении графика рекомендуется использовать следующий

масштаб: пробег - в 1мм 1 тыс. км, износ - в 1мм 0,01мм износа.

У, мм

Упр

y(t)_max

y(t)

f(y)

y(t)_min

t,тыс.км

f(y_i)

О

Рис.6.3.1. Зависимость среднего износа шеек коленчатых валов от пробега

Контрольный вопрос. Имеет ли смысл при заданных условиях вычислять

значения среднего износа и дисперсии износа для наработки t=360 тыс. км и

более?

Задание 6.3.3. Требуется рассчитать ⎯Т - средний пробег (наработку) до

текущего ремонта, а также наименьший Т_н и наибольший Т_к - практически

возможные пробеги до обточки шеек коленчатых валов по износу.

Далее необходимо рассчитать Ψ - вероятность того, что к заданному

пробегу Т_зад будет произведена обточка шеек коленчатого вала по износу.

При расчете вероятности воспользуйтесь графиком, приведенным на

рис.6.3.2, или таблицами значений нормальной функции распределения ^{2dt ,} 1,2

приводимыми в приложениях к монографиям по теории вероятностей, и в

частности в [8].

Методические указания к заданию 6.3.3. Текущий ремонт представляет

собой обточку шатунных шеек коленчатых валов с разборкой ДВС. Факторами,

определяющими необходимость производства обточки шатунных шеек, могут

быть увеличение износа до предельного значения, проявление дефектов на

поверхности скольжения, необходимость уравнять диаметры шеек коленчатых

валов для постановки вкладышей ремонтных градаций и др. В данной работе

будем считать, что основной причиной постановки автомобиля на ремонт

34

x

Ц^*(x) = exp

_{⎛ ⎞}

_- ⎟

⎝ ⎠

1 t2π 2

⎜

∫

⎟

- ∞

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

x

Рис. 6.3.2. График функции Ф(х)является увеличение износа шеек, что вполне соответствует практике работы

большинства автохозяйств.

При таком условии средний пробег до текущего ремонта можно

рассчитать, подставив в выражение (6.3.1) значение y(t) = y_пр:

T_ТР = (6.3.12)

a

Чтобы найти практически наименьший Т_н, тыс.км и наиболее поздний

Т_к, тыс.км сроки производства текущего ремонта, необходимо подставить

y(t)_max = y_пр и y(t)_min = y_пр соответственно в выражения (6.3.10) и (6.3.11).

Произведя необходимые преобразования, находим

9в + 2( y - у )а - [9в + 2( y - у )а -

_{Т = →}

2а² _⎟^dyВ формуле (11.13) ⎯у - среднее значение износа, находимое путем

→

→

На рис. 6.3.1 плотность распределения износа при наработке,

соответствующей заданному пробегу Т_зад, обозначена как f(y). Часть, лежащая

выше У_пр, является мнимой, поскольку превышение предельного значения

износа недопустимо. Заштрихованная площадь соответствует вероятности того,

что к пробегу Т_зад уже будет произведена обточка шеек. Эта вероятность

находится как

Ψ = 1- F(y_пр),

где

y_ПР - y₀

2

пр 0 пр 0

2

Н

2 2

пр 0 0

- 4a ( y - у ) - 9 Д ( у )]

.

2

2а

2

9в + 2( y_пр - у₀ )а + [9в + 2( y_пр - у₀ )а -

_{Т = →}

2а

К

2

2 2

- 4a ( y_пр - у₀ ) - 9 Д ( у₀ )]

.

2

2а

y_пр

F(y_пр ) = exp

^⎛ - y)⎝ ⎠

36

⎞

⎟

1 (y

σ (y) 2π 2σ (y)

⎜

- . (6.3.13)

_∫

0

2

подстановки t = T_зад в выражение (6.3.1). Среднее квадратическое отклонение

σ(у) рассчитайте путем подстановки t = T_зад в выражение (6.3.2):

δ (y_i) = Д (y₀) + вТ_зад .

Интеграл (6.3.13) не выражается через элементарные функции, поэтому

для его вычисления пользуются таблицами нормальной функции распределения

Φ*(х). Эта функция характеризует распределение случайной величины Χ, у

которой математическое ожидание равно 0 и σ(х) = 1.

Выразить функцию распределения (6.3.13) через нормальную функцию

распределения можно с помощью выражения

F(y_пр)= (х),

где х находится в результате замены переменной как

y_пр - y

x = .

σ ( y)

По рассчитанному значению х найдите по таблицам или с помощью

графика, приводимого на рис. 6.3.2, значение Φ(х) и далее Ψ. Убедитесь, что в

силу симметрии нормального распределения с математическим ожиданием,

равным 0, относительно начала координат

Φ (-х) = 1 -Φ(х).

вопрос. Чему равна вероятность производства обточки

шеек коленчатых валов к моменту t=T_тр ?

Задание 6.3.4.

На испытании находилось N₀=1000 образцов электрических ламп

автомобиля, которые относятся к классу неремонтируемой аппаратуры. Число

отказов n(∆t) фиксировалось через каждые 100ч работы (∆t=100ч).

Данные об отказах по вариантам шифра приведены в табл. 6.3.3.

Требуется вычислить количественные характеристики надежности и

построить зависимости характеристик от времени.

Решение: автомобильные электрические лампы относятся к классу

невосстанавливаемых изделий. Поэтому критериями надежности будут Р(t);

a(t), λ(t), T_ср. 50 49 48 47

Контрольный

Φ

Вычислим Р(t).

N₀ - n(100)

N₀

37

P(100) = .

Данные об отказах

n(∆t_i) по последней цифре шифра

∆t_i

r

0...100

100...200

200...300

300...400

400...500

500...600

600...700

700...800

800...900

900...1000

1000...1100

1100...1200

1200...1300

1300...1400

1400...1500

1500...1600

1600...1700

1700...1800

1800...1900

1900...2000

2000...2100

2100...2200

2200...2300

2300...2400

2400...2500

2500...2600

2600...2700

2700...2800

2800...2900

2900...3000

Таблица 6.3.3

0 1

50 51

40 41

32 33

25 26

20 21

17 18

16 17

16 17

15 16

14 15

15 16

14 15

14 15

13 14

14 15

13 14

13 14

13 14

14 15

12 13

12 13

13 14

12 13

13 14

14 15

16 17

20 21

25 26

30 31

40 41

2

3 4

53 54

43 44

35 36

28 29

23 24

20 21

19 20

19 20

18 19

17 18

18 19

17 18

17 18

16 17

17 18

16 17

16 17

16 17

17 18

15 16

15 16

16 17

15 16

16 17

17 18

19 20

23 24

28 29

33 34

43 44

5

6

7 8 9

52

42

34

27

22

19

18

18

17

16

17

16

16

15

16

15

15

15

16

14

14

15

14

15

16

18

22

27

32

42

55

45

37

30

25

22

21

21

20

19

20

19

19

18

19

18

18

18

19

17

17

18

17

18

19

21

25

30

35

45

40 39 38 37

32 31 30 29

24 23 22 21

19 18 17 16

16 15 16 14

15 14 13 12

15 14 13 12

14 13 12 11

13 12 11 10

14 13 12 11

13 12 11 10

13 12 11 10

12 11 10 9

13 12 11 10

12 11 10 9

12 11 10 9

12 11 10 9

13 12 11 10

11 10 9 8

11 10 9 8

12 11 10 9

11 10 9 8

12 11 10 9

13 12 11 10

15 14 13 12

19 18 17 16

24 23 22 21

29 28 27 26

39 38 37 36

;По данным таблицы по форме 6.3.2 строятся на миллиметровой бумаге

1000 - n(100 + 200)

N₀

P(200) =

_{⎡n(∆t) =⎢ ⎥}

P(3000) =

1000

38

1000 - по варианту⎣ 0 ⎦

∑

.

Значения ⎯Р(t);

по форме 6.3.2.

Форма 6.3.2

Вычисленные значения ⎯Р(t), ⎯a(t) и ⎯λ(t)

Р(t)

∆t_i, ч

от 100

100...200

-

2800...2900

2900...3000

⎯a(t)*10 ₃₀₀₀^⎤-3, 1/ч ⎯λ(t)*10^-3, 1/ч

зависимости Р, а и λ от t.

Следует иметь в виду, что в таблице данные P(t) приведены для концов

интервалов ∆t_i, а данные для ⎯a(t) и ⎯λ(t) - для середины интервалов ∆t_i.

Поэтому определение P(t) по формуле

λ(t)=a(t)/ P(t)

не дает значений P(t), указанных в таблице по форме 6.3.2.

Вычислим среднее время безотказной работы, предположив, что на

испытании находились только те образцы, которые отказали. Приложение 1

n(Дt)

Для расчета характеристик a(t) и λ(t) применяются формулы:

a(50) =

n(Дt)

N₀Дt

a(150) =

……….

a(2950) =

λ (50) = =

N_срДt

λ (150) =

……….

λ(2950) =

⎯a(t) и ⎯λ(t), вычисленные для всех ∆t_i, сводим в таблицу

m

_∑

i=1

n_it_cpi

T_cp ≈ ,

N

39

Образец оформления титульного листа

Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет экономики, менеджмента и автомобильного транспорта

Кафедра автомобильного транспорта

Контрольная работа №

по дисциплине: «Основы теории надежности и диагностика»

__________________________________

(студент: фамилия, имя,

__________________________________

отчество)

__________________________________

(специальность, курс)

__________________________________

(шифр, форма обучения)

__________________________________

(адрес проживания)

__________________________________

__________________________________

__________________________________

г._________________

200__ г.

40Содержание

1. Предисловие............................................................................................................. 3

1.1. Цель преподавания дисциплины ........................................................................ 3

2. Структура дисциплины........................................................................................... 3

3. Содержание дисциплины........................................................................................ 5

3.1. Содержание дисциплины по ГОС……………………………………………...6

3.2. Рабочая программа……………………………………………………………...6

3.2.1. Основные определения теории надежности................................................... 6

3.2.2. Понятие о старении и восстановлении машин и их составных частей ....... 6

3.2.3. Качественные и количественные характеристики надежности ................... 7

3.2.4. Факторы, влияющие на надежность изделия. Надежность как основной

показатель качества автомобиля ..................................................................... 7

3.2.5. Методы статистического анализа состояния изделий, средства и методы

контроля ............................................................................................................. 8

3.2.6. Стратегии и системы обеспечения работоспособности................................ 8

3.2.7. Диагностические параметры технического состояния машин и их

составных частей............................................................................................... 9

3.2.8. Место диагностики в системе поддержания технического состояния

автомобилей....................................................................................................... 9

3.2.9. Классификация методов диагностики технического состояния .................. 9

3.2.10. Стратегии и системы контроля технического состояния ......................... 10

3.2.11. Понятие о надежности транспортного процесса ....................................... 10

3.3. Тематический план лекций................................................................................ 11

3.3.1. Для студентов очно-заочной формы обучения…………………………….11

3.3.2. Для студентов заочной формы обучения…………………………………..11

3.4. Темы практических заняти……………………………………….................... 12

3.4.2. Для студентов очно-заочной формы обучения…………………………….12

3.4.2. Для студентов заочной формы обучения…………………………………..12

3.5. Темы лабораторных работ.............................................................................. 12

4. Библиографический список.................................................................................. 14

5.Тестовые задания для осуществления текущего и итогового контроля со

студентами по

дисциплине………………………………………………….15Ошибка!

Закладка не определена.

6. Задания на контрольные работы и методические указания к их

выполнению ..................................................................................................... 17

6.1. Общие указания и порядок оформления контрольных работ ....................... 17

6.2. Контрольная работа №1……………………………………………………….20

6.3. Контрольная работа №2..................................................................................... 29

Приложение ..…………………………………………………………………40

41Редактор А.В. Алехина

Компьютерное форматирование, редактирование Беляковой Н.В.

Сводный темплан 2004г.

Лицензия ЛР № 020308 от 14.02.97

Санитарно-эпидемиологическое заключение № 78.01.07.953.П.005641.11.03 от 21.11.2003 г.

Подписано в печать .02.2004 Формат 60х84 1/16

Б. Кн . – журн. П. л. 2,5 Б. л. 1,375 РТП РИО СЗТУ

Тираж 250 Заказ

Северо-Западный государственный заочный технический университет

РИО СЗТУ, член Издательско-полиграфической ассоциации

вузов Санкт-Петербурга

191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5

42