3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Западный государственный заочный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика часть 1 УМК.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.02.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

62 + (−8)2 + (−9)2

22 + (−3)2 + 42

Ответ: расстояние от указанной точки до прямой равно

Данный раздел включает в себя шесть тем:

3.1.Системы координат.

3.2.Различные виды уравнений прямой на плоскости.

3.3.Уравнения плоскости и прямой в пространстве.

3.4.Кривые второго порядка.

3.5.Поверхности второго порядка.

3.6.Линейное векторное и евклидово пространства. Квадратичные

формы.

По каждой теме излагается основной теоретический материал и приводятся иллюстрирующиеего примеры.

В рубрике «решение задач» дан подробный разбортиповых примеров. После изучения раздела студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить три задачиизконтрольнойработы №1 всоответствии со своимвариантом.

3.1. Системы координат

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

•Декартовы системы координат.

•Преобразования координат.

•Полярные координаты на плоскости.

•Цилиндрические координаты в пространстве.

•Сферические координаты в пространстве.

После изучения темы Вам следует ответить на вопросы для самопроверки. При возникновениии вопросов следует обратиться к [2], глава 2, с. 29-37.

Декартовы системы координат

Задание некоторой точки O и базиса из двух ненулевых неколлинеарных

векторов e1, e2 определяет на плоскости систему координат. Точка O называется началом этой системы. Проведем через

O две оси в направлениях векторов e1 , e2 ,		x2		M
причем за масштабы на этих осях примем				M
причем за масштабы на этих осях примем
длины векторов e1 и e2 , соответственно	e2
(рис. 3.1).	e2
Полученные оси называются коорди-
Полученные оси называются коорди-
натными. Ось, параллельная e1 , называется	O	e1		x
натными. Ось, параллельная e1 , называется	O			x
осью абсцисс, а ось, параллельная e2 , -			1
осью абсцисс, а ось, параллельная e2 , -			Рис. 3.1

осью ординат. Система координат обычно называется общей декартовой и обознача-

j G

O i Рис. 3.2 x x

вводят аналогично.

ется Oe1e2 . В том случае, когда выбран ортономиро-

ванный базис i , j , полученная система координат называется декартовой прямоугольной.

Декартовыми прямоугольными координатами точки M относительно данной системы координат

Oxy называются два числа: x и y – координаты ее ра-

JJJG

диус-вектора OM (рис. 3.2). При этом используется запись M( x, y ) .

Декартовы системы координат в пространстве

Преобразование прямоугольных координат

При решении задач часто возникает необходимость перехода от одной системы координат к другой. Такой переход называется преобразованием коор-

динат.

y′

Пусть на плоскости заданы две декартовы

прямоугольные системы координат с одина-

y′

ковыми базисными векторами

i и

и раз-

′

личными начальными точками О и

O′

(рис.

O′

x′

3.3). Координаты произвольной точки плоско-

сти M в системе Oxy обозначим через (x, y) ,

′ ′ ′

′ ′

через

(x , y )

Рис. 3.3

а в системе O x y

Параллельным переносом называют та-

кое преобразование системы координат, при котором направления осей сохраняются, а начало координат O′ новой системы имеет координаты (a,b) относительно старой. При этом связь между старыми и новыми координатами точки

	x	=	′
выражает формула			a + x ,	(3.1)
		=	′
	y		b + y .

			Пусть теперь на плоскости заданы две
y′	y		декартовы прямоугольные системы коорди-
y′	y		′ ′	′	, причем вторая повернута
			нат Oxy и O x y		, причем вторая повернута
	′		относительно первой на угол ϕ (рис. 3.4).
j	x		Поворотом системы координат назы-
j	ϕ		Поворотом системы координат назы-
	ϕ	x	вается преобразование координат, при кото-
			вается преобразование координат, при кото-
O	i		ром новая система повернута относительно
O	i		ром новая система повернута относительно
	Рис. 3.4		старой на некоторый угол около начала коор-

динат. В этом случае формулы, связывающие старые и новые координаты точки, принимают вид:

x	=	′	′
x	=	cosϕ x	−sin ϕ y ,
	=	′	′	(3.2)
y	=	sin ϕ x	+ cosϕ y .

Любое общее преобразование координат можно свести к последовательному выполнению в произвольном порядке рассмотренных двух преобразований. Связь между координатами точки в этом случае устанавливают следующие соотношения:

	x				′	′
	x	= a + cos ϕ x				−sin ϕ y ,
					′	′	(3.3)
	y = b +sin ϕ x					+ cos ϕ y .
		Полярные координаты
y						Выберем некоторую точку O на
y					плоскости и луч l ,		исходящий из
				M	плоскости и луч l ,		исходящий из
y				M	этой точки. Точка O		называется по-
y					этой точки. Точка O		называется по-
					люсом, а луч l осью полярной сис-
	r				темы координат (рис. 3.5).
j	ϕ					Полярными	координатами
j	ϕ			x	точки M называются два числа: рас-
				x	точки M называются два числа: рас-
O i			x		стояние r от точки M до полюса и
O i	Рис.3.5		x		угол поворота ϕ от полярной оси l
	Рис.3.5				угол поворота ϕ от полярной оси l
					до луча OM , отсчитываемый против
часовой стрелки. Координата r			называется полярным радиусом точки, а ко-
ордината	ϕ полярным углом,		0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ ϕ < 2π. Часто для обозначения

полярного радиуса вместо буквы r используют букву ρ.

Связь между прямоугольными декартовыми координатами и полярными координатами произвольной точки плоскости в том случае, когда за полюс выбрано начало прямоугольной системы, а полярная ось совпадает с положительной полуосью оси Ox (рис. 3.5) устанавливают следующие соотношения:

	x = r cos ϕ,
					(3.4)
	y = r sin ϕ.
	Цилиндрические координаты		z
	Цилиндрические координаты				M( r,ϕ, z )
			z		M( r,ϕ, z )
	Обобщением полярных координат на слу-		z
	Обобщением полярных координат на слу-
чай	пространства является	цилиндрическая
система координат. Спроектируем в простран-			O
стве произвольную точку М на плоскость Oxy ,			O
стве произвольную точку М на плоскость Oxy ,			ϕ		y
на которой введена полярная система коорди- x				r	y
на которой введена полярная система коорди- x				r	M ′
нат,	и выберем ось, перпендикулярную этой				M ′
нат,	и выберем ось, перпендикулярную этой
плоскости, начало которой совпадает с полю-				Рис. 3.6
сом	полярной системы. Эта	ось называется

осью цилиндрической системы.

Цилиндрическими координатами точки М пространства называются 3

числа: r и ϕ - полярные координаты проекции M ′ данной точки на плоскость

JJJG

Oxy , а также z - проекция вектора OM на ось Oz системы (рис. 3.6).

Если оси декартовой системы расположены относительно цилиндрической, как изображено на рис. 3.6, то формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым имеют вид:

x = r cos ϕ,
	(3.5)
y = r sin ϕ,	(3.5)

z = z.

Сферические координаты

Чтобы ввести z

сферическую систему координат, выберем в пространстве, как и в случае цилиндрической систе-


	мы, плоскость с заданной на ней по-
M( r,ϕ,θ)	лярной системой и ось, перпендику-
	лярную этой плоскости.
r	Сферическими		координатами

	точки M	пространства называются
y	три числа: r	- расстояние до точки M
	от начала O , ϕ - полярный угол про-
М'
	екции точки	M на плоскость Oxy ,		θ -
Рис.3.7
	угол между осью Oz		и вектором	JJJG
				OM

(рис. 3.7).

Указанные числа изменяются в пределах: 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ϕ< 2π. Если сферическую систему согласовать с прямоугольной так, как показано

на рис. 3.7, то легко получить формулы перехода от декартовых координат к сферическим, использовав тот факт, что OM ' = r sin θ :

x = r sin θcos ϕ,
	(3.6)
y = r sin θsin ϕ,	(3.6)

z = r cos θ.

Решение примеров

Пример 1. В системе координат Oe1e2 даны точки A(2;1)			и B(−1;2) . Най-
	JJJG		\| e1 \|= 2 , \| e2 \|= 1
ти расстояние	AB	между точками A и B , если известно, что	\| e1 \|= 2 , \| e2 \|= 1
и (eG1 eG2 ) = π .
3

Решение. Для определения расстояния

JJG

между точками A и B вос-

пользуемся свойством 5 скалярного произведения векторов, тогда

JJJG

JJG

(AB )

как разность координат конца и начала

Определим координаты вектора AB

вектора:

JJG

− 2;2 −1) = (−3;1)

JJJG

AB = (−1

, используя свойства скалярного произведения векторов

Найдем (AB)

(

JJJG

)

= (−3eG1 + eG2 )2 = (−3eG1)2 + 2(−3eG1) eG2 + (eG2 )2 =

= 9(eG1)2 −6eG1 eG2 +(eG2)2 = 9 | eG1 |2 −6 | eG1 | | eG2 | cos(eG1 eG2)+| eG2 |2 .

Подставив в полученную выше формулу исходные данные, получим

(

JJJG

)

= 9 22 − 6 2 1

+12

= 36 − 6 +1 = 31.

JJJG

Откуда

31.

Пример 2. В системе координат

Oe1e2

даны точки A(2;1) ,

B(−1;2) и

C(1;0) . Найти

площадь S

треугольника

ABC ,

если известно, что | e1 |= 2 ,

| eG2 |= 1 и (eG1 eG2 ) = π .

JJG

Решение.

Найдем координаты AB и AC :

JJJG

AB = (−1 − 2;2 −1) = (−3;1),

AC = (1 − 2;0 −1) = (−1;−1).

JJG

JJJG

векторного произведения S =

| AB × AC |

По свойству 6

. Вычислим

AB × AC ,

используя свойства векторного произведения:

JJG

JJJG

AB × AC = (−3eG1 + eG2 ) ×(−eG1 − eG2 ) =

= 3eG1 ×eG1 −eG2 ×eG1 +3eG1 ×eG2 −eG2 ×eG2 = 0 + eG1 ×eG2 +3eG1 ×eG2 −0 = 4eG1 ×eG2 .

Тогда S =

4 | eG1 ×eG2 | , где

| eG1 ×eG2 |=| eG1 | | eG2

| sin(eG1 eG2 ) = 2 1

3 .

После

3(ед2 ) .

соответствующей подстановки получим S = 2

Ответ: S = 2 3(ед2 ) .

Пример 3. Найти уравнение кривой y2 − x2 = 2

в декартовой прямоуголь-

′ ′

′

, повернутой вокруг начала координат на угол 45

ной системе координат O x y

Как называется эта кривая?

Решение. Воспользуемся формулой (3.2) преобразования координат. Учи-

тывая, что cos 450 = sin 450 =

, получим

′

−

′

+ y ).

Подставим эти значения x и y в уравнение кривой:

′

′ 2

′

− 2

= 2

+ y )

− y )

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим уравнение

кривой в новой системе координат:

x′ y′ =1. Это гипербола.

Ответ: уравнение гиперболы

y2 − x2 = 2

в новой системе координат выгля-

дит следующим образом: x′ y′ =1.

x 2

( y +1)

Пример 4. Найти уравнение кривой

= 1 в декартовой прямо-

угольной системе координат

′

, начало которой перенесено в точку O

(0,-1).

O x y

Решение. Воспользуемся формулой (3.1) преобразования координат:

x = x′,

y = y′−1.

и подставим значения x и y в уравнение. После элементарных преобразований получим уравнение кривой, записанное в новой системе координат:

y 2

= 1.

Это эллипс (см. ниже тему “Кривые второго порядка”).

Пример 5.

Записать уравнение окружности ( x +3)2 + y2 = 9

в полярных

координатах.

Решение.

Перепишем уравнение

данной

окружности

виде

x2 + y2 +6x = 0

подставим

согласно

(3.4):

(r cosϕ)2 +(r sin ϕ)2 +6r cosϕ = 0 . Используя основное тригонометрическое то-

ждество, получаем r2 = −6r cos ϕ. Отсюда следует, что данная окружность в выбранной полярной системе координат задается уравнением r = −6cos ϕ.

Ответ: r = −6cosϕ.

Пример 6. Записать уравнение параболоида (см. ниже тему “Поверхности

второго порядка”) 2x2 + 2y2 = 2 − z в цилиндрической системе координат. Решение. Используя формулы преобразования координат (3.5), перепишем

данное уравнение в виде: 2(r cosϕ)2 + 2(r sin ϕ)2 = 2 − z .

Упростим выражение

2r2 = 2 − z или z = 2(1−r2) .

Получили преобразованное уравнение параболоида. Ответ: z = 2(1−r2) .

Вопросы для самопроверки по теме 3.1

1.Продолжите определение: “Общими декартовыми системами координат называются….. ”. Как определяются координаты точки в таких системах?

2.Запишите формулы параллельного переноса прямоугольных координат.

3.Выведите формулы поворота прямоугольных координат.

4.Продолжите определение: “Полярной системой координат называется.”

5.Укажите связь полярной и декартовой прямоугольной системы коорди-

нат .

6.Продолжите определение: “Цилиндрической системой координат называется….. ”

7.Выведите формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым прямоугольным.

8.Продолжите определение: “Сферической системой координат называет-

ся….. ”

9.Выведите формулы перехода от сферических координат к декартовым прямоугольным.

3.2. Различные виды уравнений прямой на плоскости

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

•Различные виды уравнений прямой на плоскости.

•Угол между прямыми на плоскости.

•Расстояние от точки до прямой.

После изучения темы Вам следует ответить на вопросы для самопроверки. При возникновениивопросовследуетобратитьсяк[2], глава 3, с. 38-42.

Различные виды уравнений прямой на плоскости

y	1. Общее уравнение прямой на плоскости
	Общим уравнением прямой на плоскости

Gназывается уравнение первой степени с двумя пе-

ременными x и yn

		Ax + By + C = 0 ,	(3.7)
		где A и B одновременно не обращаются в ноль.
O		Можно показать, что всякое уравнение вида
	x
Рис. 3.8		(3.7) определяет на плоскости в декартовой пря-

		моугольной системе координат Oxy прямую ли-

нию и всякая прямая на плоскости может быть представлена в виде (3.7). При этом вектор n = ( A,B ) перпендикулярен этой прямой и поэтому называется

нормальным вектором прямой (рис. 3.8).

Часто при решении конкретных геометрических задач удобней применять иные формы уравнений прямой, называемые специальными.

2. Уравнение прямой в форме с угловым коэффициентом

Если прямая не параллельна оси

Oy , то

коэффициент B в уравнении (3.7) не равен ну-

лю. Разрешив уравнение (3.7) относительно пе-

ременной y, получим

y = kx + b ,

(3.8)

где k = −

b = −

Рис.3.9

Пусть ϕ означает угол наклона прямой к

оси Ox. Тогда можно показать, что коэффици-

ент k = tgϕ и его называют угловым коэффи-

циентом прямой.

Значение

b есть ордината

точки пересечения прямой

с осью

Oy (рис.

3.9.)

3. Уравнение прямой в отрезках

Рис. 3.10

Если в уравнении (3.7) ни один из коэф-

фициентов не равен нулю, то, поделив все

члены уравнения на ( −C ), получим равносильное ему уравнение

= 1,

(3.9)

где a = −C/A,

b = −C/B .

М0

•

Можно показать, что модули чисел a и b

равны длинам отрезков, которые отсекает прямая

на осях координат (рис. 3.10).

Рис. 3.11

4. Уравнение прямой, проходящей через

данную точку и перпендикулярной данному

вектору

Пусть

заданы

точка M0 ( x0 , y0 ),

принад-

лежащая искомой прямой l, и нормальный век-

М0

•

тор этой прямой n = ( A,B ) (рис. 3.11).

M ( x, y )

Возьмем

произвольную

точку

прямой

рассмотрим

вектор

Рис. 3.12

JJJJJG

M0M = (x

− x0, y − y0 ) , лежащий на прямой l

и, следовательно,

перпендикулярный

вектору

правляющим вектором

n . Запишем условие перпендикулярности этих векторов в координатной форме:

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0.

(3.10)

Получили искомое уравнение.

5. Каноническое уравнение прямой

Пусть заданы точка M0 (x0, y0) , принадлежащая искомой тор sG = (m, n) , коллинеарный этой прямой (рис. 3.12). Вектор

правляющим вектором прямой l.				JJJJJG

Запишем условие коллинеарности		векторов M0M = (x
s = (m, n) в координатной форме:
	x − x0	=	y − y0	.
	m
			n

прямой l, и век-

sназывают на-

−x0, y − y0 ) и

(3.11)

Уравнение вида (3.11) называют каноническим уравнением прямой с на- sG = (m, n) , проходящей через точку M0 (x0 , y0 ) .

6. Параметрические уравнения прямой

Приравняем отношение (3.11) некоторому параметру t и выразим через него переменные x и y. Получим параметрические уравнения прямой на плоскости:

x = x0	+ mt,	(3.12)
	+ nt.	(3.12)
y = y0	+ nt.

где параметр t может принимать любое вещественное значение.

7. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Рассмотрим прямую, проходящую через точки

M0 (x0, y0 )	и M1(x1, y1) (рис. 3.13). Пусть
M (x, y) - произвольная точка прямой.
	JJJJJJG
Очевидно, что векторы M 0 M = (x − x0, y − y0 ) и
JJJJJJG	− x0, y1 − y0) коллинеарны. Запишем
M 0M = (x1

условие их коллинеарности в виде:

y М1

l М0

Рис. 3.13

x − x0	=	y − y0	.	(3.13)

x1 − x0		y1 − y0

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки.

Угол между прямыми на плоскости

Величина угла α между прямыми на плоскости определяется по величине

угла между их направляющими или нормальными векторами, т.е.

n nG

sG sG

cos α =

(3.14)

| n1 || n2 |

| s1 || s2 |

Если две прямые заданы своими общими уравнениями, то выражение для

косинуса угла между ними принимает вид:

cos α =

A1A2 + B1B2

(3.15)

+ B2

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Под расстоянием d от точки M0 (x0, y0 )

до прямой l

понимается длина

перпендикуляра, опущенного из точки M0 на прямую l					с нормальным векто-
ром nG	= ( A, B) . Для определения этого расстояния используют формулу
	d =	\| Ax0	+ By0 +C \|	.	(3.16)
			A2 + B2

Решение примеров

Пример 1. Найти общее уравнение прямой, проходящей через точку М0 (-1,3) и перпендикулярной прямой 3x-4y+1=0.

Решение. Так как нормальный вектор данной прямой n(3, −4) является направляющим вектором для перпендикулярной ей прямой, то искомое уравнение можно записать в канонической форме (3.11):

x +1 = y−−3 ,

3 4

откуда находим

4x+3y-5=0.

Ответ: общее уравнение искомой прямой имеет вид: 4x+3y-5=0. Пример 2. Найти общее уравнение прямой, проходящей через точку

М0 (2,-3) и параллельной прямой x-4y+7=0.

Решение. Примем нормальный вектор данной прямой в качестве нормального вектора искомой и запишем уравнение в виде (3.10)

1(x − 2) + (−4)( y + 3) = 0.

откуда находим

x-4y-14=0.

Ответ: общее уравнение искомой прямой имеет вид x-4y-14=0. Пример 3. Найти точку пересечения прямых

2x-3y-5=0 и x+2y+1=0.

Решение. Координаты точки пересечения прямых М удовлетворяют обоим уравнениям, поэтому для их определения решаем систему уравнений

2x −3y −5 = 0,

x + 2 y +1 = 0.

Умножим второе уравнение на два и вычтем результат из первого, получим

−7 y − 7 = 0,

откуда y = −1, тогда x = −2 y −1 =1.

Ответ: координаты точки М(1,-1).

Пример 4. Найти расстояние между параллельными прямыми 2x+3y-6=0

и 2x-3y+7=0

Решение. Это расстояние ищем как длину перпендикуляра, опущенного из любой точки первой прямой на вторую. Выберем точку на первой прямой, например, при x=0 получим y=2. Используем формулу (3.16), учитывая, что ко-

ординаты нормального вектора прямых n(2,3) , а значение С=7 для второй прямой

d =	\| 2 0 + 3 2 + 7 \|	=		13	= 13 .
			13
22 + 32
Ответ: расстояние между прямыми равно			13 .

Пример 5. Даны вершины треугольника А (4,5), В(-3,0), С(-8,3) . Написать уравнение медианы, опущенной из вершины В на сторону АС.

Решение. Медиана делит противолежащую сторону на две равные части. Найдем координаты точки М - середины стороны АС - по формулам

x =	xA + xC	=	4 −8	= −2	и	y =	yA + yC	=	5 +3	= 4 .
			2						2
2						2

Воспользуемся формулой (3.13) - уравнением прямой, проходящей через две точки В(-3,0) и М (-2,4).

x +3	=	y	−0
				,
−2 +3		4	−0

После преобразований получим уравнение медианы ВМ: 4x − y +12 = 0 . Ответ: уравнение медианы ВМ: 4x − y +12 = 0 .

Пример 6. Даны вершины треугольника А (4,6), В(-4,0), С(-1,-4). Написать уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

Решение. Высота треугольника является прямой, проходящей через извест-

JJG

ную точку В, перпендикулярно вектору AC . Используя координаты точек А и С,

JJJG

будем иметь AC(−1 − 4, −4 − 6) = (−5, −10) . В соответствие с формулой (3.10) можемнаписать:

−5(x − (−4)) + (−10)( y − 0) = 0 ,

откуда x + 2 y + 4 = 0 .

Ответ: уравнение высоты имеет вид x + 2 y + 4 = 0 .

Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2,5) и отсекающей наоси Оx отрезок, равный7.

Решение. Найдем координаты второй точки, через которую проходит прямая

– это точка пересечения с осью Оx. Координаты этой точки (7,0). Тогда будем иметьв соответствие сформулой(3.13):

x − 2	=	y	−5
				,
7 − 2		0	−5	,

или после упрощения x + y − 7 = 0 .

Ответ: уравнение искомой прямой имеет вид x + y − 7 = 0 .

Пример 8. Найти угол между прямыми y − x − 3 = 0 и 2x + 3y + 4 = 0

Решение. Координаты нормальных векторов прямых определим из их

уравнений: nG1(−1,1)

и nG2(2,3) . По формуле (3.14) найдем косинус угла между

прямыми:

(−1) 2 +1 3

cos α =

(−

1)2 +12 22

+ 32

откуда α = arccos

Ответ: угол между прямыми равен α = arccos

Пример 9. Написать уравнения прямых, отсекающих на оси Оx отрезок,

равный 5,

на оси Oy - отрезок, рав-

4x −5 y = −20

ный 4, и образующих острый угол с

осью Оx.

-5

имеют вид

4	Решение. Используем уравнение

5прямой в отрезках (3.9). Учитывая, что угол с осью Оx должен быть ост-

xрый, имеем ( рис. 3.14):

-4

4x −5 y = 20

+ y

= 1

x + y = 1

,или

−5

5 −4

4x −5 y + 20 = 0

и 4x −5 y − 20 = 0

Рис. 3.14

Ответ: уравнения искомых прямых

4x −5 y + 20 = 0 и 4x −5 y − 20 = 0 .

Вопросы для самопроверки по теме 3.2

1. Как выглядит общее уравнение прямой на плоскости?

2.Как перейти от общего уравнения прямой к уравнению в отрезках?

3.Какую геометрическую величину определяет коэффициент k в уравнении y = kx + b ?

4.Выведите уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором.

5.Выведите уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором.

6.Выведите параметрические уравнения прямой.

7.Запишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

8.Укажите способы нахождения величин углов между прямыми.

9.Сформулируйте условие перпендикулярности двух прямых на плоскости.

10.Выведите формулы для нахождения расстояния от точки до прямой.

3.3. Уравнения плоскости и прямой в пространстве

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

•Различные виды уравнений плоскости в пространстве.

•Различные виды уравнений прямой в пространстве.

•Углы и расстояния.

После изучения данных материалов Вам следует ответить на вопросы для самопроверки и решить тест. Если Вы будете испытывать затруднения в ответах, обратитесь к [2], глава 3, с. 43-58 или к глоссарию – краткому словарю основных терминови положений.

Студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить задачу в соответствии со своимвариантомиз№21-30.

Различные виды уравнений плоскости в пространстве

Рис. 3.15

1. Общее уравнение плоскости Общим уравнением плоскости в пространстве

называется уравнение первого порядка с тремя переменными

Ax + By +Cz + D = 0 ,

(3.17)

где A, B и C одновременно не обращаются в ноль. Можно показать, что всякое уравнение вида

(3.17) определяет в пространстве в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz плоскость и всякой плоскости в пространстве можно поставить в соответствие уравнение вида (3.17). При этом вектор

n = ( A,B,C ) перпендикулярен этой плоскости и поэтому называется нормаль-

ным вектором плоскости (рис.3.15), причем коэффициенты A , B , C являются координатами этого вектора.

Часто при решении конкретных геометрических задач удобней применять иные формы уравнений плоскости, называемые специальными.

			2. Уравнение плоскости в отрезках
	z		Если в уравнении (3.17) ни один из коэффициен-
			тов не равен нулю, то, поделив все члены уравнения
	c		на ( −D ), получим равносильное ему уравнение
	b			x	+	y	+	z	= 1,	(3.18)
		y		a		b		c

x	a		где a = −D/A, b = −D/B,						c = −D/C .
										уравнением
			Уравнение вида (3.18) называют
	Рис. 3.16
			плоскости "в отрезках". Можно показать, что мо-

			дули чисел a,b, c		равны длинам отрезков, которые

отсекает плоскость на осях координат (рис. 3.16).

3. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и нормально данному вектору

Пусть заданы точка M0 (x0 , y0 , z0 ) , принадлежащая плоскости P ,				и вектор
нормали к этой плоскости nG = (A, B,C) (рис. 3.17).
Для каждой	точки	M (x, y, z) плоскости	P векторы	n и
JJJJJJG	, z − z0 ) ,	лежащие в плоскости P ,
M0M = (x − x0 , y − y0	, z − z0 ) ,	лежащие в плоскости P ,	взаимно перпендику-
		JJJJJG

лярны. Условием перпендикулярности векторов M0M и n является равенство
нулю их скалярного произведения			JJJJJG
	nG		JJJJJG
z	nG		M0M n = 0.
z			Если задана прямоугольная система ко-
			Если задана прямоугольная система ко-
	M0		ординат, то, переписав это уравнение в
	P		координатной форме, получаем уравне-
			координатной форме, получаем уравне-
		M	ние плоскости P :
		M	ние плоскости P :
			A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0. (3.19)
			A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0. (3.19)
	r0		Если ввести в рассмотрение радиус-
	r		векторы r0 и r точек M0 и M , то их
			векторы r0 и r точек M0 и M , то их
x		y	условие перпендикулярности	можно за-
x	Рис. 3.17		писать в виде
			(r −r0 ) n = 0 .	(3.20)

Последнее уравнение - это уравнение заданной плоскости в векторной форме.

		4. Уравнение плоскости, проходящей через
	b	заданную точку параллельно двум некол-
	b	линеарным векторам
		линеарным векторам	P , прохо-
M0	M	Найдем уравнение плоскости	P , прохо-
G		дящей через заданную точку M0 (x0 , y0 , z0 ) па-
a		раллельно двум неколлинеарным	векторам
P		раллельно двум неколлинеарным	векторам
P
Рис. 3.18
		90

aG(a1, a2,a3) и bG(b1,b2,b3) (рис.3.18). Условием принадлежности произвольной

JJJJJJG G

точки M плоскости P является компланарность векторов M0M ,a,b , а при-

знаком компланарности векторов является равенство нулю их смешанного про-

изведения, то есть	JJJJJG	G
	( M0M	, a,b ) = 0.
В прямоугольных координатах это уравнение принимает вид
	x − x0	y − y0	z − z0
	x − x0	y − y0	z − z0
	a1	a2	a3	= 0.	(3.21)
	b1	b2	b3

5. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой

Пусть заданы точки М1 (x1 , y1 , z1 ) , М2 (x2 , y2 , z2 ) и M0 (x0 , y0 , z0 ) , принадлежащие некоторой плоскости (рис. 3.19). Найдем уравнение указанной плоскости. Этот случай сводится к предыдущему,

	M1	если в качестве векторов a и b взять, на-
	M1					JJJJJJG		JJJJJJJG
M0	M	пример,			векторы	M0	М1	иM0М2 .	В итоге
M0	M	получим уравнение
	M2		x − x0		y − y0	z − z0
	M2		x − x0		y − y0	z − z0
P			x1 − x0		y1 − y0	z1 − z0		= 0.	(3.22)
Рис. 3.19			x2 − x0		y2 − y0	z2 − z0
			x2 − x0		y2 − y0	z2 − z0
Различные виды уравнений прямой в пространстве
1. Общие уравнения прямой в простран-
стве								Р1	l
Если прямая является пересечением двух
плоскостей P1 и	P2 ,	уравнения		которых				Р2
A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 ,
соответственно (рис.3.20), то эту прямую можно								Рис. 3.20
задать системой уравнений, называемых общи-								Рис. 3.20
ми уравнениями прямой:			A1x + B1y +C1z + D1 = 0,
	l		A1x + B1y +C1z + D1 = 0,
sG	l		A x + B y +C z + D					= 0.	(3.23)
sG			2		2	2	2
			2		2	2	2
	M	2. Векторно-параметрическое уравнение
		2. Векторно-параметрическое уравнение
M0		прямой в пространстве
M0		Пусть l		- произвольная прямая. Ее положение в
		Пусть l		- произвольная прямая. Ее положение в
		пространстве			определяется			некоторой	точкой
Рис.3.21

M0 (x0 , y0 , z0 ) , лежащей на прямой, и вектором s = (m, n, p) , параллельным этой

прямой (рис.3.21). Вектор s называется направляющим вектором прямой.

JJJJJG

Если M (x, y, z) - произвольная точка прямой l , то векторы M0M и s коллинеарны. По признаку коллинеарности двух векторов существует вещественное

число t такое, что	JJJJJG	G
	M0M = ts.
Если ввести в рассмотрение радиус-векторы r0 и r точек M0			и M , то эту фор-
мулу можно записать в виде	r −r0 = ts.
	r −r0 = ts.		(3.24)

Уравнение (3.24) называются векторно-параметрическим уравнением прямой.

3. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве

Перепишем последнее соотношение (3.24) в координатной форме, а затем разрешим их относительно x, y, и z и получим параметрические уравнения прямой:

x = x0 +mt,
		+ nt,	(3.25)
y = y0
z = z	0	+ pt.

Такие уравнения особенно удобны при решении задач о пересечении прямых с плоскостями или иными поверхностями.

Если записать признак коллинеарности двух векторов в координатной форме, то получим канонические уравнения прямой:

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	.	(3.26)
m		n
				p

Если какой-либо из знаменателей в (3.26) равен нулю, то необходимо, чтобы нулю был равен и соответствующий числитель.

4. Уравнение прямой через две точки в про-		М1
	l
		М0
странстве

Для записи уравнения прямой, проходящей через
				М
точки M0(x0, y0, z0) и M1(x1, y1, z1)		(рис. 3.22), исполь-

зуем признак	коллинеарности	двух векторов:	Рис. 3.22
JJJJJJG	JJJJJJG
M0M = (x −x0, y − y0, z −z0) и M0M = (x1 −x0, y1 − y0, z1 −z0) ,

где M (x, y, z) - произвольная точка прямой:

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	.	(3.27)
		y1 − y0
x1 − x0				z1 − z0

Углы и расстояния

1. Угол между прямыми в пространстве

Углом между прямыми l1 и l2 называют меньший из углов, образованных прямыми l1 и l2 .

	l1		l1
s1		s2	s1
α			α
s2	l2		l2
	l2		l2
а)		Рис. 3.23	б)
		Рис. 3.23

Очевидно, что углы между прямыми и их направляющими векторами либо равны, либо отличаются на величину π (рис.3.23). Тогда, используя свойства

скалярного произведения векторов, для углаGмежду прямыми получаем
cos α =		Gs1 sG2	.	(3.28)

	\| s1 \|\| s2 \|

2. Угол между прямой и плоскостью в пространстве

Углом β между прямой и плос-

костью называется угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость

(рис.3.24).

Очевидно, что

sinβ=sin(90o −ϕ) = cosϕ ,

где ϕ - угол между нормальным век-

тором плоскости n и направляющим вектором

n sG sin β = | nG|| sG|.

n Gs l

ϕβ

Рис. 3.24

s прямой. Следовательно,

(3.29)

Р1 nG2

на-	γ	nG1
	Р2	nG1
		Рис. 3.25

3. Угол между плоскостями Углом γ между двумя плоскостями Р1 и Р2

зовем меньший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Если плоскости параллельны, то величина угла считается равной нулю.

Очевидно, что независимо от направлений нормальных векторов плоско-

стей, cos γ =| cosϕ| , где

- угол между нормальными векторами плоскостей

(рис. 3.25). Тогда

n nG

cos γ =

(3.30)

| n1 || n2 |

4. Расстояние между двумя точками в пространстве

Расстояние между двумя точками

(x0 , y0

, z0 )

и M1 (x1, y1, z1) в простран-

стве можно определить

как длину

вектора

JJJJJJG

Координаты

вектора

M1M0 .

JJJJJJJG

− y1, z0

− z1) , тогда его длина

M1M0 = (x0 − x1, y0

JJJJJJJG

= (x0 − x1)2 + ( y0 − y1)2 + (z0 − z1)2

l =

M1M 0

(3.31)

5. Расстояние от точки в пространстве до плоскости

Пусть

задана точка

M0 (x0 , y0 , z0 )

плоскость

P ,

уравнение

которой

М0

Ax + By +Cz + D = 0 . Под расстоянием S от точки до

плоскости понимается длина перпендикуляра М0М,

опущенного из точки на плоскость (рис. 3.26), кото-

рая определяется по формуле

Рис. 3.26

S =

| Ax0 + By0 +Cz0 + D |

(3.32)

+ B2

+C2

6. Расстояние от точки до прямой в пространстве

Под расстоянием d

от точки M0(x0, y0, z0) до прямой l понимается длина пер-

пендикуляра, опущенного из точки на прямую, направляющий вектор которой

s . Возьмем произвольную точку прямой M1(x1, y1, z1) , тогда
	G	JJJJJJG
d =	s	×M1M0	.	(3.33)


		\| sG\|
Решение примеров
Пример 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку				A( −1,2,1)
и перпендикулярной вектору n(2,2,−4) .
Решение. Уравнение (3.19) для нашего случая принимает вид
2(x +1) + 2( y −2) −4(z −1) = 0.
Раскрывая скобки, получаем
2x + 2y −4z + 2 = 0		или x + y −2z +1 = 0 .

Ответ: искомое уравнение плоскости имеет вид x + y −2z +1 = 0 .

Пример 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

A(1,−1,3) , B(2,0,−1) , C(5,2,1).

Решение. Подставим координаты точек в уравнение (3.22):

x −1	y +1	z −3
x −1	y +1	z −3
2 −1	0 −(−1)	−1−3	= 0.
5 −1	2 −(−1)	1−3

После раскрытия определителя и приведения подобных членов получаем уравнение плоскости: 10x −14y − z −21= 0.

Ответ: искомое уравнение плоскости имеет вид 10x −14y − z −21= 0. Пример 3. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через

точки A(2,1,3) и B(4,5,3).

Решение. В качестве точки M0

будем использовать точку

A , а в качестве

JJG

направляющего вектора прямой - вектор AB = (2, 4,0) . Канонические уравнения

прямой в этом случае имеют вид:

x − 2

y −1

z −3

Понимать это соотношение следует как систему

x − 2

y −1

, z = 3.

x − 2

−1

Ответ: искомые уравнения прямой имеют вид

z = 3.

Пример 4.

Найти

координаты

точки

пересечения

плоскости

2x − y +3z +3 = 0

и прямой,

проходящей через точку

M0 (1,2,1)

параллельно

вектору s = (2,4,−2) .

Решение. Параметрические уравнения прямой имеют вид:

1+2t

2 +4t.

1−2t

Координаты точки пересечения M (x, y, z) прямой и плоскости удовлетворяют одновременно и уравнению плоскости и уравнениям прямой. Подставим x, y и

z из уравнений прямой в уравнение плоскости, получаем:

2(1+2t) −(2 +4t) +3(1−2t) +3 = −6t +6 = 0.

Отсюда t = 1 и можно найти координаты точки пересечения, подставляя это значение в уравнения прямой: M (3,6,−1) .

Ответ: координаты точки пересечения плоскости и прямой M (3,6,−1) . Пример 5. Прямая задана общими уравнениями:

	x − y + z −2	=	0
		5 =	.
2x + y −2z +		5 =	0

Найти канонические уравнения этой прямой.

Решение. Исключая последовательно из системы переменные x и y, полу-

чим:

3y −4z +9 = 0 и 3x − z + 3 = 0 .

Выразим переменную z из обоих уравнений и приравняем полученные результаты:

x +1

y +3

x +1

y +3

Ответ: канонические уравнения прямой имеют вид

Пример 6. Найти величину угла между прямой l1 , заданной канонически-

ми уравнениями:

x −1

y − 2

z −1

и прямой l2 , заданной общими уравнениями:

− y

+ z +3 = 0,

x − y + z +5 = 0.

Решение. Найдем направляющий вектор s2 прямой l2

как векторное про-

изведение нормальных векторов плоскостей:

sG2 =

= 0iG

2 −1 1

− Gj −k.

−1

Подставим координаты направляющих векторов в формулу (3.28):

cosα =

5 0 + 4 (−1) +3 (−1)

+ (−1)

3 0

Ответ: величина угла между заданными прямыми равна arccos (

) .

Пример 7. Найти расстояние от точки M0(3,−2,1) до прямой l1 , заданной

каноническими уравнениями

x − 2

y + 5

z − 3

−3

Решение. В данном случае можно взять в качестве точки, принадлежащей

JJJJJJG

прямой, точку M1(2,−5,3) , тогда M1M0

= (−1, −3, 2) . Направляющим вектором

прямой l является вектор

= (2,−3,4) .

Вычислим векторное произведение,

стоящее в числителе формулы (3.33):

JJJJJJJG

= 6iG

−8 Gj −

sG×M1M0 =

−3 4

9k.

−1

−3

Подставим эти значения в формулу (3.33):

Вопросы для самопроверки по теме 3.3

1.Запишите общее уравнение плоскости .

2.Выведите уравнение плоскости в отрезках.

3.Выведите уравнение плоскости, заданной точкой и нормальным вектором.

4.Выведите уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум неколлинеарным векторам.

5.Выведите уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.

6.Выведите параметрические и канонические уравнения прямой.

7.Покажите на примере, как осуществляется переход от общих уравнений прямой к параметрическим.

8.Продолжите определение: “ Углом между прямыми в пространстве называется….. ”.Как найти величину этого угла по уравнениям прямых?

9.Продолжите определение: “ Углом между прямой и плоскостью называется….. ”. Как найти величину этого угла по уравнениям прямой и плоскости?

10.Дайте определение угла между плоскостями. Как найти величину этого угла по уравнениям плоскостей?

11.Выведите формулы для нахождения расстояния от точки до плоскости.

12.Выведите формулы для нахождения расстояния от точки до прямой.

3.4.Кривые второго порядка

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими кривыми:

•Эллипс.

•Гипербола.

•Парабола.

После изучения материалов Вам следует ответить на вопросы для самопроверки и решить тест. При возникновениии вопросов следует обратиться к [2], глава 4, с.59-65 иликглоссарию– краткому словарюосновныхтерминовиположений.

Студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо из контрольной работы№1 решитьзадачупод№31-40 всоответствиисосвоимвариантом.

Эллипс

Кривой линией второго порядка на плоскости называется множество то-

чек, координаты которых в прямоугольной системе Oxy удовлетворяют уравне-

нию второй степени:
Ax2 + 2Bxy +Cy2 + Dx + Ey + F = 0,	(3.34)
где хотя бы один из параметров A, B, C отличен от нуля.

При изучении линий второго порядка применяют метод преобразования координат с целью нахождения такой новой системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид. Такие наиболее приспособленные к линиям второго порядка системы координат называются каноническими, а уравнения линий в этих системах – каноническими уравнениями. Рассмотрим канонические уравнения трех линий второго порядка.

Эллипсом называется линия второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид:

x2	+	y2	= 1	,	(3.35)
a2		b2

где a и b любые положительные числа. Исследуем форму эллипса.

Из уравнения следует, что для точек эллипса выполняются соотношения:

x2	≤1,	y2	≤1	≤	≤
a2		b2
				откуда \| x \|	a,\| y \| b , т.е. эллипс расположен внутри прямо-

угольника, задаваемого неравенствами − a ≤ x ≤ a,−b ≤ y ≤ b (рис. 3.27). Найдем точки пересечения эллипса с осями координат: c осью Oy - это точки B1(0,−b)

и B2(0,b) ; с осью Ox - A1(−a,0)				и A2(a,0) . Эти точки называются вершинами
эллипса. Отрезки	A1 A2 = 2a и B1B2 = 2b называются большой и малой осями
эллипса. Соответственно, числа a и b назы-						y
ваются большой и малой полуосями.						y
Переменные x и y содержатся в уравне-						b
нии эллипса в четных степенях. Это означа-						b	M
ет, что эллипс симметричен относительно						B2
осей Ox и Oy , а также относительно начала					-a A1		A2	a
системы координат – точки O (ее называют					-a A1		A2	a
центром эллипса); поэтому				рассмотрим	F1	O	F2	x
лишь ту часть кривой, которая лежит в пер-						B1
вой четверти координатной плоскости. Раз-						B1
вой четверти координатной плоскости. Раз-
решим уравнение эллипса относительно пе-						-b
ременной y с учетом того, что в этой чет-						Рис. 3.27
верти y > 0 , тогда						Рис. 3.27
y = b 1−	x2
			.
	a	2	.
	a
Из этого равенства следует, что при увеличении x						от 0 до a соответст-
вующее значение	y будет убывать от b до 0 , поэтому, учитывая симметрию

эллипса, приходим к выводу о том, что эллипс – это замкнутая линия овальной

формы.

Если в уравнении эллипса положить a = b = r , то оно превратится в уравнение окружности x2 + y2 = r 2 радиуса r с центром в начале координат. Степень отличия эллипса от окружности принято описывать с помощью величины,

называемой эксцентриситетом

	ε =	c	,	(3.36)
		a

где	c = a2 −b2 .			(3.37)

Так как c < a , то 0 ≤ ε < 1. При ε = 0 получаем a = b и эллипс является окружностью. При уменьшении значения b эллипс сжимается к большой оси, а эксцентриситет увеличивается.

Фокусами эллипса называются лежащие на большой оси эллипса точки F1(−c,0) и F2(c,0) . Эти точки обладают следующим свойством: сумма рас-

стояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная, равная длине большой оси эллипса, т.е.

MF1 + MF2 = 2a ,

где М - произвольная точка эллипса.

Гипербола

Гиперболой называется линия второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид:

x2	−	y2	= 1,	(3.38)
a2		b2

где a и b – любые положительные числа.

	b			y				b
	b							b
y = −		x					y =		x
	a
	a							a
		M		b
					B2
		F1	− a A1	O	A2 a	F2	x
					B1
				−b

Рис. 3.28

Из уравнения следует, что для точек гиперболы выполняется условие:

x2	≥1		≥		−a < x < a

a2		или	\| x \| a	, то есть у гиперболы нет точек внутри полосы		.

При y = 0 из уравнения гиперболы имеем x = ±a , значит, гипербола пересекается с осью Ox в двух точках: A1(−a,0) и A2(a,0) , которые называются вершинами гиперболы (рис. 3.28). С осью Oy гипербола не пересекается, так как

B1B2 = 2b называют, соответственно, вещественной и мнимой осями. Числа a

и b - вещественной и мнимой полуосями. Точка О - это центр гиперболы. Поскольку каноническое уравнение гиперболы содержит только четные

степени координат, то гипербола, как и эллипс, симметрична относительно осей и начала координат. Разрешим уравнение гиперболы относительно переменной y :

y = ±b	x2	−1 .
	a2

Очевидно, что при возрастании абсолютного значения x от a до бесконечности абсолютное значение y неограниченно возрастает.

При больших значениях x можем записать:

y ≈ ±b	x	2	= ±	b	x
						.
	a	2		a

Это означает, что при увеличении абсолютного значения x гипербола неогра-

ниченно приближается к прямым y = ± ba x , которые называются асимптотами

гиперболы.

Степень "сжатия" гиперболы к оси Ox определяет эксцентриситет:

ε = ac ,

где
	c =	a2 +b2	(3.39)
Так как c > a ,	то для гиперболы:	1 < ε < +∞. Чем меньше ε, тем сильнее
гипербола "сжата" к оси Ox .
Точки F1(−c,0)	и F2(c,0) называются фокусами гиперболы. Сформулиру-

ем фокальное свойство гиперболы: абсолютное значение разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов есть величина постоянная, равная 2a , т.е.

MF1 − MF2 = 2a ,

где М- произвольная точка гиперболы.

Если a = b , то гипербола называется равнобочной. Ее асимптоты в этом случае взаимно перпендикулярны. Если их выбрать за оси координат, то в новой прямоугольной системе координат гипербола будет задаваться уравнением

вида y = k , где k = a2 . x 2

100

Парабола

Параболой называется линия второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид:

y2 = 2 px ,

(3.40)

где p - любое число.

Пусть p > 0 , тогда парабола расположена правее оси Oy .

Из уравнения параболы следует, что при увеличении x координата y неограниченно возрастает по абсолютному значению. Четность степени y в уравнении означает симметричность параболы относительно оси Ox . Ось симметрии называется осью параболы, а точка пересечения параболы с осью - вершиной параболы. Парабола имеет вид, представленный на рис. 3.29.

Точка F( 2 ,0) , лежащая на оси симметрии, называется фокусом пара-

болы, а прямая x = − 2p - ее директри-

−	p	О	p			x
			F		,0
	2		F	2	,0
	2			2

Рис. 3.29

сой. Точки параболы обладают следующим свойством: каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы параболы, т.е.

	MF	=	MN	,
	MF	=	MN	,
где М - произвольная точка параболы, а					y	y′
точка N- основание перпендикуляра,					y	y′
точка N- основание перпендикуляра,
опущенного из М на директрису.

Решение примеров

Пример 1. Привести уравнение 9x2 + 4 y2 −36x +8y + 4 = 0 к канониче-

скому виду, определить вид линии, описываемой этим уравнением, сделать схематический рисунок.

Решение. Преобразуем исходное уравнение, дополнив до полных квадратов выражения, содержащие x и y соответственно.

9(x2 − 4x + 4) + 4( y2 +

2
	2	4
O	0′	x
-1		x′

-4

Рис. 3.30

2 y +1) + 4 −36 − 4 = 0

101

или

9(x − 2)2 + 4( y +1)2 = 36 .

Разделив обе части последнего уравнения на 36 , получим

(x − 2)2 + ( y +1)2 = 1. 4 9

Перейдем к новым координатам по формулам

x′ = x − 2,y′ = y +1,

то есть, совершим параллельный перенос осей, причём новое начало координат поместим в точку O′(2, −1) . В новой системе координат O′x′y′ уравнение при-

мет вид

x′2 + y′2 = 1. 22 32

Получено каноническое уравнение эллипса. Его центр находится в точке O′(2, −1) , величины полуосей a = 2, b = 3 (рис. 3.30).

Пример 2. Найти координаты точек пересечения кривых, заданных урав-

x	2	− y	2	= 4		8			2 y = x + 2
x		− y		= 4	3				2 y = x + 2
					3
					1
				-2	O		2 10		x
								3

нениями: x2 − y2 = 4 и

2 y = x + 2 .

Решение. Для опре-

деления координат точек пересечения кривых решим систему из указанных уравнений:

Рис. 3.31

y = 2x +1,

x2 − ( 2x +1)2 = 4,

Найдем соответствующие значения переменной y : y1 = 0; y2 = 83 .

Рисунок 3.31 подтверждает аналитическое решение.

102

Пример 3. Составить уравнение параболы, фокус которой находится в точке пересечения прямой 4x − 3y − 4 = 0 с осью Ox.

Решение. Найдем точку пересечения прямой 4x − 3y − 4 = 0 с осью Ox.

Для этого положим y = 0 и определим соответствующее значение	x =1. Зна-
чит, фокус параболы находится в точке F(1,0), которая лежит на оси симметрии
кривой. Каноническое уравнение параболы в этом случае имеет вид:
y2 = 2 px .
По координатам фокуса определяем p = 2 , тогда уравнение	параболы
y2 = 4x .

Пример 4. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и

нижнюю вершину эллипса x2 + y2 = 0 .

25 16

Решение. Из уравнения кривой определим ее полуоси: a = 5, b = 4. На основании (3.37) найдем координаты фокусов эллипса

c = 52 − 42 = 9 = 3 .

Отсюда, левый фокус эллипса имеет координаты F1(-3,0). Нижняя вершина эллипса находится в точке с координатами В1(0,-4) (рис. 3.32). Для написания

уравнения прямой вос-

пользуемся

формулой

4x + 3y +12 = 0

(3.13), в которую под-

ставим координаты то-

чек F1 и В1:

x +3

y −0

0 +3

−4 −0

-5

-3

или

x +3

−4

-4

После преобразо-

Рис. 3.32

ваний получим искомое уравнение прямой:

4x + 3y +12 = 0 .

Пример 5. Составить уравнение гиперболы с центром в начале координат, симметричной относительно осей координат, если известно, что она проходит

через точку M ( 3, 2 ) и ее эксцентриситет равен ε = 2 . Решение. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

x2	−	y2	= 1.
a2		b2

Нам необходимо определить значения величин a и b . Воспользуемся формулой (3.39) для вычисления эксцентриситета гиперболы

103

ε =	c	=	a2 + b2	,	или после подстановки ε = 2 получим a 2 = a2 +b2 .
	a		a

Отсюда имеем: a = b . Так как точка М лежит на гиперболе, то ее координаты должны удовлетворять каноническому уравнению гиперболы, то есть

32	−	2 2	= 1 или	3	−	2	= 1.
a2		b2		a2		b2

Зная, что a = b , получим из последнего равенства a = b =1. Запишем уравнение гиперболы x2 − y2 =1.

Вопросы для самопроверки по теме 3.4

1.Дайте определение эллипса. Какой вид имеет эта кривая в декартовой прямоугольной системе координат?

2.Запишите каноническое уравнение эллипса.

3.Что такое большая и малая полуоси эллипса?

4.Какая характеристика служит для описания степени сжатия эллипса?

5.Дайте определение фокусов эллипса и сформулируйте свойства этих то-

чек.

6.Дайте определение гиперболы. Какой вид имеет эта кривая в декартовой прямоугольной системе координат?

7.Дайте определения эксцентриситета и фокусов гиперболы. Сформулируйте свойство фокусов гиперболы.

8.Дайте определение параболы. Какой вид имеет эта кривая в декартовой прямоугольной системе координат?

9.Дайте определения директрисы и фокуса параболы. Сформулируйте свойства фокуса и директрисы параболы.

10.Выпишите общее уравнение линии второго порядка. Перечислите все геометрические объекты, которые могут быть описаны этим уравнением.

11.Покажите на примере, как можно привести общее уравнение кривой к каноническому виду с помощью преобразования системы координат.

Если Вы испытываете трудности с ответами на вопросы, обратитесь к [2], глава 4.

3.5. Поверхности второго порядка

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими поверхностями:

•Эллипсоид.

•Гиперболоиды.

•Конус второго порядка.

•Параболоиды.

•Цилиндры второго порядка.

104

После изучения темы Вам следует ответить на вопросы для самопроверки и решитьтест. Привозникновенииивопросовобращайтеськ [2], глава5, с.69-81.

Студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить одну задачуизконтрольной работы№1 всоответствиисосвоимвариантомпод№41-50.

Эллипсоид

По аналогии с уравнениями кривых второго порядка на плоскости вводятся уравнения поверхностей второго порядка в пространстве, а затем после введения канонических систем координат в пространстве получаются соответствующие канонические уравнения поверхностей.

Рассмотрим канонические уравнения поверхностей второго порядка в прямоугольной декартовой системе координат.

Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:

x	2		y2			z2		= 1,
		+			+				(3.41)
a	2		b	2		c	2

где a, b, c - некоторые положительные числа.

Степени всех переменных, входящих в это уравнение, являются четными, поэтому эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, а также осей и начала координат. Отсюда следует, что эллипсоид целиком со-

держится внутри прямоугольного параллелепипеда со сторонами 2a,2b,2c , па-

раллельными координатным плоскостям.

Для исследования формы поверхности применим метод параллельных сечений. Рассмотрим сначала сечения эллипсоида плоскостями, параллельными

плоскости Oxy . В сечении плоскостью z = h , где h < c , будем иметь линию, уравнение которой получаем, подставляя z = h в уравнение (3.41):

	x2			y2			h2
			+			= 1−			, z = h.	(3.42)
	a	2		b	2		c	2

Преобразуем это уравнение, разделив все равенство на выражение, стоя-
щее в правой его части и получим ка-										z
ноническое уравнение эллипса:

= 1, z = h.

−

1−

При h = 0 получим эллипс с полуося-

ми a и b . С увеличением \| h \|		полуоси
эллипса	будут уменьшаться	и при
\| h \|= c	из уравнения (3.42)	имеем

x = 0, y = 0 . Это означает, что плоскости z = c и z = −c имеют с эллипсои-

	c
0	b
a	y

Рис. 3.33

105

дом по одной общей точке с координатами (0,0,c) и(0,0, −c) соответственно. Аналогично рассматриваются и сечения эллипсоида плоскостями, парал-

лельными плоскостям Oxz и Oyz . Полученная информация о сечениях эллип-

соида позволяет представить себе строение данной поверхности в целом (рис. 3.33).

Вершинами эллипсоида называются точки пересечения поверхности с осями координат; центр эллипсоида находится в начале координат. Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если все три полуоси совпадают, т.е. a = b = c = R , то уравнение эллипсоида принимает вид:

x2 + y2 + z2 = R2 ,

и эллипсоид в этом случае является сферой радиуса R с центром в начале координат. Нетрудно показать, что каждый эллипсоид может быть получен из сферы сжатием или растяжением вдоль трех взаимно - перпендикулярных осей.

Гиперболоиды

Однополостным гиперболоидом

уравнение которой имеет вид:

x2 + y2 − z2 a2 b2 c2

называется поверхность, каноническое

= 1, a,b,c > 0.

(3.43)

Исследуем однополостный гиперболоид методом сечений. Сечение этой поверхности плоскостью z = h определяется системой уравнений:

= 1, z = h

и, следовательно, является эллипсом при любом h . Полуоси эллипсов имеют при h = 0 наименьшие значения и увеличиваются при возрастании | h | , то есть,

при удалении плоскости сечения от плоскости Oxy . Сечение наименьшего размера, расположенное в плоскости Oxy , принято называть горло-

вым эллипсом.

Сечения плоскостями Oyz и Oxz являются

гиперболами, которые задаются, соответственно, системами:

y2	−	z2	= 1,	x = 0;
b2		c2

x2	−	z2	= 1,	y = 0.
a2		c2

Таким образом, однополостный гиперболоид имеет форму бесконечной трубы эллиптического сечения, которая расширяется от горлового эллип-

0 b

a y

Рис. 3.34

106

са (рис. 3.34). Ось Oz называется осью гиперболоида.

Числа a, b, c называются полуосями однополостного гиперболоида.

Так как уравнение рассматриваемой поверхности содержит переменные в четных степенях, то однополостный гиперболоид имеет три плоскости симметрии, совпадающие с координатными плоскостями Oxy , Oyz и Oxz , а также три

оси симметрии, совпадающие с координатными осями Ox , Oy и Oz . Центр симметрии однополостного гиперболоида совпадает с началом координат.

= 1

= 1, отличаю-

Очевидно, что уравнения

−

и −

щиеся от канонического лишь переобозначениями координат, также задают однополостные гиперболоиды, имеющие оси, соответственно, Oy и Ox .

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:

x2			y2			z2		= −1.
		+			−				(3.44)
a	2		b	2		c	2

где a, b, c – некоторые положительные числа.

Так же, как и в случае однополостного гиперболоида, из четности степеней переменных в каноническом уравнении видно, что двуполостный гиперболоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

Рассмотрим сечения заданной поверхности плоскостями z = h , где h > c :

−1,

z = h.

Если h2

< c2 ,

то правая часть первого уравнения отрицательна и данная

система не задает никакой фигуры. При

= c

сечения гиперболоида плоско-

стями z = c и z = −c дают по одной точке с коор-

динатами (0,0,c)

и (0,0, −c) .

При | h |> c

сечения

представляют собой эллипсы:

= 1,

z = h.

−1

− c

Их центры лежат на оси Oz , а оси параллельны

осям Ox и Oy . Полуоси этих сечений

неограни-

ченно возрастают при увеличении | h | .

Сечения

плоскостями

Oxz

Oyz , как и

Рис. 3.35

случае однополостного гиперболоида,

являются

гиперболами:

107

= 1, y = 0

= 1, x = 0 .

−

Проведенное исследование показывает, что двуполостный гиперболоид состоит из двух частей, называемых полостями гиперболоида, и расположенными по разные стороны от плоскости Oxy (рис. 3.35).

Числа a, b, c , как и в предыдущем случае, называются полуосями гиперболоида.

= −1

Уравнения

−

и −

также задают двуполо-

стные гиперболоиды, осями которых являются, соответственно, оси Oy и Ox .

Конус второго порядка

Конусом второго порядка называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:

x2	+	y2	−	z2	= 0,	(3.45)
a2		b2		c2

где a, b, c – некоторые положительные числа.

Для изучения формы конуса применим метод сечений. Сечения плоскостями z = h являются эллипсами:

за исключением случая

h = 0 ,

когда этот эллипс вы-

рождается в одну точку O(0,0,0) . Полуоси этих сече-

ний увеличиваются пропорционально росту

Сечения плоскостями

Oxz

и Oyz представляют

y собой пары пересекающихся прямых, задаваемых сис-

темами:

y = 0

−

= 0,

−

= 0,

x = 0 .

Рис. 3.36

Так как уравнение конуса содержит лишь квадраты переменных, то конус симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат. Таким образом, конус второго порядка имеет вид, представленный на рис. 3.36.

Параболоиды

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:

108

плоскостей Oyz и Oxz , а, следовательно, и относительно оси Oz . Кроме того, левая часть уравнения всегда не отрицательна, поэтому для любой точки параболоида z ≥ 0 , а это означает, что параболоид

лежит по одну сторону от плоскости Oxy . z

Сечения			параболоида		плоскостями
z = h(h > 0) являются эллипсами
	x2	+	y2	= 1, z = h,
	(a h)2		(b h)2

полуоси которых неограниченно возрастают при
увеличении h . Сечения плоскостями Oxz и Oyz
представляют собой параболы:						x
			x2 = a2 z, y = 0 и
				y2 = b2 z, x = 0 .

0 y

Рис. 3.37

Параболоид имеет вид, представленный на рис. 3.37.

Ось симметрии параболоида называется осью эллиптического параболоида, а точка пересечения параболоида и его оси называется вершиной параболоида.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:

x2	−	y2	= z,	(3.47)
a2		b2

где a и b – любые положительные числа.

В этом случае рассмотрим сначала сечения данной поверхности плоскостями x = h , параллельными плоскости Oyz . Эти сечения являются параболами:

		2		2		h2
z	y		= −b		(z −		), x = h .
						a2

Вершины этих парабол лежат в плоскости y = 0 , сами параболы y симметричны относительно этой

плоскости, а их ветви направлены 0 вниз - в сторону отрицательных

значений z .

Сечение плоскостью y = 0 также

x	является параболой:
x	x2 = a2 z, y = 0 ,
Рис. 3.38	вершина которой лежит в начале

109

координат, ось совпадает с осью Oz , а ветви направлены вверх - в сторону положительных z .

Таким образом, рассматриваемая поверхность имеет форму седла с двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии Oxz и Oyz (рис. 3.38).

Горизонтальные сечения гиперболического параболоида являются гиперболами, за исключением сечения плоскостью z = 0 , которое представляет собой пару пересекающихся прямых.

Цилиндры второго порядка

Цилиндрической поверхностью или цилиндром называется поверх-

ность, образованная прямыми, проведенными через всевозможные точки заданной линии S параллельно заданной прямой l . При этом линия S называется направляющей цилиндра, прямая l - осью цилиндра, а прямые, параллельные оси и лежащие на цилиндре - его образующими.

Уравнения второго порядка


	x2	+		y2		= 1,	(3.48)
	a2	+		b2		= 1,	(3.48)
	a2			b2
x2		−	y2		= 1,		(3.49)
a2		−	b2		= 1,		(3.49)
a2			b2
y2 = 2 px							(3.50)

задают в пространстве цилиндрические поверхности с осью Oz . Их направляющими являются, соответственно, эллипс, гипербола и парабола, заданные на плоскости теми же уравнениями. Тип направляющей определяет название цилиндра второго порядка: эллиптический цилиндр (рис. 3.39), гиперболический цилиндр (рис. 3.40), параболический цилиндр (рис. 3. 41).

				0
0	x	0	x	x
y		y		y
Рис. 3.39		Рис. 3. 40		Рис. 3.41

110

Решение примеров

Пример 1. Привести уравнение x2 + y2 + z2 − 4x + 6 y + 2z − 2 = 0 к каноническому виду, определить вид поверхности.

Решение. Дополним уравнение до полных квадратов всех трех перемен-

ных:

(x2 − 4x + 4)+(y2 + 6 y +9)+(z2 + 2z +1)− 2 = 4 +9 +1.

После преобразований получим:

(x − 2)2 + (y + 3)2 + (z +1)2 = 42 .

Полученное каноническое уравнение описывает сферу с центром в точке

В(2,-3,-1) и радиусом R = 4 .

Пример 2. Составить уравнение эллиптического параболоида с вершиной в начале координат и осью симметрии Oz, если известно, что точки M (−1, −2, 2) и N (1,1,1) лежат на этой поверхности.

Решение. Каноническое уравнение эллиптического параболоида с вершиной в начале координат и осью Oz имеет вид:

Точки M и N лежат на данной поверхности, поэтому их координаты должны удовлетворять уравнению эллиптического параболоида. Подставив координаты точек в уравнение (3.51), получим:

	(−1)2					+		(−2)2			= 2,

			2							2
	2a		2						b	2
	2a				2				b
	1		+		1				= 1.

					b2
a2					b2
Преобразуем эту систему:		2					2				2			2
		2	+ 4a				2		=		2			2
b			+ 4a						=	2a b,
			2	+ a			2			2		2	.
b				+ a					= a b				.
															3
Вычтем из первого уравнения второе и определим b2 = 3 и далее a2 =															3	.
															2	.
															2

Подставим найденные значения a2 и b2 в уравнение эллиптического параболоида и упростим его:

2x2 + y2 = 3z .

Каноническое уравнение эллиптического параболоида с указанными па-

	x2			y2
раметрами имеет вид		+			= z.
	( 1,5 )2		(	3)2

Пример 3. Составить уравнения линий пересечения двуполостного гипер-

111

болоида x2 + y2 − z2 = −4 и эллипсоида x2 + y2 + 2z2 =11 .

Решение. Определим уравнения плоскостей, в которых лежат линии пересечения поверхностей. Для этого найдем значения переменной z, удовлетворяющие обоим уравнениям. Вычитая из второго уравнения первое, получим

3z2 =15 ,

откуда

z = ± 5 .

Подставляя найденные значения переменной z в уравнение любой из поверхностей, получим уравнения окружностей x2 + y2 =1, лежащих в плоскостях z = 5 и z = − 5 .

Таким образом двуполостный гиперболоид x2 + y2 − z2 = −4 и эллипсоид

x2 + y2 + 2z2 =11 пересекаются по окружностям x2 + y2 =1.

Пример 4. Определить вид поверхностей, ограничивающих тело, заданное в пространстве системой неравенств, и изобразить это тело:

x2 + y2 − (z − 2)2 ≤ 0,x2 + y2 − z2 ≤ 4,

−1 ≤ z ≤ 2.

Решение.		Уравнение
x2 + y2 −(z − 2)2 = 0 задает
						z
в пространстве			конус	с

осью	Oz ,	смещенный
вдоль оси Oz на две еди-
ницы.	Эта	поверхность
разбивает все пространство
на три части: точки самого					2
конуса,	точки		внутри	и		О
							y
снаружи	конуса.		Возьмем
					2
произвольную		точку внут-

ри конуса, например точку					-1
О(0,0,0).	Ее	координаты
удовлетворяют			первому
неравенству, поэтому нера-					x
венство описывает область
внутри конуса.
Уравнение
x2 + y2 − z2 = 4		задает		од-		Рис. 3.42
нополостный		гиперболоид

с осью вращения Oz . В сечении гиперболоида плоскостью z = 0 получаем

112

окружность с радиусом r = 2 . Координаты произвольной точки внутри гиперболоида (той же точки О(0,0,0)) удовлетворяют и второму неравенству, поэтому данное неравенство также описывает область внутри гиперболоида.

Наконец, неравенство −1 ≤ z ≤ 2 задает ту часть пространства, которая лежит между плоскостями z=-1 и z = 2.

Из изложенного следует, что исследуемое тело имеет вид, указанный на рис. 3.42.

Пример 5. Сделать схематический рисунок тела, заданного системой неравенств, указать вид поверхностей, ограничивающих тело:

y2 − x2 ≤ 2 y,

≤ z ≤ y,

−4 ≤ y ≤ 4.

Решение. Приведем уравнение

y2 − x2 = 2 y к каноническому виду:

( y −1)2 − x2 =1.

В пространстве такое уравнение

z = y

описывает гиперболический цилиндр с

осью, смещенной вдоль оси Oy на одну

единицу. Первое неравенство описыва-

ет область внутри цилиндра (проверим

точку с координатами (0,5,0) на при-

z =

надлежность этой части пространства).

Уравнения

z =

z = y опре-

•

деляют две пересекающиеся плоско-

−4

О 2

сти, перпендикулярные

координатной

плоскости Oyz.

Вторые

неравенства

описывают часть пространства между

ними.

y = ±4

определяют

Уравнения

две параллельные плоскости, перпен- x Рис. 3.43 дикулярные координатной плоскости Oxy . Третьи неравенства описывают

часть пространства от плоскости y = −4 до плоскости y = 4 . Ответ: исследуемое тело имеет вид, указанный на рис. 3.43.

Вопросы для самопроверки по теме 3.5

1.Дайте определение цилиндрической поверхности. Перечислите известные Вам цилиндры второго порядка. Какой вид они имеют?

2.Дайте определение эллипсоида. Какой вид имеет эта поверхность в канонической системе координат?

113

3.Какие линии представляют собой сечения эллипсоида плоскостями, параллельными координатным?

4.Продолжите определение: “Однополостным гиперболоидом называется….. ”. Исследуйте форму этой поверхности форму методом сечений.

5.Дайте определение двуполостного гиперболоида.

6.В каком случае говорят о поверхностях вращения? Приведите примеры .

7.Запишите каноническое уравнение конуса второго порядка. Изобразите эту поверхность.

8.Дайте определение эллиптического параболоида. Какой вид имеет эта поверхность в канонической системе координат?

9.Продолжите определение: “Гиперболический параболоид-это... ”.

3.6.Линейное векторное и евклидово пространства. Квадратичные формы

При изучении данной темы Вам предстоит познакомиться со следующими понятиями:

•Линейное векторное пространство.

•Линейный оператор.

•Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.

•Евклидово пространство.

•Квадратичная форма.

Множество V называется линейным векторным пространством, ес-

ли на нем определены две операции: сложение и умножение на число, при-

чем	a +b = b + a	для любых a,b V (коммутативность сложения);
1)
2)	(a +b)+ c = a +(b + c) для любых		a,b,c V (ассоциативность сложе-
ния);	λ(βa) = (λβ)a для любого a V
3)			и любых чисел β и λ (ассоциатив-
ность умноженная на число);
4)	λ(a +b) = λa + λb для любых a,b V и любого числа λ (дистрибутив-
ность умножения на число относительно сложения);
5)	(λ +β)a = λa +βa для любого a V и любых чисел λ и β;
6)	существует 0 – нейтральный элемент относительно сложения – такой,
что a + 0 = a для всех a V ;
7)	1a = a для всех a V ;
8)	для любого	a V существует противоположный ему элемент −a , так
что a +(−a) = 0.

Элементы линейного векторного пространства часто называют векторами. Свойства линейных векторных пространств и примеры таких пространств можно найти в [2], гл.6, с.81-86.

114

Линейным оператором A , отображающим пространство V в пространство U , называется закон, ставящий в соответствие каждому вектору x V единственный элемент A(x) U , причем A(λx +βy) = λA(x) +βA( y) для

всех x, y V и любых чисел βλ. Скобки в последней формуле обычно не

пишут. Действия над линейными операторами и примеры таких операторов рассмотрены в [2], гл.6, с.92-95.

Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора A , если найдется такое число λ, что Ax = λx . В этом случае говорят, что собственный вектор x отвечает собственному числу λ линейного оператора A . Подробнее этот вопрос рассмотрен в [2], гл.6, с.98-101.

Вещественное линейное векторное пространство V называют евклидовым, если в нем определена операция, ставящая в соответствие любым вектором a,b V вещественное число (a,b), называемое их скалярным про-

изведением, причем
1)	(a,b) = (b, a) для всех	a,b V ;
2)	(a +b,c) = (a,c) +(b,c)	для всех a,b,c V ;
3)	(λa,b) = λ(a,b) для всех a,b V и любого числа λ;
4)	(a, a) > 0, если a ≠ 0 .

Подробнее этот вопрос рассмотрен в [2], гл.6, с.87-92.

Квадратичной формой называют однородный многочлен второй сте-

пени от x1, x2 ,..., xn :

Ô(x1, x2 ,..., xn ) = c11x12 + c12 x1x2 +... + c1n x1xn +

+c22 x22 +... + c2n x2 xn +

+ cnn xn2.

Ее коэффициенты в этой записи образуют треугольную матрицу. Удобнее каждый недиагональный коэффициент разделить на 2 и записать дважды; тогда

Ô(x1, x2 ,..., xn ) = a11x12 + a12 x1x2 +... + a1n x1xn +

+a21x2 x1 + a22 x22 +... + a2n x2 xn +

+ an1xn x1 + an2 xn x2 +... + ann xn2 ,

где aij = a ji . Введем матрицу квадратичной формы

	a11	a12	a1n
A =	a21	a22	a2n	.
	an1	an2	ann

115

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.02.201646 Кб21Мат.ч.2.doc
#
16.02.2016773 Кб57Математика для 1 курса.pdf
#
18.11.20185 Мб42МАТЕМАТИКА методичка.doc
#
16.02.20162 Мб76Математика ч.1 (УМК 7,8).pdf
#
16.02.20162 Мб47Математика ч.2 (УМК).pdf
#
16.02.20162 Мб44Математика часть 1 УМК.pdf
#
16.02.201645 Кб27Математика(шифр 03).docx
#
16.02.20163 Мб50МатериаловедениеМУРЛ2007.doc
#
16.02.20166 Мб96МатериаловедениеУМК2008.doc
#
01.05.20252 Мб2Материалы 01-02.doc
#
16.02.20161 Мб19мелиорация 1ч.doc