Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Западный государственный заочный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика часть 1 УМК.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.02.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

уравнение которой имеет вид	x2	+	y2	= z , где a и b - некоторые
	a2		b2

положительные числа.

3.5. Технические и программные средства обеспечения дисциплины

Видеолекции по курсу размещены на канале UTUBE.

3.6. Методические указания к проведению практических занятий

Практические занятия для студентов очной формы обучения проводятся в аудиторном виде. Для студентов очно-заочной и заочной форм обучения часть занятий проводится в аудиторной форме, часть – с помощью дистанционных образовательных технологий на учебном сайте СЗТУ. Тематика практических занятий и количество часов указаны в п. 2.5. Методика проведения занятий описана в [4].

4. Блок контроля освоения дисциплины

4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ

На первом курсе студенты изучают разделы математики, содержащиеся в части I, и выполняют контрольные работы № 1 и № 2 в первом семестре.

Прежде чем выполнять контрольные работы, следует изучить теоретический материал по указанной литературе, разобрать решения типовых задач, приведенных в данном комплексе, выработать навыки решения примеров и задач по соответствующей теме, проверив себя по тренировочным тестам, приведенным в 4.4. При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться указанных ниже правил:

1. Контрольная работа должна быть выполнена студентом в отдельной ученической тетради в клетку, с полями не менее 3 см для замечаний преподавателя.

2. На обложке тетради указывается фамилия, имя, отчество студента, шифр (номер студенческого билета), курс, факультет и специальность, по которой студент обучается, номер контрольной работы, год издания методических указаний, из которых взято контрольное задание.

181

3.Условия задачи переписываются полностью, без сокращения слов, после чего приводится подробное решение со ссылками на использованные при решении определения, теоремы, формулы; в конце решения записывается ответ; чертежи можно выполнять аккуратно от руки.

4.В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по варианту. Контрольные задания, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.

5.Если в работе имеются ошибки, студент должен выполнить все требования преподавателя, изложенные в рецензии, и сдать работу с исправлениями на повторную проверку.

6.Никакие исправления в тексте уже проверенной работы не допускаются, все исправления записываются после рецензии преподавателя с указанием номера задачи, к которой относятся дополнения и исправления.

Студенты, обучающиеся заочно с элементами дистанционных образовательных технологий, оформляют контрольные работы в соответствии с рекомендациями, изложенными на сайте СЗТУ.

` 4.1.1. Методические указания к выполнению контрольной работы №1

Определители и системы линейных уравнений

Теоретический материал по данному вопросу изложен в опорном конспекте (см. темы 1.1, 1.2 на с. 18-45).

										1			0			−1
										1			0			−1
		Пример 1. 1) Вычислить определитель								2			1		0		, разложив его по
										0			−1		2
элементам первойстроки.
		Решение.
	1	0	−1	=1 (−1)1+1	1	0	+ 0		(−1)1+2			2	0			+ (−1) (−1)1+3		2	1	=


	2	1	0
	2	1	0		−1 2							0 2						0 −1
	0	−1	2
	0	−1	2
		=1 1(1		2 − 0(−1))+ 0 (−1)(4 − 0)+ (−1) 1(− 2 − 0)= 2 + 0 + 2 = 4.
								−3	2		1
								−3	2		1
		2) Вычислить определитель						4	− 2		−1			, разложив его по элементам
								0	3		1
первого столбца.

182

Решение.
				−3	2	1		= (−3)(−1)1+1		− 2	−1


				4	− 2 −1							+
				4	− 2 −1					3	1	+
				0	3	1
				0	3	1
+ 4(−1)2+1	32	11	+ 0(−1)3+1				−22 −11		= (−3) 1 1 + 4(−1)(−1)+ 0 = −3 + 4 =1.
+ 4(−1)2+1	32	11	+ 0(−1)3+1				−22 −11		= (−3) 1 1 + 4(−1)(−1)+ 0 = −3 + 4 =1.

При решении систем п линейных уравнений с п неизвестными следует знать, что система имеет единственное решение в том и только в том случае, когда ее определитель не равен нулю. Решение системы уравнений в этом случае находят по формулам Крамера. Если же определитель системы равен нулю, система или несовместна, илиимеетбесконечномногорешений.

Пример 2. Решить систему уравнений

2x + 2 y − z = 3,

4x +5z =19,

2x + y + z = 7.

Решение. Вычисляем определитель системы – определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, разложив его, например, по элементам второго столбца.

	2	2	−1	1+2	4	5		3+2	2	−1



D =	4	0	5	= 2(−1)	2	1	+ 0 +1(−1)		4	5	=
	2	1	1
	2	1	1

= 2(−1)(−6)+ 0 +1(−1) 14 =12 + 0 −14 = −2.

Так как D ≠ 0, то система имеет единственное решение, определяемоепо формуламКрамера:

x =	D	x	,	y =	Dy	, z =	D	z	,
					D
	D						D
где D – определитель				системы,		Dx ,	Dy , Dz - определители,

получающиеся из определителя системы заменой столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов. Вычисляем

Dx , Dy , Dz .

Dx =	3	2	−1	= −2; Dy =	2	3	−1	= −4; Dz =	2	2	3
	3	2	−1		2	3	−1		2	2	3
	19 0		5		4	19 5			4	0	19	= −6.
	7	1	1		2	7	1		2	1	7

Таким образом,

183

x =	− 2	= 1;	y =	− 4	= 2;	z =	− 6	= 3.
x =	− 2	= 1;	y =		= 2;	z =	− 2	= 3.
	− 2			− 2			− 2
Проверим полученное решение, подставив значения x =1, y = 2,
z = 3 в систему уравнений
		2 1+ 2 2 −3 = 3,
			4 1+5 3 =19,
			4 1+5 3 =19,
			2 1+ 2 +3 = 7.
			2 1+ 2 +3 = 7.

Все уравнения системы обратились в тождества, значит, система решена верно.

Матрицы и операции над ними

Теоретический материал по данному вопросу изложен в опорном конспекте (см. тему 1.3 на с. 46-60).

Пример 3. Решить систему уравнений

2x + 2 y − z

= 3,

4x + 5z =19,

2x + y

+ z = 7

с помощью обратной матрицы.

Решение. Введем следующиематрицы:

A =

−1

- матрицасоставленаизкоэффициентов при неизвестных (матрицасистемы);

X =

- матрица-столбец из неизвестных;

B =

- матрица-столбец свободных членов.

При этомисходная система может

быть записана в матричной форме: A X = B . Решим это уравнение. Для этого умножим слева обе части уравнения на матрицу A−1, обратную матрице А (в предположении, что матрица A−1 существует): A−1 A X = A−1 B.

184

1 0 0

Так как по определению обратной матрицы A−1 A = E , где E = 0 1 0 -

0 0 1

единичная матрица, то матричное уравнение примет вид:

E X = A−1 B или X = A−1 B (так как EX = X .).

Таким образом, матрица-столбец X находится

по

формуле X = A−1 B.

Обратная матрица A−1 существует,

если

определитель исходной матрицы А

отличен от нуля: D(A) ≠ 0, и вычисляется по формуле:

A−1 =

A11

A21

A31

D( A)

гдеАik – алгебраическиедополненияэлементоваik матрицы A(i, k =1, 2,3).

Определитель матрицы А равен

D( A) =

−1

= −2 (пример 2).

Таким образом, D(A) ≠							0, следовательно, A−1								существует. Вычисляем
алгебраические дополнения элементов матрицы А:
A = (−1)2			0 5		= −5;		A = (−1)3			4 5			= 6;		A = (−1)4		4 0				= 4;
A = (−1)2			0 5		= −5;		A = (−1)3			4 5			= 6;		A = (−1)4		4 0				= 4;
11			1	1			12			2	1				13		2		1
			1	1						2	1						2		1
A = (−1)3		2 −1				= −3;	A = (−1)4		2 −1					= 4;	A = (−1)5			2 2				= 2;
A = (−1)3		2 −1				= −3;	A = (−1)4		2 −1					= 4;	A = (−1)5			2 2				= 2;
21	1			1			22		2		1				23			2	1
	1			1					2		1							2	1
A = (−1)4		2		−1		=10;	A = (−1)5	2			−1	= −14;			A = (−1)6	2			2	= −8.
A = (−1)4		2		−1		=10;	A = (−1)5	2			−1	= −14;			A = (−1)6	2			2	= −8.
31		0		5			32	4			5				33	4			0
		0		5				4			5					4			0

Следует обратить внимание, что при нахождении обратной матрицы алгебраические дополнения элементов строк располагаются в качестве

столбцов. Отсюда		−5	−3	10		2,5	1,5	−5
A−1 = −	1
		6	4	−14	=	−3	−2 7		.
	2
		4	2	−8		−2	−1	4

Проверим, правильно ли найдена обратная матрица. Для этого убедимся, что

A−1 A = E. Произведение матриц A−1 A найдем по правилу умножения матриц, согласно которому каждый элемент сik произведения C = A B равен

185

сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементыk-й строкиматрицыВ.

		A−1 A =					2,5	1,5					−5					2 2					−1
							2,5	1,5					−5					2 2					−1
							−3 −2 7											4 0 5							=
							−2		−1		4							2 1				1
		5 + 6 −10				5 −5			−2,5 + 7,5 −5														1 0 0					= E.
		5 + 6 −10				5 −5			−2,5 + 7,5 −5														1 0 0
=		−6 −8 +14 −6 + 7								3 −10 + 7										=			0 1 0
		−4 − 4 +8 −4 + 4								2 −5 + 4													0 0 1
Следовательно, обратная						матрица					A−1					найдена верно. Найдем теперь
неизвестную матрицу X:									−5					3					7,5 + 28,5 −35											1
X = A−1 B =					2,5	1,5
					2,5	1,5
					−3 − 2 7									19			=		−9 −38 + 49										=	2	.
					− 2 −1 4									7						− 6 −19 + 28										3
Проверим полученный результат:																										3
	A X =			2 2 −1						1		=			2 + 4 −3												= B.
				2 2 −1						1					2 + 4 −3
			4 0 5							2											4 + 15			=		19
			2			1 1				3					2 + 2 + 3											7

Матрица X найдена верно. Таким образом, x 1

X = y = 2 , z 3

следовательно, решениесистемыуравненийимеетвид:

x =1,y = 2,

z = 3.

Векторы, операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов

Теоретический материал по данному вопросу изложен в опорном конспекте (см. раздел 2 на с. 61-76).

→	G	G	→	G G
Пример 4. На векторах AB = −5m +11n и			AC = 2m + 6n построен

треугольник ABC. Найти площадь треугольника ABC и его высоту, опущенную

186

на сторону BC, если длины векторов m и n равны соответственно 1 и 2 , а угол, образованный векторами m и n , равен 135°.

Решение. 1) Найдем площадь S треугольника ABC. Площадь треугольника, построенного на векторах, равна половине модуля их векторного произведения, то

→

есть S =

AB×

→

Вычислим векторное

произведение

векторов

AB и AC . Для этого

применимраспределительноесвойство векторного произведения:

→ →

G G

AB× AC

= (−5m +11n)×

(2m + 6n)= −10m ×m

+ 22n

×m −30m ×n + 66n ×n.

Векторное

произведение

вектора

самого

на

себя

равно нулевому

вектору,

следовательно m ×m = 0,

×n = 0; при перестановке сомножителей векторное

произведениеменяетзнакнапротивоположный, значит

−30m ×n

= 30n ×m. Отсюда

→

AB× AC = 22n

×m + 30n ×m

= 52n ×m.

Находим модуль полученного вектора

→

AB× AC

×m

= 52

2 1 sin135

= 52.

Следовательно, S =

52 = 26.

→

2) Найдем сторону ВСтреугольника ABC, то есть длину вектора BC . Согласно

правилу треугольника сложения векторов,

→

AB+ BC

= AC , откуда

→ → →

= AC

− AB = (2m + 6n)−(−5m +11n)= 2m

+ 6n +

5m −11n = 7m

−5n.

→

Найдем длину полученного вектора по формуле:

BC BC.

→

Под корнем стоит скалярное произведение вектора BC самого на себя. Найдем его

→ →

G G

BC BC = (7m −

5n) (7m

−5n)

= 49m m −

35n m −35m n

+ 25n

G G

С учетом того, что m m =

, n

m = m n, получаем

187

→ →

G G

− 70 1

2 cos135

+ 25 (

BC BC = 49

− 70m n + 25

= 49 1

2) =

= 49 − 70

−

= 49 + 70 + 50 =169.

+ 25 2

BC =

→

169

=13.

Таким образом,

3) Найдем высоту h треугольника ABC, опущенную на сторону ВС. По

формуле площади треугольника имеем S =

h BC, откуда h =

Площадь треугольника S и сторона ВС найдены ранее:

S = 26,

BC =13. Следовательно,

h =

2 26

= 4.

Уравнения прямых и плоскостей в пространстве

Теоретический материал по данному вопросу изложен в опорном конспекте (см. тему 3.3. на с. 89-97).

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

M1 (1,−2,3),	M 2 (2,−1,0) и точку пересечения прямой	x −1	=	y + 2	=	z + 2
		3
с плоскостью Oxy .			2		1

Решение.	Найдем координаты точки M3 (x, y, z)	- точки пересечения

заданной прямой с плоскостью Oxy . Для этого от канонических уравнений прямой перейдем к параметрическим и, добавив уравнение плоскости

Oxy z = 0, получим систему для определения координат искомой точки:
x =1+3t,
	+ 2t,
y = −2
	+t,
z = −2

z = 0.

Из	третьего	и четвертого уравнений			получим		t = 2, тогда
x = 7, y = 2, z = 0 .		Таким	образом,	M3 (7, 2, 0)		- точка	пересечения
заданной прямой с плоскостью Oxy .
Составим уравнение плоскости, проходящей через точки M1, M2 , M3 .
Если	точка M (x, y, z)		- текущая	точка	плоскости,		то векторы

188

M1M = (x −1, y + 2, z −3), M1M 2 = (2 −1, −1 − (−2), 0 −3)= (1, 1, −3)

иM1M 3 = (6,4,−3) - компланарны, следовательно, их смешанное

произведение

равно

нулю:

M1M 3 (M1M 2 × M1M 3 )= 0

или

координатной форме

x −1

y + 2

z −3

−3

= 0.

−3

Раскрыв этот определитель по элементам первой строки, получим

уравнение искомой плоскости:

9(x −1)−15(y + 2)

− 2(z −3)= 0

или 9x −15y − 2z −33 = 0.

Пример

6. Найти

уравнение

плоскости, проходящей через точку

x − y + 2z +1 = 0,

A(2;−1;1) и прямую

3x − y − z +1 = 0.

Решение. Приведем общие уравнения прямой к каноническому виду

x − x0

y − y0

z − z0

ãäå sG

= (m; n; p)

направляющий

вектор

прямой,

M 0 (x0 , y0 , z0 )

- точка, лежащая на этой прямой. Так как прямая

лежит в обеих данных плоскостях, в плоскости

x − y + 2z +1 = 0 и

плоскости

3x − y − z +1 = 0 ,

то

ее

направляющийJJG

вектор

перпендикулярен нормальным векторам этих плоскостей

= (1; −1; 2)

JJG

N 2 = (3; −1; −1), поэтому можно выбрать

sG =

−1 2

1 2

1 −1

1 −1 2

= i

−1 −1

− j

3 −1

+ k

3 −1

= 3i +

7 j +

2 k .

−1

Координаты

точки

M 0 (x0 , y0 , z0 )

найдем

из

системы

уравнений,

задающих

прямую

x0 − y0 + 2z0 +1 = 0

Выбирая

одну

из

3x0 − y0 − z0 +1 = 0

Рис. 4.1.1

координат

произвольно,

например,

положим

− y +1 = 0,

z0 = 0,

получим

откуда

3x0 − y0 +1 = 0,

x0 = 0,

y0 =1. Значит,

M 0 (0;1;0),

s = (3;7; 2) и канонические уравнения

189

прямой

имеют вид:

y −1

. Теперь

найдем

уравнение плоскости,

проходящей

через

прямую

точку

Выберем

произвольную

точку

искомой плоскости M (x, y, z) ,

тогда три вектора M 0 M = (x; y −1; z),

JJJJJG

sG = (3;7; 2)

компланарны,

(рис. 4.1.1),

значит

M0 A = (2; −2;1),

JJJJJJG

JJJJJG

M0M (M0 A×sG)= 0.

JJJJJG

y −1

M0 M

(M0 A×sG)=

−2 1

= x

−2 1

−

(y − 1)

2 1

+ z

2 −2

= −11x − y + 1 + 20 z.

Т.о. уравнение искомой плоскости 11x + y −20z −1 = 0.

Уравнения кривых и поверхностей второго порядка

Теоретический материал по данному вопросу изложен в опорном конспекте (см. темы 3.4, 3.5 на с. 97-114).

Пример 7. Найти координаты точек пересечения кривых


x2 + y2 − 6x +1 = 0 и x + y2 = 5. Указать				y	M1
вид кривых. Сделать чертеж.					M1
вид кривых. Сделать чертеж.
Решение. Определим вид кривых. Уравнение
x2 + y2 −6x +1 = 0;		x2 −6x +9 + y2 +1 = 9;					x
(x −3)2 + y2 = 8	определяет		окружность с	O	1		5

						3
центром в точке (3; 0) и радиусом R = 2 2 .						3
центром в точке (3; 0) и радиусом R = 2 2 .
Уравнению x + y2 = 5 или			y2 = −(x −5)		M2
соответствует	парабола,		симметричная		M2	Рис. 4.1.2
относительно оси Ox ,		ветви которой направлены				Рис. 4.1.2
относительно оси Ox ,		ветви которой направлены

влево, а вершина находится в точке (5,0). Координаты точек пересечения двух заданных линий являются решениями системы уравнений:

				2	+ y	2	−6x +1 = 0,
		x			+ y		−6x +1 = 0,
						= 5.
		x + y2				= 5.

Подставляя	y2 = 5 − x		из		второго уравнения				в первое,		получим
x2 −7x +6 = 0,	откуда	x =1,			x	= 6 .Тогда при		x	=1,	y2 = 4,	y = ±2.
		1			2			1
При x = 6 уравнение		y2	= 5 − x решения не					имеет.		Таким	образом,
2

190

заданные окружность и парабола пересекаются в двух точках

M1 (1;2) и M 2 (1;−2) (рис. 4.1.2).

В декартовой системе координат в пространстве всякому уравнению первой степени относительно текущих координат соответствует плоскость, а уравнению второй степени в общем случае соответствует поверхность второго порядка (за исключением вырожденных случаев).

Пример 8. Тело в пространстве задано системой неравенств

x2 + y2 − (z − 2)2 ≤ 0,x2 + y2 ≤ z,

z ≤ 2.

Определить вид поверхностей, его ограничивающих, и изобразить это тело. Решение. Уравнение x2 + y2 −(z −2)2 = 0 задает в пространстве конус

с осью Oz , смещенный вдоль оси Oz на 2 (рис. 4.1.3). Он разбивает все пространство на три части. Объединение двух из них, содержащих точки оси

z	z 2
z

y		y		y
O	x	O	x	O
x		Рис.4.1.4		Рис. 4.1.5
Рис. 4.1.3
Oz , задается неравенством	x2 + y2 −(z −2)2 ≤ 0 .		Параболоид, задаваемый

уравнением x2 + y2 = z (рис. 4.1.4), разбивает пространство на две части,

одна из которых и задается неравенством x2 + y2 ≤ z . Так как координаты

точки A(0; 0; 2) удовлетворяют этому неравенству, то речь, очевидно, идет о части пространства, лежащей внутри параболоида.

Наконец, z ≤ 2 задает то полупространство, которое лежит ниже плоскости z = 2. Поверхности x2 + y2 = z и x2 + y2 −(z −2)2 = 0

пересекаются в плоскости z =1 по окружности x2 + y2 =1.

Объединяя эти результаты, мы получим, что исследуемое тело имеет вид, указанный на рис. 4.1.5.

191

Пример 9. Сделать схематический рисунок тела, заданного системой неравенств

	x	2	+ y	2	≤16,
	x		+ y		≤16,
	+ y2 − z2 ≥12.
x2	+ y2 − z2 ≥12.

Указать вид поверхностей, ограничивающих тело. Определить, по каким линиям и в каких плоскостях пересекаются эти поверхности.

z		z	z
z			z
				2
O	4 y	O 2 3	y	O	3	4 y
				2	3
x	x		x	−2
x
Рис. 4.1.6		Рис. 4.1.7	Рис. 4.1.8
Рис. 4.1.6		Рис. 4.1.7
Решение.	Уравнение	x2 + y2 =16	задает цилиндр		с	осью Oz ,

направляющей которого является окружность радиуса 4 с центром в начале координат (рис. 4.1.6). Уравнение x2 + y2 − z2 =12 задает однополостный гиперболоид (ось вращения - ось Oz ), радиус "горла" (сечение плоскостью

z = 0 ) равен 12 =2 3 (рис. 4.1.7). Очевидно, что линиями пересечения поверхностей будут окружности того же радиуса, что и направляющая цилиндра. Определим, в каких плоскостях пересекаются поверхности. Для

этого из уравнений системы исключим х и у: x2 + y2 подставим в уравнение

гиперболоида. Получим 16 − z2 =12 или z2 = 4, откуда z = ±2 .

На рис. 4.1.8 изображено тело, ограниченное снаружи цилиндром, а изнутри однополостным гиперболоидом, которые пересекаются по двум окружностям с центрами на оси Oz , с одинаковыми радиусами R = 4, расположенными в плоскостях z = 2 и z = −2 .

4.1.2. Методические указания к выполнению контрольной работы №2

Вычисление пределов с использованием теорем о конечных пределах

Справедливы следующие теоремы:

192

1.	lim C = C , (С - постоянная);
	x→a
2.	lim c f (x) = c lim f (x) ;
	x→a	x→a

3.Если каждая из функций f (x) и g(x) имеет при x → a конечный предел, то

lim[f (x) ± g(x)]= lim f (x) ± lim g(x); lim[f (
x→a	x→a			x→a	x→a
		f (x)		lim f (x)
	lim		=	x→a	, если
				lim g(x)
	x→a g(x)
				x→a

x) g(x)]= lim f (x) lim g(x);

x→a x→a

lim g(x)≠ 0.

x→a

Для нахождения предела элементарной функции f (x) при x → a в случае, если a - конечная точка, принадлежащая области определения f (x) , нужно вычислить значение этой функции при x = a . Это значение и будет искомым пределом, т.е.

lim f (x) = f (a).

x→a

Пример 10. Найти пределы функций при x → a :

а)

f (x) = 3x2 − 2x + 5; a = −1;

б)

f (x) = 2x2 +1; a = 2;

в)

f (x) = sin x +

; a =

π.

cos 2x

Решение. Данные функции элементарные, поэтому можно применить

сформулированноеправило:

а)

lim (3x2 − 2x + 5) = 3(−1)2 − 2(−1)+ 5 =10;

x→−1

б)

lim

2x2 +1 =

2 22 +1 = 3;

x→2

в)

lim

sin x +

= sin

=1+(−1) = 0.

x→π2

cos 2x

cos 2

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция f (x)

называется бесконечно малой в точке а (или при x → a ),

если lim f (x) = 0;

функция f (x)

называется бесконечно большой в точке a

x→a

(или при x → a ), если lim f (x) = ∞.

x→a

193

Справедливы теоремы:

1.Сумма конечного числа бесконечно малых в точке а функций - бесконечно малаяфункция.

2.Если f (x) - функция, ограниченная в некоторой окрестности точки

а, функция g(x) - бесконечно малая в этой точке, то функция f (x) g(x)

-бесконечно малая.

3.Если при x → a функция f (x) стремится к отличному от нуля

пределу, а функция g (x) - бесконечно большая при

x → a ,

то функция

f (x) g(x) - бесконечно большая при x → a .

4. Если функция f (x) - бесконечно малая в точке

a и

некоторой

окрестности этой точки не равна нулю, то функция

бесконечно

f (x)

большая в точке a ; если f (x)

- бесконечно большая в точке a , то

f (x)

бесконечно малая.

Пример 11. Найти a) lim

cos x

;

б) lim

sin x

Решение.

x→1 x −1

x→∞ x2 + 3

а) При x →1 функция (x −1)

- бесконечно малая, значит,

x −1

бесконечно большая, cos x → cos1 ≠ 0, следовательно, cos x

−1

cos x

бесконечно большая, т.е. lim

= ∞.

x→1 x −1

б) При

x → ∞ функция x2 +3 - бесконечно большая, поэтому

x2 +3

бесконечно малая. Функция sin x

- ограниченная, значит, произведение

sin x

- бесконечно малая, т.е. lim

sin x

= 0.

x2 +

x→∞ x2 + 3

Раскрытие неопределенностей

Если при формальной подстановке предельного значения аргумента

получается выражение вида
	0	,	∞	, 0	∞,	∞ − ∞, 00 ,	∞0 ,1∞,
0			∞

194

то для нахождения пределов функций необходимо проводить преобразования данных выражений.


Пример 12. Найти lim				x3 −1	.
			2	−3x + 2
x→1 x						значения x =1 приводит
Решение. Непосредственная подстановка							к
неопределенности вида	0	.		Разложим на		множители числитель	и

знаменатель дроби, выделим общий множитель и сократим на него дробь. Для разложения числителя воспользуемся формулой:

(a3 −b3 )= (a −b)(a2 + ab + b2 ), т.е. x3 −1 = (x −1)(x2 + x +1).

В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен. Если квадратный трехчлен имеет корни x1, x2 , то он раскладывается на множители

следующим образом: ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).

Данный

квадратный трехчлен имеет корни x1 =1, x2 = 2, поэтому

x2 −3x + 2 = (x −1)(x − 2). Таким образом,

lim

x3 −1

= lim

(x −1)(x2 + x +1)

= lim

x2 + x +1

= −3.

(x −1)(x − 2)

x − 2

x→1 x2

−3x + 2 x→1

x→1

Пример 13. Найти lim

1 − 2x2 −1

x→0

Решение. Непосредственно подставляя x = 0, получаем неопределенность

00 . Умножимиразделимданнуюдробьнавыражение, сопряженное числителю, то есть на ( 1 − 2x2 +1):

lim

1 − 2x2

−1

= lim

( 1 − 2x2

−1)( 1 − 2x2 +1)

= lim

1 − 2x2

−1

x2 (

1 − 2x2 +1)

( 1 − 2x2

+1)

x→0

x→0 x2

= lim

− 2x2

= lim

− 2

= −1.

( 1 − 2x2

+1)

x→0 x2

x→0 1 − 2x2

Здесь была использована формула (a −b)(a +b) = a2 −b2.

Замечание. Если в примере иррациональность имеется в числителе и знаменателе дроби, то дробь следует умножить и разделить на выражение, сопряженноечислителю, инавыражение, сопряженноезнаменателю.

Пример 14. Найти lim 3x3 − 2x + 5 . x→∞ 7x2 + 3x −8

195

∞

Решение. В этом примере неопределенность вида ∞. Вынесем за скобки в

числителе x3 , а в знаменателе x2 (наивысшую степень x для каждого многочлена):

					x	3				−		2		+		5					2			5
		3						3												3 −			+
	3x		− 2x +5										2				3
												x	2			x	3				x	2			x	3
lim				= lim								x				x		= lim	x		x				x		.
lim				= lim			2					3				8		= lim	x		3			8			.
x→∞ 7x2 +3x −8				x→∞	x		2		7		+	3		−		8		x→∞		7 +	3		−	8

																					x			x2
												x			x2
												x			x2

Величины 1x , x12 , x13 , обратные бесконечно большим, - бесконечно малые, и,

значит, выражение в скобках стремится к 73 . x - бесконечно большая величина,

следовательно, произведение x 73 также величина бесконечно большая, то есть

lim 3x3 −2x +5 = ∞. x→∞ 7x2 +3x −8

Аналогичный прием вычисления пределов можно использовать для раскрытия неопределенностей в случае иррациональных функций.

Пример 15. Найти

lim

5x +8

Решение.

x→+∞

4x2 −3

5x +

x 5 +

5 +

lim

= lim

x→+∞

4x2 −3

x→+∞

−

x→+∞

4 −

Так как x → +∞, то x > 0 и, значит,

= x . Поэтому

x 5 +

5 + x

5 + 0

lim

x→+∞

4 −

x→+∞ x 4 −

x→+∞

4 −

4 − 0

Пример 16. Найти

lim

(

x2 + 2x + x).

x→−∞

Решение. Имеем неопределенность вида (∞ − ∞). Умножим и разделим данное выражениенасопряженное:

196

lim (	x2 + 2x + x)=	lim (	x2 + 2x + x)( x2 + 2x − x)=
x→−∞		x→−∞			x2 + 2x − x
= lim	x2 + 2x − x2	= lim		2x		.
	x2 + 2x − x		x2
x→−∞		x→−∞		+ 2x − x

∞

Получимнеопределенностьвида ∞. Раскроемеестандартнымспособом:

lim

x→−∞ x2 + 2x − x

x→−∞

− x

x→−∞

− x

1 +

Так как x → −∞, то x < 0 и, значит,

= −x.

Тогда

lim

1+ 2

x→−∞

− x

x→−∞ −x

− x

= lim

lim

−

= −1.

x→−∞

+ 2

x→−∞

−x

Вычислениепределовсиспользованием эквивалентныхбесконечномалыхвеличин

Функции α(x) и	β(x), бесконечно малые при			x → a , называются
эквивалентными, если	lim	α(x)	=1. Эквивалентность	бесконечно малых

	x→a β(x)
обозначается так: α(x)	~ β(x) при x → a . При раскрытии неопределенностей

можно пользоваться правилом: предел отношения двух бесконечно малых не

изменится, если эти бесконечно малые под знаком предела заменить им
эквивалентными. Если при x → a		α(x)			-	бесконечно малая, то		есть
lim α(x)= 0, то
x→a	(		)		α(x); eα(x) −1 ~ α(x);
sin α(x) ~ α(x);	ln 1+α(x)			~	α(x); eα(x) −1 ~ α(x);
tgα(x) ~ α(x);	aα(x) −1	~ α(x)ln a;				n 1+α(x)−1 ~	α(x)	;
tgα(x) ~ α(x);	aα(x) −1	~ α(x)ln a;				n 1+α(x)−1 ~	n	;
							n

197

α(x) 2

arcsin α(x) ~ α(x);

1−cos αx

; arctgα(x) ~ α(x).

Пример 17. Найти lim

(e3x2 −1)sin 2x

3x)(1 − cos 2x)

x→0 ln(1 −

Решение. Так как при x → 0

3x2 → 0,

2x → 0,

(−3x)→ 0, то имеем

неопределенность

Заменим

исходные

бесконечно

малые

эквивалентными

4x2

e3x2

−1 ~ 3x2 ;

sin(2x) ~ 2x ;

ln(1 −3x)~ (−3x);

1 −cos 2x ~

(e3x2

−1)sin 2x

3x2 2x

Тогда

lim

= lim

= −1.

− cos 2x)

(−

3x) 2x2

x→0 ln(1 −3x)(1

x→0

Непрерывность функции в точке

и на промежутке. Точки разрыва функции

Если функция

y = f (x)

определена

некоторой окрестности

конечной точки a , то точка a называется точкой разрыва функции в двух случаях:

1)в точке x = a функция f (x) не определена;

2)в точке x = a функция f (x) определена, но не выполняется хотя бы

одно из равенств:

f (a − 0) = f (a + 0) = f (a),

где f (a − 0)		и f (a + 0)		- левосторонний		и правосторонний		пределы
функции	f в точке a .		f (a − 0) и f (a + 0)						x = a
Если	при	этом				конечны,	то точка
называется		точкой	разрыва		первого	рода.	Причем,		если
f (a −0)≠ f (a + 0),			то	разрыв	называется конечным,			а	если

f (a − 0)= f (a + 0), то разрыв называется устранимым.

Если хотя бы один из пределов в указанном равенстве не существует или бесконечный, то точка a называется точкой разрыва второго рода (точкой бесконечного разрыва, если хотя бы один из соответствующих пределов - бесконечный).

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области определения.

198

Пример 18. Найти точки разрыва функции y = f (x), определить тип

разрыва. Для точек разрыва первого рода вычислить скачок функции. Построить график.

	x3 , x ≤ 0,
f (x) =	3x , 0 < x ≤1,


	−2x +5, x >1.

Решение. Внутри		каждого	из	промежутков	( − ∞;0), (0; 1)	и (1; + ∞)
функция f (x)	совпадает с		соответствующей		элементарной	функцией.
Следовательно,	внутри	каждого	из	этих промежутков функция		f (x) будет

непрерывной, и разрывы могут быть только на концах этих промежутков, то
есть в точках x =		0 и x =1.
Найдем односторонние пределы в этих точках:
1. Для точки x = 0 имеем:							x3 = 0;		y
	f (0 − o) =		lim		f (x) = lim				y
	f (0 − o) =		lim		f (x) = lim
			x→0−o			x→0−o			3
	f (0 + o) =	lim		f (x) =		lim 3x	= 30 =1.
		x→0+o				x→0+o			1	x
Оба односторонних предела конечны, но не равны между									1	x
собой, значит, точка			x =	0 есть точка разрыва I				рода. В	O 1
точке	x = 0	функция				f (x)	имеет	скачок	O 1	2,5
0 = f (0 + o)− f (0 −o)=1−0 =1.
2. Рассмотрим точку x =1.					lim 3x = 31 = 3;				Рис. 4.1.9
	lim	f	(x)=		lim 3x = 31 = 3;
	x→1−o				x→1−o
	lim f (x)	= lim		(−2x +5)= −2 1+5 = 3;
	x→1+o	x→1+o
			f (1)= 31 = 3.

Односторонние пределы равны и совпадают со значением функции в рассматриваемой точке, значит, в этой точке функция f (x) непрерывна. График

функции изображен на рис. 4.1.9.
Пример 19. Найти точки разрыва функции f (x)=	8	x +1	, установить


	x2 − 2x −3

тип разрыва, для точек разрыва первого рода вычислить скачок функции, построить график в окрестности точек разрыва.

Решение. Преобразуем дробь:

f (x)=

x +1

(x +1)(x −3)

x2 − 2x −3

Функция не определена в точках x = −1 и x = 3 и, следовательно, имеет в этих точкахразрывы. Найдемсоответствующиеодносторонниепределы:

199

Для

точки

x = −1

при

x → −1 − o

x +1 < 0

и,

значит,

x +1

= −(x +1). Следовательно,

f (−1 − o)=

lim

− (x +1)8

= − lim

= 2.

x→−1−o (x +1)(x −3)

x→−1−o x −3

Аналогично вычислим

x +1

f (−1+ 0)

lim

(x +1)(x −3)

x→−1+o

(

x +1

lim

)

= lim

= −2.

−1

x −3

→−1+o (x +1)(x −3)

x→−1+o

Так как оба предела конечны, то точка x = −1 -

−2

точка разрыва первого рода. Поскольку пределы

не равны, то это - конечный

разрыв

I рода.

−1 = f (−1+ o)− f (−1−o)= −2 − 2 = −4 -

скачок функции.

окрестности точки

x = 3

Рис. 4.1.10

x +1 > 0, поэтому |

x +1|= x +

1 и, значит

x +1

f (3 −o)

= lim

(

)

= lim

= −∞.

(x +1)(x −

+1)(x −3)

x −

x→3−o

x→3−o (x

x→3−o

f (3 + o)= lim

x +1

= lim

= +∞.

(x +1)(x −3)

x −3

x→3+o

Такимобразом, точка x = 3 - точкабесконечногоразрывавторогорода. График функции представлен на рис. 10.

Пример 20. Найти точки разрыва функции

f (x) = 32−x , определить тип разрыва, начертить

эскиз графика функции в окрестности точек разрыва.

Решение. Данная элементарная функция не определена в точке x = 2 , следовательно, имеет в этой точке разрыв. Найдем односторонние пределы,

O 1 2 x


учитывая, что at → +∞ при t → +∞ и at					→ 0 при			Рис. 4.1.11
t → −∞, если a >1. При			x → 2 −o	2 − x > 0			и
1			f (2 −0)		1
		→ +∞, следовательно,		= lim 3		2−x	= +∞.
	2 − x
				x→2	−0

Таким образом, в точке x = 2 функция имеет бесконечный разрыв второго рода.

200

При

x → 2 + o 2 − x < 0

→ −∞,

следовательно,

− x

f (2 + 0)= lim 3

= 0.

при x → ±∞

→ 0 и

2−x

Заметим, что

2 − x

x→2+0

=1, т.е. прямая

y =1 является горизонтальной асимптотой кривой.

lim 3

2−x

x→∞

Эскиз графика функции изображен на рис. 4.1.11.

Производная и дифференциал

Основные правила дифференцирования:

Если функция u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x , то в этой точке:

1.(u + v)′ = u′+ v′; 2. (cu)′ = cu′(c = const);

3.(uv)′ = u′v +uv′; 4. u ′ = u′v −2 uv′.

v v

Таблица производных:

(c)′ = 0;

(xm )′ = mxm−1

(sin x)′ = cos x;

′

(cos x) = −sin x;

(tgx) =

;

(ctgx) = −

;

cos2 x

sin2 x

′

(arcsin x) =

;

(arccos x)

= −

; 9.

(arctgx) =

;

1− x2

1+ x2

10.

(arcctgx)′ =

−1

;

11.

(ex )′ = ex ;

12.

(ax )′ = ax ln a;

1+ x

(a>0, a≠1)

13.

(ln x)′ =

;

14.

(loga x)′ =

x ln a

(a>0, a≠1)

Пример 21. Найти производную функции y = 23

x −

+ 3 .

Решение. Используем первое и второе правила дифференцирования

201

′

y′ = (23

x )

−

+ (3)′ = 2 x

−5(x−2 )

(x2 ) + (3)′.

Далее используем формулу для нахождения производной степенной функции (табличнаяформулаN 2):

−1

−2

y′ = 2

(x)3

−5(−2)x−2−1 +

2x2−1 +0

3 +10x−3 + x =

+ x.

33 x2

Пример 22. Найти производную функции y = (cos x + 5)ex .

Решение. Используем правило дифференцирования произведения и табличные формулы N 4 и N 11:

y′ = (cos x + 5)′e x + (cos x + 5)(ex )′ =

= (−sin x + 0)e x + (cos x + 5)e x = e x (cos x −sin x + 5).

Пример 23. Найти производную функции y = arctgln xx .

Решение. Используем правило дифференцирования частного и табличные формулы N 9 и N 13:

	(arctgx)′ln x −arctgx (ln x)′					1				1
									ln x −arctgx x
y′ =					=		1+ x2				=
	ln2 x								ln2	x
			(1+ x2 )arctgx
	=	x ln x −						.

	(		+ x2	)	ln2 x
		x 1

Дифференцирование сложной функции

Производная сложной функции y = f (u(x)) вычисляется по формуле

y′x = fu′(u)u′x .

То есть, чтобы найти производную сложной функции, нужно сначала продифференцировать "внешнюю" функцию по промежуточному аргументу u так, как если бы аргумент u был независимой переменной, после чего умножить полученныйрезультат напроизводнуюот функции u по переменной x .

Это правило распространяется на сложную функцию, состоящую из любого конечногочисладифференцируемыхфункций.

Пример 24. Найти производную функции y = ln(1 + 2 cos x).

Решение. Данная функция - сложная, промежуточный аргумент u = (1+ 2 cos x). Согласно приведенному правилу имеем

202

y′ = (ln u)′u u′x =		1	(1	+ 2 cos x)′ =		1	(− 2sin x).
					1 + 2 cos x
		u
Пример 25. Найти производную функции y = 8 + sin 2 x.
Решение. Данная	сложная			функция	составлена		из трех функций
y = f (u(v(x))), где	f (u)=			u, u(v)= 8 + v2 , v = sin x. Применяем

правило дифференцирования сложной функции (начиная дифференцировать с "внешней" функции f ):

fu′u′x = fu′uv′v′x =

(8 +sin2 x)

′ =

2vv′x =

2 u

8 +sin2 x

2sin x

(sin x)′ =

2sin xcos x

sin 2x

8 +sin2 x

2 8 +sin2 x

8 +sin2 x

Геометрический смысл производной и дифференциала функции

Пример 26. Найти координаты точки пересечения с осью Oy и осью Ox

касательной к кривой

y = f (x), где f (x) =

(x −1)2

, проведенной к ней в

точке M 0 (−1;4).

y = f (x) в точке M 0 (x0 , y0 ).

Решение. Уравнение касательной к кривой

имеет вид y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 ). Найдем сначала производную

f ′(x):

′

2(x −1)x2 −

2x(x −1)2

2(x −1)x − 2(x −

1)2

2x − 2

2(x −1)

f (x)=

′

1)=

2(−1 −1)

= 4,

(−1)3

Вычислим f (−

тогда уравнение касательной к заданной

кривой в точке Мо(-1,4) запишется в виде:

y −4 = 4(x +1) или y = 4x +8.

Теперьнаходимкоординатыточкипересеченияполученнойпрямойсосью Oy .

Для всех точек, лежащих на оси Oy ,

x = 0. Подставим в уравнение касательной

x = 0, получим

y = 8 . Значит, касательная y = 4x +8 пересекает ось

Oy в

точке (0,8).

y = 0. Подставим в уравнение касательной

y = 0,

Для всех точек на оси Ox

получим

x = −2. Таким образом,

касательная

пересекает ось

точке

(−2, 0).

203

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Производная функции y = y(x), заданной в параметрической форме: y = y(t ), x = x(t ), находится по формуле

yt′

xt′

d 2 y

Пример 27.

Найти производные

функции y = y(x),

x =

sin 2t .

заданнойвпараметрическойформе

= ln tgt

Решение. Вычислим xt′ и yt′:

cos 2t

2t ′

−

−1

′

−2

′

(

)

2cos 2t

xt′ = (sin 2t )

= −(sin 2t )

(sin 2t )

= −

= sin2 2t

;

sin2 2t

yt′ =[ln tgt]′ =

(tgt )′

ctgt

tgt

cos2 t

sin t cos t

sin 2t

Используя формулу

yt′

, получим

xt′

sin2 2t

y′x =

−

2 cos 2t

= −

= −tg2t.

sin 2t

sin2 2t

sin 2t cos 2t

y′x =

= −tg2t.

d 2 y

Итак,

Так как

, то для нахождения

dx2

можно использовать ту же формулу дифференцирования функции, заданной параметрически, применив ее к функции dydx , то есть:

d 2 y = dydx t′ dx2 xt′

Вычислим dy ′:

dx t

dy ′dx t

′	1		′	2
= (−tg2t )	= −		(2t )	= −		.
		cos2 2t			cos2 2t

204

Далее, получаем

d 2 y

2 cos 2t

2sin2

tg2

−

dx2

cos2

sin2

cos2 2t 2 cos 2t

cos 2t

4.2.Задания на контрольные работы № 1-2

Вконтрольных работах студент должен решить задачи, выбрав их номера из таблицы по двум последним цифрам своего шифра и первой букве фамилии.

Например, шифр 17-0025, студент Захаров выполняет в контрольной

работе №1 задачи 5,12,25,35,45; в контрольной №2 - 55,62,75,85,92.

Последняя		1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
цифра шифра		1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
цифра шифра
Номер	1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
контроль	1	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
ной	2	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
работы	2	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
работы
Предпоследняя		1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
цифра шифра
Номер	1	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
контроль		61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
ной	2	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
ной	2	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
работы		91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
работы
Первая буква		А,И	Б,О	В,Н	Г,Ф	Д,З	Е,М	Ж,С	К	П	У,
фамилии		Т	Ц	Х	Я	Л	Р	Ч	Э	Щ	Ш
фамилии		Т	Ц	Х	Я	Л	Р	Ч	Э	Щ	Ю
Номер	1	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
контроль	1	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
ной	2	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
работы	2	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
работы		81	82	83	84	85	86	87	88	89	90

205

Задание на контрольную работу № 1

В задачах 1-5 решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

x +

2z = 5,

3x −

2 y

= 5,

−5y + 2z = 7 ,

x + 2 y

+3z = 2,

1. 3x

+ y + 2z =1,

+5y

− z = 2.

+ z = 2.

2x + y

3y − z = −1,

x +

3z = 8,

4x +5y

= −3,

+3y + 2z =1.

+ 4z =10,

+ 2z = −5,

2x + y

4. 3x − y

+ z = 0.

+ 2z = −9.

5x + 6 y

5x − y

В задачах 6-10 решить систему линейных уравнений с помощью

обратной матрицы.

x + y + z = 3,

y + z = 4,

x +3y

− z = −1,

+ 2 y −7z = −8,

x +3y + 2z = 2,

− 2 y

+ z = 1.

y −5z = −4.

= −6,

4x − 2 y +3z = −2,

2x −3y −5z =

10.

3x − 2 y +

2 y −

−

2z = −6,

y + 2z = 0,

− y + 2z = 2.

+ y

= −2.

Задачи 11-20 решить средствами векторной алгебры.

11.

Найти

площадь

треугольника

вершинами

точках

A(7;3;4), B(1;0;6),C(4;5;−2)

12.

Найти

объем

треугольной

пирамиды

вершинами

точках

A(2;0;0), B(0;3;0),C(0;0;6) и D(2;3;8).

13. Векторы a и b

составляют угол 45D . Найти площадь треугольника,

построенного на векторах aG − 2b и 3aG + 2b , если

= 5.

14.

помощью скалярного

произведения

найти

угол между

векторами

= 2i − j

+3k и

b = 3i

− j −

2k , а затем проверить ответ с помощью

векторного произведения, используя основное тригонометрическое

тождество.

15.

Даны векторы aG = −2 Gj +3k и

b = 3i − 2 j . Вычислить длину вектора

cG = aG×b и площадь треугольника, построенного на векторах a и b .

16.Вычислить диагоналиG иG площадь параллелограмма, построенного на векторах aG = −2 j + k и b = i + j + k .

17.Найти объем тетраэдра, построенного на векторах OA,OB и OC , если эти векторы лежат в координатных плоскостях, направлены там по

206

биссектрисам координатных углов и длина каждого из этих векторов равна

18.

Даны

векторы

OA = aG,OB = b , причем

= 2,

= 4,

угол

между

векторами aG и b составляет 60D . Определить

угол между медианой OM

треугольника AOB и стороной OA.

19.

Найти

угол между векторами a = 2m + 4n и b = m − n ,

где

m, n -

единичные векторы, образующие угол 120D .

20.

Даны точки

A(3;3;−2), B(0;−3;4),C(0,−3,0) и D(0;2;−4). Найти векторы

AB = aG и CD = bG и найти проекцию вектора b на направление вектора

aG.

Задачи 21-30 решить методами аналитической геометрии.

21.

Написать

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точки

M1 (1;−1;2), M 2 (2;1;2) и M 3 (1;1;4).

22.

Через

ось

проведена

плоскость,

составляющая

плоскостью

2x + y −

5z = 0 угол 60D . Найти уравнение этой плоскости.

23.Найти расстояние между параллельными плоскостями 4x + 3y −5z −8 = 0

и 4x + 3y −5z +12 = 0.

24.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (2;−1;1) и перпендикулярной к плоскостям 3x + 2 y − z + 4 = 0 и x + y + z −3 = 0 .

	y = 3x −1,	и плоскостью 2x + y + z − 4 = 0.
25. Найти угол между прямой
	2z = −3x + 2	x		y −1		z +1
26.	Найти точку пересечения прямой		=		=		с плоскостью
		2
	x + 2 y + 3z − 29 = 0.		1		2

27.	Дана плоскость x + y − z = 0 и прямая, проходящая через точки A(0;0;4)
	и B(2;2;0). Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между

ними.

28.Найти проекцию точки A(3;1;−1) на плоскость x + 2 y + 3z −30 = 0 .

29.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A(−1;2;−3) и

x = z,

перпендикулярной к прямой

y − z =1.

30. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1 (0;−5;0) и M2 (0;0;2) перпендикулярно к плоскости x + 5y + 2z −10 = 0 .

207

В задачах 31-40 найти координаты точек пересечения кривых. Указать


вид кривых. Сделать рисунок.								18 − y = (x − 4)2
31.	y = (x + 2)2						и
32.	x2 − y2				=16		и	y = x +1
33.	x	2	+ y		2	=1	и	y = x −1
								y = −2x +1
34.		y2		= x			и
35.	x2 + (y − 2)2 = 7						и	3y2	= x2 −3
36.	y2 − x = 2						и	y2	−3x = 0
37.	(x −1)2 + y2 = 9						и	y2 = 4x
38.	(y − 2)2			= x + 2			и	x + y = 2
39.	(x − 2)2			− y = 2			и	(x −1)2 + y = 3
40.	4x2		+ y2 = 9				и	2x −3y +3 = 0

В задачах 41-50 сделать схематический рисунок тела, заданного системой неравенств. Указать вид поверхностей, ограничивающих это тело. Определить, по каким линиям и в каких плоскостях пересекаются эти поверхности.

+ y2

+ z 2 ≤16

+ (z −1)

41.

+ y

≤ 9

46.

+ y

≤ 4

+ y2

≥ 3 − z

42.

+ y2

− z2 ≥ 0

47.

+ y2

≤ 5 − z

+ y2

≤ 9

+ y2

≤ 4z

43.

+ y2 ≤ z 2

48.

+ y2

− z2 ≥ −2

+ y2 − z − 2 ≤ 0

+ y2

≤ 7

44.

+ y2

+ z 2 ≤16

49.

+ y2

≤ 2z

+ y2

− z2 ≥ 8

+ y2

+ z2 ≤ 3

45.

+ y2 −4z2 ≤ −6

50.

+ y2

+ z 2 ≤ 4

+ y2 − z 2 ≤ 6

+ y2

− z2 ≥ 0

208

Задание на контрольную работу № 2

В задачах 51-60 найти пределы функций, используя эквивалентные бесконечно малые величины и тождественные преобразования.

sin

(

)

ln 1− 4x2

)

51.

à)

lim

(

1-cos (

)

x→0

52.

à)

lim

tg2

(x − 2)(

3 − x −1)

sin3 (x −

x→2

53.

à)

lim

e3x −1

x→0 arctg2 (3x)

ctg(6x)

54.

à)

lim

arctg

(

x2 −6x +9

)

(x −3)ln (x − 2)

x→3 sin

55.

à)

lim (

−1 tg(3x2 )

)

x→0

1−6x3 −1

56.

à)

lim

cos(6x2 ) −1

x5 )ln (1+3 x3 )

x→0

+o arcsin (

57.

à)

lim

(e x

−1)sin(4

x→0

3 1+ x −

58.

lim

(1−cos

x )ln(1+ 4x3 ) ,

x→0+o

arctg2 (4x2 )

59.

lim

(2x −1) ctg

arcsin

x→0+o

60.

lim

(3 2 + x −1) arcsin (x +1)

1−cos (x +1)

x→−1

á)

xlim→+∞ ( 5 + x2

−

x2 + x ).

á)

lim

15 − x2 − 2x

2 −36

→3

á)

lim

24 + x −5

x→1

x2 −1

á)

lim

10 −6x3 +5x

4x2

− 2 +3x3

→∞

á)

lim

16 + 2x3

3x2

−3x −18

→−2

á)

lim

12x −3x2

4x2

−12x −

→4

á)

lim

5 +9x4

−3

→∞

á)

lim

10x5 − 2x2 +1

3x3 + 2x5

−

x→∞

á)

−

lim

− x

x→−3

á)

lim

8 − 2x2

x→2

+ x −3

В задачах 61-70 а) найти точки разрыва функций, если они существуют; б) найти односторонние пределы в точках разрыва и установить тип точек разрыва; в) сделать схематический рисунок графика функции в окрестности точек разрыва.

209

5 − x 61. f (x) = 5 − x .

63.	f (x) =			− x				2	ï ðè	x ≤ 0,
		1
		cos x ï ðè								x > 0.
	f (x) = e			x
65.			x −2			.
67.	f (x) =				x		ï ðè x			< 0,
		2e
		2 − 4x ï ðè								x > 0.
69.	f (x) =			x2					.
		64 − x3


	f (x) = 2			x
62.				3+x		.
64.	f (x) =	arcsin x ï ðè −1 ≤ x < 0,
								> 0.
		5x ï ðè x
	f (x) =			x
66.							.
		(x + 4)3
68.	f (x) =	7 − 4x ï ðè x ≤1,
		3ln x ï ðè						x >1.

	f (x) = 5			x
70.			x+1		.

В задачах 71-80 найти первую производную функции


71.	y =	1− x4 + x2 arcsin(x2 ) − 21.
72.	y = 2	xarcctg x + ln(3x +3) +5.
73.	y = ln (1+ x3 )− 2		x3 arc tg x3 −7.
74.	y = x3 arccos(x3 ) −		1− x6 +9.

75.y = x3 +1 − 2ln (x3 −1)−8. x3 −1

76.y = x arcsin2 x + 2 1− x2 arcsin x − 2x −16.

77.y = cos2 (5x)+5x sin (10x)+ 6.

78.y = 1− 4x − 2x arccos(2x )−3.

79.y = 12 arctg(2x) +1+x4x2 + 20.

80.y = tg2 (3x)+ 2ln (cos(3x))−11.

Взадачах 81-85 найти координаты точки пересечения с осью Ox касательной, проведенной к графику функции y = f (x) в заданной точке.

Сделать рисунок.

210

	y = e3x ,			1					y = x2 −5x + 6,
81.		A			;e .			82.			A(4; 2).
				3

	x					π					π
83.	y = ctg		,		A(	2	;1).	84.	y = arctgx,	A 1;	.

		2					y = x3 + x,				4
				85.					A(1; 2).

В задачах 86-90 найти координаты точки пересечения с осью Oy касательной, проведенной к графику функции y = f (x) в заданной точке.

Сделать рисунок.

86.	y = cos ( x ),	A		π2			;0	.
					4
			3				π
88.	y = arcsin x,	A				;	.
88.	y = arcsin x,	A				;	.
			2
			2				3
	90.	y = tg (5x),

Взадачах 91-100 найти dydx

параметрически


87.		y =16 − x2 ,			A(3;7).
89.		y = ln(x3 ),			A(e;3).
A	π
			;1 .
	20

и		d 2 y		функции, заданной
		dx2

		1									x(t)
91.	x(t) =				,					92.
	x(t) =	sin t			,
		sin t
											y(t)
	y(t) = ctgt
	x(t) = tg(2t),
93.	x(t) = tg(2t),									94.	x(t)
93.										94.
	y(t) = 4t.										y(t)

	x(t) = ln(1			+t		2		),
95.	x(t) = ln(1			+t				),		96.	x(t)
95.										96.
	y(t) = arctgt.										y(t)

			3		t,
97.	x(t) = cos				t,					98.	x(t)
97.				(cos t ).						98.
	y(t) = 3ln			(cos t ).

									),		y(t)
							3				x(t)
99.	x(t) = arctg (t									100.	x(t)
99.										100.
	y(t) = t3.										y(t)

=2t ,

=2t .

2t +1

=1−t ,

=arcsin t.

=arccos 1−t ,

=t.

=1t ,

=arcctgt.

=sin(3t),

=ln (sin (3t )).

211

4.3. Текущий контроль Тренировочные тесты

Тест 1
1. Алгебраическое дополнение A23 элемента a23 матрицы A =	0	−1	2
	0	−1	2
	3	−2	−1
	2	−3	0

равно	A) 2;	B) 1;	C) -3;	D) -2.
			5x + 4 y − z = 2,
				− y + 2z = −1,
2. Какое из утверждений верно для системы x				− y + 2z = −1,

			3x + 2 y + z = 3.

A)система имеет единственное решение,

B)система несовместна,

C)система имеет бесконечное множество решений?

3.При каком значении

A)m =1;

4.При каком значении

A)m = −1;

		2x − y + mz = 5,
m
	система −2x + 3y + 2z = −1, несовместна?
		2 y + 5z = 0

B) m = −1;		C) m = 3;	D) m = 0.
		x + y − z = 0,
m			имеет ненулевые решения?
	система x + 3y + z = 0,

	x + 2 y + mz = 0		D) m =1.
B) m = 0;		C) m = −2;

		3x − 3y − z =1,
5. В системе
5. В системе	x − y + 2z = −2, найти значение неизвестного x по формулам
		x + y + 4z = 0
		x + y + 4z = 0

Крамера.			D) x = −2.
A) x = 2;	B) x = −1;	C) x =1;	D) x = −2.

	x + 3y + z = 0

6. Найти решение системы x + 7 y + 5z = 0 . Ответ выразить через параметр.
		x + y − z = 0
		x + y − z = 0
A)	x = t, y = −2t, z = t;	B)	x = 2t, y = −t, z = t;
C)	x = 2t, y = t, z = −t;	D)	x = −t, y = t, z = −2t.

212

			Тест 2
1. Минор элемента a32 матрицы A =					1	0		−2
					1	0		−2
					4	−3		1	равен
					2	0		−1
A) -7;	B) 9;	C) 7;			D) -9.
2. Найти матрицу C = B − 2A , если			B =	2		−1	,	A =		0	−2	.
2. Найти матрицу C = B − 2A , если			B =	2		−1	,	A =		0	−2	.
				1		0				1	−1

A) C =	2 −3	; B)			C =							2 3					; C) C =				2 3							; D) C =									2 3		.
A) C =	2 −3	; B)			C =							2 3					; C) C =				2 3							; D) C =									2 3		.
	3 −2											−1 2									1 −2																3 2
3. Если B = 3A , где A - матрица третьего порядка, то ее определитель D(B) :
	A) D(B) = D( A) ;																		B) D(B) = 3D(D) ;
	C) D(B) = 9D( A) ;																		D) D(B) = 27D( A) .
4. Найти произведение матрицы A =																2
																2
															−3				и матрицы B =										3		−2					−1 0				.
															−3				и матрицы B =										3		−2					−1 0				.
	A) A B =								6			;				1			B) A B =					6 6 −1									;


									−1

																		D) A B =					6					−4				−2			0



	C) A B =						11				;												−9 6							3					0			.
	C) A B =						11				;												−9 6							3					0			.
																							3					−2					−1		0
						A =							−2	0						4		−1


5. Найти C = B A−1 , если																	;		B =	3	0				.
													3	1						−2	1
				7	2															−2	1					1	7			2
																			B) C = −

	A) C =			3	0							;															3			0				;
	A) C =			3	0							;														2	3			0				;
				−5				−2																		2		−5		−2
			−8 0																D) C = −							1		2		7
																												2		7
	C) C =									;																		0						.
	C) C =		9		1					;																2		0						.
			9		1																					2		−2		−5
																												−2		−5

6. Даны три квадратных матрицы одного порядка A, B,C . Найти матрицу X из матричного уравнения 12 A X + B = C .

213

A) X =	2(C − B)	;		B) X =	2(B +C)			;
A) X =	A	;		B) X =				;
	A						A
C) X = 2 A−1(C − B) ;				D) X = −2 A−1(C + B) .
			Тест 3
		G	G	, если b = i + 2 j ,		G	G	G	G
1. Вычислите длину вектора a			= b +3c	, если b = i + 2 j ,		c	= i + j		− k .
	A) 6;	B) 25;		C) 3; D) 5 2 .

2.Укажите, какомуG из предложенных векторов коллинеарен вектор aG = iG − 2 Gj + 3k :

1 G

A) 2 i −3 j

+ k ; B) −2i

+ 4 j −6k ;

C) i −2 j ;

i −

k .

3. Укажите, какому из предложенных векторов перпендикулярен вектор

= i −3 j + 2k :

C) 2i − Gj +5k ;

A) −2iG

+3Gj + 6kG; B) 2 j + 3k ;

D) iG + 2 Gj + 3kG .

4. Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах aG

=(0,1,−3) ,

bG = (−1,1,4)

=(2,−3,1) .

A) 6;

B) 25;

C) 3;

D) 2.

5G. Определите проекцию вектора a =(2,1,3) на направление вектора

b = (−3,0,4) .

;

B) −

;

C) 3;

6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , если

G G

b =

= m −n,

2m, где | m |= 2, | n |=1 и угол между векторами m и n равен

30o.

A) 6;

B) 2;

C) 3;

D) 5 2 .

Тест 4

1. Найти площадь треугольника,

образованного прямой 2x+3y-6=0 и осями

координат.

A) 1;

B) 2;

C) 4;

D) 3.

2.Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(2,0,4) и

перпендикулярной плоскости 3x − y + z +5 = 0 .

x − 2

z − 4

;

B) 3(x −2) − y +5(z −4) = 0;

−1

x − 2

z − 4

;

D) 2x + 4z = 5 .

−1

214

3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(3,-1,4) и

параллельной плоскости 2x +5y −3z −1 = 0 .

A) 2x +5y −3z +11 = 0 ;

3x − y + 4z −1 = 0 ;

−

0 ;

x − 2

y + 5

z − 3

−1

x − 2

y + 5

z − 3

4. Найти угол между прямой

и плоскостью

2x −3y + 2 3z −11 = 0 .

A) β = arcsin 0.5;

B) β = arcsin(−0.5);

C) β = arcsin 0.3;

β = π.

5. Определить длину перпендикуляра, опущенного из точки А(-1,4,3) на плоскость 4x −3y +5z −2 = 0

A) 16;

B) 25;

;

6. Какие из предложенных уравнений I)

x − 2

z − 4

−1

x = 2 +3t,

−2x + y +−4z +1 = 0,

и III)

II) y = −t,

3x − y +5z −22

= 0

z = 4 +5t

описывают одну и ту же прямую?

A) I) и III);

B) I) и II);

C) II)

и III);

D) все прямые разные.

Тест 5

1. Уравнение

x2 −5y2 −3x + 2 y − 2 = 0 определяет на плоскости

A) параболу;

гиперболу;

C) эллипс;

D) прямую.

Уравнение

36x2 +36 y2 −36x − 24 y − 23 = 0 определяет на плоскости

A) параболу;

B) гиперболу;

C) эллипс;

D) окружность.

Уравнение 25x2 −50x +12 y +37 = 0 определяет на плоскости

A) параболу;

B) гиперболу;

C) эллипс;

D) окружность.

Найти координаты фокуса параболы x2 = 4y .

A) (1,0);

B) (-1,0);

C) (0,-1);

D) (0,1).

Определить эксцентриситет гиперболы y2 −

− 4 = 0 .

ε =

;

ε = 5;

C) ε =

;

D) ε = 17.

215

Какая из перечисленных точек принадлежит окружности с центром в

точке О(-3,2) и радиусом равным 5?

A) (-2,0);

B) (0,6);

C) (2,-3);

(3,-2).

Тест 6

Определить вид поверхности x2 − y2 + z 2

= 5 :

A) эллиптический параболоид;

B) гиперболический цилиндр;

C) однополостный гиперболоид;

D) гиперболический параболоид.

Указать вид кривой, полученной в пересечении гиперболического

параболоида y2 − x2 = z с плоскостью z = 7 :

A) парабола;

B) эллипс;

C) прямая;

D) гипербола.

Указать каноническое уравнение эллиптического цилиндра с осью Oy:

−

= 1;

= z;

= 1;

= 1.

Поверхности x = y2 + z2

и 2 − x = y2 + z2

пересекаются по:

A) гиперболе;

B) параболе;

C) эллипсу;

D) окружности.

Записать уравнение 9x2 + z2 −18x −18y −6z = 0 в каноническом виде и

определить вид поверхности:

A)x −1 2 + z − 3 2 = y +1 - эллиптический параболоид;

2 3 2

B)x − 2 2 − z + 3 2 = y −1 - гиперболический параболоид;

2 3 2

x − 2		2	z − 3		2	= (y +1)	2
C)			+					- конус;
C)	2		+					- конус;
	2		3	2
x − 2		2	z − 3			2			2
D)			+			− (y +1)				= 1 - однополостный гиперболоид.
D)	2		+	2		− (y +1)				= 1 - однополостный гиперболоид.
	2		3	2

6. Записать	уравнение сферы	x2 + y2 + z2 = 4 в	сферической системе
координат.		C) r = 4cosϕ;	D) r = 2 .
A) r = 4 ;	B) r = −4 ;	C) r = 4cosϕ;	D) r = 2 .

Тест 7

1. Вычислите lim x2 sin	3
1. Вычислите lim x2 sin	x
x→0	x
A) ∞,		B) 0 ,	C) 3 ,	D) 1.

216

x−3

2.Вычислите limx→3 x2 − 4x +3

A) −1,

B) 0 ,

−

3. Вычислите lim

2 −

x − 2

x2 −36

x→6

A) −

B) 0 ,

C) ∞,

−

5x3 + 2x − 7

4. Вычислите

lim

x + 3x −8

x→∞ x2

A) 5 ,

C) 0 ,

D) ∞.

5. Вычислите

lim

x4 − 2x3 +1 − x2

x→∞

C) ∞,

A) −1,

B) 0 ,

D) −2 .

6. Вычислите lim

(e3x −1)tg2x

1 − cos 2x

x→0

D) ∞.

A) 3 ,

B) 6 ,

C) 0 ,

Тест 8

1. Найдите область определения функции

y =

x − 2

A) (

);

B) (

)

(

);

D) (

+∞

−∞;2

+∞

);

−∞;+∞

Определите,

будет

ли

точка

x = 2

точкой

разрыва

функции

, если x ≠ 2

f (x)= x − 2

, и если будет, то установите тип точки разрыва

4, если x = 2

A) точка непрерывности,

B) точка конечного разрыва,

C) точка бесконечного разрыва,

D) точка устранимого разрыва.

Определите,

будет

ли

точка

x = 2

точкой

разрыва

функции

f (x)=

x −

, и если будет, то установите тип точки разрыва

2 −

A) точка непрерывности,

B) точка конечного разрыва,

C) точка бесконечного разрыва,

D) точка устранимого разрыва.

217

Определите,

будет

ли

точка

x = 2

точкой

разрыва

функции

4(x − 2)

, если x

≠ 2 и x ≠ −2 , и если будет, то установите тип точки

f (x)=

x2 − 4

1, если x = 2

разрыва

A) точка непрерывности,

B) точка конечного разрыва,

C) точка бесконечного разрыва,

D) точка устранимого разрыва.

Определите,

будет

ли

точка

x = 3

точкой

разрыва

функции

f (x)=

| x −3 |

, и если будет, то установите тип точки разрыва

x2 −5x + 6

A) точка непрерывности,

B) точка конечного разрыва,

C) точка бесконечного разрыва,

D) точка устранимого разрыва.

Определите,

будет

ли

точка

x = π

точкой

разрыва

функции

tg x, åñëè 0 < x < π

f (x)

sin x, åñëè x ≥

, и если будет, то установите тип точки разрыва

A) точка непрерывности,

B) точка конечного разрыва,

C) точка бесконечного разрыва,

D) точка устранимого разрыва.

Тест 9

Производная

f ′(x) функции

f (x) = x +3x3

в точке x0

=1 равна:

A) 9;

B) 1;

C) 10;

D) 9.

Производная

f ′(x) функции

f (x) = x3tgx равна:

3x2

;

B) x3ctgx +3x2tgx ;

3x2tgx +

;

D) 3x2tgx .

cos2 x

′

f (x) =

x2 + 5 равна:

Производная f (x) функции

10x

;

B) 1;

;

2x − x2

(x2

+ 5)

(x2 + 5)

(x2

+ 5)

4. Дифференциал df (x)

функции

f (x) = sin x

в точке x0

π равен:

dx ;

dx .

5. Дифференциал df (x)

функции

f (x) = x −

в точке x0 =1 равен:

3 x

218

dx ;

−

;

dx .

y = ctgx

6. Уравнение касательной к графику функции

в точке с абсциссой

x =

имеет вид:

A) y = x − π

;

y = −2x + π

+1;

y = 2x +1 −

;

D) y = −x +

−1.

Тест 10

1. Производная второго порядка функции f (x) = x −2 4 равна:

−2

;

; ;

−2

(x −4)

2. Дифференциал второго порядка функции

f (x) = (2x +5)3

равен:

A) 6 (2x +5)2 dx2 ;

B) 24(2x +5)dx2 ;

C) 6 (2x +5)dx2 ;

D) 30(2x +5)2 dx.

3. Производная

′′′

f (x) = ln

(

3x +1

равна:

(x) функции

)

;

B) ln3 (3x +1);

ln (3x +1)

;

3x +1

(3x +1)2

4. Производная

f (n) (x) функции

f (x) = 3x

равна:

A) 3x lnn 3;

B) 3nx ;

C) 3nx ln 3;

D) 3nx lnn 3.

5. Уравнению y′′+4 y = 4x удовлетворяет функция:

A) 4x −e2 x ;

B) x + cos 2x;

C) x sin 2x;

D) 4x +sin 2x.

6. Производная

y′′xx

функции, заданной параметрически x = arctgt,

y = ln (t2 +1),

равна:

;

B) 0;

;

D) 2t2 + 2.

t2 +1

219

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.02.201646 Кб21Мат.ч.2.doc
#
16.02.2016773 Кб57Математика для 1 курса.pdf
#
18.11.20185 Мб42МАТЕМАТИКА методичка.doc
#
16.02.20162 Мб76Математика ч.1 (УМК 7,8).pdf
#
16.02.20162 Мб47Математика ч.2 (УМК).pdf
#
16.02.20162 Мб44Математика часть 1 УМК.pdf
#
16.02.201645 Кб27Математика(шифр 03).docx
#
16.02.20163 Мб50МатериаловедениеМУРЛ2007.doc
#
16.02.20166 Мб97МатериаловедениеУМК2008.doc
#
01.05.20252 Мб2Материалы 01-02.doc
#
16.02.20161 Мб19мелиорация 1ч.doc