шим m и наибольшим M значениями. Теоремы 2.28 и 2.30 можно легко
проиллюстрировать (см. рис.2.4.a) и (рис. 2.4.б) |
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
à) |
f (x ) |
|
|
|
á) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = f (x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
x2 |
] x |
C |
[ |
|
|
x1 |
] |
x |
|
O |
x1 |
O |
x2 |
c |
|
|||||
|
à |
b |
à |
|
b |
|
|||||
|
f (x ) |
|
A = f (x ) |
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
Рис.2.4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2.7.Вопросы для самоконтроля к главе 2
1.Дайте определение числовой последовательности. Ответьте на вопрос, какая последовательность называется монотонной, ограниченной.
2.Дайте определение конечного предела числовой последовательности.
3.Перечислите свойства последовательностей, имеющих конечный предел.
4.Дайте определение бесконечного предела числовой последовательности.
5.Дайте определение предела функции в конечной точке на языке ε −δ.
6.Дайте определение предела функции в конечной точке на языке последовательностей.
7.Что такое односторонние пределы функции?
8.Сформулируйте признаки существования конечного предела.
9.Что такое неперово число?
10.Дайте определения бесконечно малой и бесконечно большой функций. Как они связаны?
11.Сформулируйте теоремы о свойствах бесконечно малых.
12.Сформулируйте теорему о конечных пределах.
13.Какие бесконечно малые называются эквивалентными?
14.Какие "замечательные пределы" Вам известны?
15.Дайте определение непрерывности функции в точке.
16.Сформулируйте необходимое и достаточное условие непрерывности на языке бесконечно малых.
17.Сформулируйте теоремы о непрерывных функциях.
18.Какие точки разрыва называют точками разрыва первого рода? Приведите примеры.
19.Какие точки разрыва называют точками разрыва второго рода? Приведите примеры.
20.Сформулируйте свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке.
59
Глава 3. Производная и дифференциал
3.1.Определение производной. Ее геометрический
имеханический смысл
Пусть функция |
y = f (x) |
задана |
на |
некотором промежутке X . |
Возьмем какую-нибудь конечную точку |
x0 X и зададим в ней произ- |
|||
вольное приращение |
x ≠ 0 , |
такое, что |
и x0 +Δx X. Приращение |
|
функции в точке x0 , соответствующее приращению аргумента x , будет y = f (x0 + x) − f (x0 ).
Рассмотрим отношение |
y |
|
|
|
x. |
y |
|
||
Определение 3.1. Если при x → 0 отношение |
стремится к |
|||
x |
||||
конечному или бесконечному пределу, то этот предел называется произ-
водной функции |
y = f (x) по переменной x |
в точке x0 |
и обозначается |
||||||
′ |
или f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
символами y , yx |
(x0 ). |
|
|
|
|
|
|
||
Итак, по определению |
|
y |
|
f (x0 +Δx) − f (x0 ) |
|
|
|||
y′ = f ′(x0 ) = lim |
= lim |
. |
(3.1) |
||||||
x |
|
||||||||
|
|
x→0 |
x→0 |
x |
|
||||
Определение 3.2. |
Производная f ′(x0 ) |
называется конечной или |
|||||||
бесконечной в зависимости от того, конечен или бесконечен предел (3.1). Таким образом, конечная производная в данной точке представляет
собой число.
Определение 3.3. Если конечная производная от функции y = f (x) существует в каждой точке промежутка X , то на множестве X оказывается заданной функция, которая ставит в соответствие каждой точке x X значение производной в этой точке. Назовем эту функцию
производной от функции |
f и обозначим |
f ′. |
|||||||
Пример 3.1. Вычислить производную функции f (x) = xn , в произ- |
|||||||||
вольной точке x R, |
если n N. |
|
|
|
|
||||
Пользуясь определением (3.1) и формулой бинома Ньютона, находим |
|||||||||
|
′ |
|
|
(x + |
x)2 |
− x |
2 |
|
|
f |
(x) = lim |
|
|
|
|
= |
|||
|
x |
|
|
||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
||
= lim{nxn−1 + |
n(n −1) |
xn−2 x +L+( |
|
x)n−1} = nxn−1 . |
|||||
|
|
||||||||
x→0 |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
60
Итак, для любого x |
(x |
n |
′ |
= nx |
n−1 |
,n N. |
|
) |
|
Рассмотрим геометрическое содержание понятия производной.
Пусть в декартовой прямоугольной системе координат Oxy задана кри-
вая l , являющаяся графиком функции |
y = f (x) (рис. |
3.1). Требуется |
найти уравнение касательной к этой |
кривой в некоторой ее точке |
|
M0 (x0 , y0 ) . На кривой l возьмем |
какую-нибудь |
другую точку |
M (x0 + x, y0 + y) |
и приведем секущую M0M , |
образующую с осью |
|||||||||||||
Ox ориентированный угол ϕ . |
|
|
|
|
|
|
в точке M0 . |
|
|
|
|||||
Напомним определение касательной к кривой |
l |
|
|
|
|||||||||||
Пусть точка M приближается к точке M0 |
так, что расстояние ме- |
||||||||||||||
жду ними |
ρ(M0M ) → 0 . Если при этом секущая M0M будет прибли- |
||||||||||||||
y |
|
|
жается к |
|
|
некоторому |
предельному |
поло- |
|||||||
M |
|
жению M 0T так, что угол между прямыми |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
M0M и M 0T стремится к нулю, то прямая |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
y |
M 0T называется касательной к кривой l |
||||||||||||
|
|
в точке M0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y0 |
M0 |
|
В силу этого определения наличие в |
||||||||||||
x |
|
точке M0 касательной M 0T , образующей |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
ϕ |
|
с осью Ox ориентированный угол ϕ0 , эк- |
||||||||||||
ϕ0 |
x |
вивалентно равенствам |
|
|
|
|
|
|
|||||||
O |
x |
x |
(ϕ |
0 |
= lim ϕ) (tgϕ |
0 |
= lim tgϕ). |
(3.2) |
|||||||
0 x + |
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
||||||||
Рис.3.10 |
|
На рис.3.1 |
PM |
|
y |
|
f (x0 + x) − f (x0 ) |
|
|||||||
|
|
|
tgϕ = |
|
= |
= |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
M 0 P |
|
|
|
x |
|
|
|
||
в силу чего, на основании (3.2) и определения 3.1 для углового коэффициента k0 искомой касательной M 0T получаем
k0 |
= tgϕ0 = lim |
f (x0 + x) − f (x0 ) |
= f ′(x0 ). |
(3.3) |
|
|
|||||
|
x→0 |
x |
|
|
|
Зная угловой коэффициент |
k0 = f ′(x0 ) |
касательной M 0T |
и точку |
||
M0 (x0 , y0 ), через которую она проходит, |
пишем уравнение этой каса- |
||||
тельной в виде |
y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 ). |
|
|||
|
(3.4) |
||||
61
Итак, производная функции y = f (x) геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x.
Замечание. Условие существования производной в точке x эквивалентно условию существования и единственности касательной к кривой y = f (x) в этой точке (в точке с абсциссой x ). При этом случаю конечной производной отвечает касательная, не параллельная оси случаю бесконечной производной - касательная, параллельная оси Oy.
Механический смысл производной виден из следующих рассужде-
ний.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть материальная точка дви- |
|||
|
M0 |
|
|
|
|
M |
x |
жется по оси Ox (рис.3.2). |
||||
|
|
|
|
|
Положение точки определяется |
|||||||
0 |
x0 |
|
|
|
|
x0 + x |
|
ее абсциссой |
x , которая будет |
|||
|
Рис.3.2 |
|
|
|
|
|
функцией времени t : x = f (t) . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее равенство |
называ- |
||
ется уравнением движения точки. Пусть в момент времени t0 |
точка за- |
|||||||||||
нимала на траектории положение M0 |
и имела абсциссу x0 , а затем, по |
|||||||||||
прошествии времени |
|
t |
|
переместилась в положение |
M0 и имеет абс- |
|||||||
циссу x0 + |
x. Таким образом, если за время t точка не меняла направ- |
|||||||||||
|
|
|
x |
|
есть путь, пройденный точкой за время t. |
|||||||
ления движения, |
то |
|
|
|||||||||
Очевидно, |
x = f (t0 + |
t) − f (t0 ). |
|
|
|
|
|
|||||
Отношение |
x |
называется средней скоростью точки за проме- |
||||||||||
t |
||||||||||||
жуток времени |
t, |
а предел этого отношения при |
t → 0 называется |
|||||||||
скоростью V (t0 ) точки в момент времени t0 |
|
|
||||||||||
В силу определения производной (3.1). |
|
|
||||||||||
|
V (t0 ) = lim |
|
x |
|
= lim |
f (t0 + |
t) − f (t0 ) |
= f ′(t0 ). |
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
||||||
|
|
t→0 |
|
|
t→0 |
|
t |
|
|
|||
Следовательно, если x = f (t) |
есть уравнение прямолинейного дви- |
|||||||||||
жения точки, то производная f ′(t) |
представляет собой скорость точки в |
|||||||||||
момент времени t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
62