Глава 1. Основные понятия
1.1. Логическая символика
В современной математике для более компактной записи применяются особые логические понятия и символы. Основным логическим понятием является высказывание (предложение, предикат). Приведем наиболее употребляемые логические символы – кванторы.
Квантор следования ( ). При условии, что из высказывания P следует (вытекает) высказывание Q , пишут P Q ; читается «из P следует Q ».
Квантор эквивалентности ( ). Тот факт, что высказывания P и Q эквивалентны, т.е. из P следует Q , а из Q следует P , записывают в виде: P Q ; читается « P имеет место (справедливо) тогда и только тогда, когда имеет место (справедливо) Q ».
Квантор общности ( ). Запись x : P - означает «для всякого x
справедливо высказывание P ».
Квантор существования ( ). Запись x : P - означает «существует
по крайней мере один x , для которого справедливо высказывание P ». Кроме того, над высказываниями можно производить логические
операции: логическое сложение (дизъюнкция) P Q ; логическое умножение (конъюнкция) P Q и логическое отрицание P . По определению:
−сумма высказываний P Q истинно, в том и только в том случае, когда по крайней мере одно из высказываний P или Q истинно;
− произведение P Q истинно, в том и только в том случае, когда оба высказывания P и Q истинны;
−отрицание P является противоположным высказыванию P .
1.2.Множества
1.2.1. Понятие множества
Понятие множества является одним из первоначальных понятий математики. Под множеством понимается собрание, совокупность объектов. Можно говорить о множестве всех студентов в аудитории, о множестве всех букв на данной странице, о множестве всех корней данного уравнения, о множестве всех треугольников, которые можно вписать в данную окружность, и т.д.
4
Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами. Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным; в противном случае множество называется бесконечным. Так, например, множество всех домов в нашем городе является конечным; множество же всех треугольников, которые можно вписать в данную окружность – это бесконечное множество. Множество, не содержащее ни одного элемента называют пустым и обозначают символом . Если x элемент множества A, то пишут: x A ( x принадлежит A); в противном случае: x A (или x A, ( x не принадлежит A). Считается, что множество задано, если перечислены все его элементы или указано некоторое характеристическое свойство, которое их определяет.
Пример 1.1. Множество A ={ , , } задано непосредственным пе-
речислением элементов.
Пример 1.2. Множество натуральных чисел N определяют рекуррентно с помощью следующих двух утверждений: 1 N , и, если n N , то n +1 N .
Пример 1.3. Множество A ={x : (n N ) (1 ≤ x < 4)} задано харак-
теристическими свойствами, а именно: его элементами x являются натуральные числа, удовлетворяющие неравенству 1 ≤ x < 4. Этому условию удовлетворяют числа 1,2,3 и только они. Следовательно, A ={1, 2,3}.
Чаще всего в нашем курсе будут встречаться числовые множества, элементами которых являются числа.
Пример 1.4. Множество целых положительных чисел не делящихся на 3 и не превосходящих 10. Это конечное множество, элементами кото-
рого будут 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10.
Пример 1.5. Множество всех корней уравнения sin x = 0 . Это бес-
конечное множество, элементы которого определяются |
формулой: |
x = kπ , где k = 0, ±1, ±2,.... |
|
Пример 1.6. Множество всех вещественных корней |
уравнения |
x2 +1 = 0 является примером пустого множества (ибо это уравнение не имеет вещественных корней).
Установим некоторые отношения между множествами. Определение 1.1. Множества A и B называются равными друг
другу (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов. С помо-
щью кванторов это определение записывается так:
A = B (( x A x B) ( x B x A)).
Определение 1.2. Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B принадлежит и множеству
5
A. В этом случае пишут B A. Таким образом, (B A) ( x B x A). Очевидно, что
((B A) (A B)) (A = B),
и что всегда A A и A. Множества A и называют несобствен-
ными подмножествами множества A.
Пример 1.7. A ={1,2}. Найти все его подмножества.
Решение. Перечислим все возможные подмножества: {1},{2}, а также {1, 2} и .
Определение 1.3. Множество J называют универсальным множе-
ством для системы множеств A, B,C,..., если каждое из этих множеств является его подмножеством.
1.2.2. Операции над множествами
Определение 1.4. Объединением (A B) или суммой множеств A
и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат или множеству A или множеству B , или обоим этим множествам: A B ={x :(x A) (x B)} (см.рис.1.1.а).
Определение 1.5. Пересечением (A ∩B) или произведением мно-
жеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A , так и множеству B :
A ∩B ={x :(x A) (x B)} (см.рис.1.1.б). |
|
||
Определение 1.6. Разностью A ‚ |
B множеств A и B называется |
||
множество, состоящее из элементов множества A , не входящих в B , и |
|||
только из них: A ‚ B ={x :(x A) (x B)} (см.рис.1.1.в). |
|
||
Определение 1.7. Дополнением B′ множества B называется раз- |
|||
ность J ‚ |
B , где J - универсальное множество. |
|
|
Пример 1.8. Пусть A ={1,2,6,9}, |
B ={2,3,7,9,11}, тогда по опреде- |
||
лению: |
Α Β={1, 2,6,9,3,7,11}; |
A ∩B ={2,9}; |
A ‚ B ={1,6}; |
Β\ Α ={3,7,11}. |
|
|
|
B |
B |
B |
A B |
A |
|||
|
A |
A |
|
а) |
б) |
в) |
|
Рис. 1.1 а) A B ; б) A ∩B ; в) A ‚ |
B |
||
6
1.2.3. Эквивалентность множеств. Мощность
Определение 1.8. Если каждому элементу множества A по некоторому правилу можно сопоставить один и только один элемент множества B и обратно, каждому элементу множества B можно сопоставить один и только один элемент множества A, то говорят, что между множествами
A и B установлено взаимно - однозначное соответствие.
Множества A и B называются эквивалентными ( A B ), если между ними можно установить взаимно - однозначное соответствие, в противном случае говорят, что множества не являются эквивалентными.
Для доказательства эквивалентности двух множеств достаточно установить между ними какое-либо взаимно - однозначное соответствие. Заметим, что из равенства множеств следует их эквивалентность, обратное же утверждение неверно.
Пример 1.9. 1. Пусть A ={a,b,c} и B ={1,2,3}. Установим взаим-
но-однозначное соответствие между ними, например так: a ↔1, b ↔ 2, c ↔ 3. Тогда A B (см. опр.1.8). Однако при этом A ≠ B, (см. опр.1.1)
2. Установим взаимно - однозначное соответствие между множест-
вами
A ={x :0 ≤ x ≤1} и B ={y : a ≤ y ≤ b}. Положим y = (b − a)x + a. Если x A, то соответствующий ему элемент y B, и обратно, если y B, то соответствующий ему элемент x = ( y − a)/(b − a) принадлежит A.
Заметим, что отношение эквивалентности транзитивно: если A B
и B C, то A C.
Определение 1.9. Непустое множество A называется конечным, если существует такое натуральное число n N, что A {1,2,L,n}. В
этом случае говорят, что множество имеет n элементов. Пустое множество по определению считается конечным.
Множество, не являющееся конечным называется бесконечным. Множество A, эквивалентное множеству N натуральных чисел на-
зывается счетным.
Множество A , эквивалентное множеству R вещественных (действительных) чисел называется множеством мощности континуума.
Определение 1.10. Мощностью множества A называется класс всех множеств, эквивалентных множеству A .
Тем самым, мощность есть общая характеристика всех эквивалентных между собой множеств. Для конечных множеств мощность множества - это число его элементов. Все элементы любого из счетных множеств могут быть перенумерованы, несмотря на то, что их число бесконечно. Элементы множества, имеющего мощность континуума, перену-
7