ции, в силу чего равенство (3.10) играет большую роль как в теоретических исследованиях, так и в приближенных вычислениях.

Операции нахождения производной и дифференциала функции называются дифференцированием этой функции. Общее название обеих операций объясняется их очевидной зависимостью. В силу формулы (3.8) дифференциал функции получается простым умножением ее произ-

носительную погрешности, которые возникают при замене приращения функции ее дифференциалом.

Найдём приращение и дифференциал функции

y = 3(x + x)2 +(x + x) −3x2 − x = 6x x +3( x)2 + x = (6x +1) x +( x)2.

Тогда dy = (6x +1) x . Вычислим y и dy в точке x =1 , если x = 0,1 y = 7 0,1+3 0,01 = 0,73;dy = 7 0,1 = 0,7.

Абсолютная погрешность y −dy = 0,73 −0,7 = 0,03, а относительная погрешность

y= 00,,0373 ≈ 0,04.

3.5.Производная суммы, произведения и частного функций

Напомним известные из курса средней школы правила дифференцирования, которые позволяют в некоторых случаях находить производные функций, не прибегая непосредственно к определению.

Умножив эти равенства почленно на dx , получим те же правила, записанные в терминах дифференциалов

67

Доказательство. Так как для всех частей теоремы доказательство проводится совершенно единообразно, докажем одну из них, например, вторую.

Обозначим y = uv. Придадим x приращение x, и пусть

ференцируема, а значит, и непрерывна ( теорема 3.2), следовательно

тель можно выносить за знаки производной и дифференциала.

Для случая трех сомножителей, последовательно применяя формулу

(3.12), находим

(uvw)′ = ((uv)w)′ = (uv)′w +(uv)w′+(u′v +uv′)w +uvw′ = = u′vw +uv′w +uvw′.

68

Аналогичное правило справедливо при дифференцировании произведения любого числа сомножителей.

В следующих пунктах будут получены производные основных элементарных функций.

3.6. Производные от тригонометрических функций

Найдем производные от тригонометрических функций, а именно

Получим первую из них. Приращение функции y = sin x в точке x , со-

Вторая формула доказывается аналогично. Третья и четвертая формулы получаются, если тангенс и котангенс выразить через синус и косинус и воспользоваться формулой (3.13).

3.7. Дифференцирование логарифмических функций

Докажем первую из них. Приращение функции y = loga x в точке x , со-

(мы воспользовались здесь тождеством loga A = loga eln A ).

69

dy = f ′(u)du.

Замечание. Дифференциал функции y = f (u) имел бы точно такой же вид и в том случае, если бы аргумент u был не функцией, а независимой переменной. В этом состоит так называемое свойство инвариантности (независимости) формы дифференциала по отношению к аргументу. Следует иметь в виду, что если u - независимая переменная, то du = u есть ее произвольное приращение, если же u - промежуточный аргумент (то есть функция), то du - дифференциал этой функции, то есть величина, не совпадающая с ее приращением u.

С помощью последней теоремы легко получить формулы дифференци-

левая часть последнего равенства является сложной функцией отx . Продифференцировав обе части последнего равенства по x (левую - как сложную функцию), получим

1y y′ = a 1x ,

откуда

y′ = ayx = axxa = axa−1.

Легко показать, что этот результат верен и при x < 0 , если только при

этом xα имеет смысл. Ранее был получен результат для случая α = n. Аналогично получается и вторая формула, из которой в частном случае при a = e вытекает последняя формула.

Замечание. Прием предварительного логарифмирования, который был использован при получении формулы дифференцирования степенной функции, имеет самостоятельное значение и называется в совокупности с последующим нахождением производной логарифма функции

логарифмическим дифференцированием.

Покажем его применение для дифференцирования функций вида y = u(x)v(x)

Пример 3.3. Найдем производную функции y = xsin x . ln y = ln xsin x = sin xln x

71

ln y ' = y '/ y = (sin x)'ln x +sin x(ln x)' = cos xln x + sinx x .

Следовательно,

y′ = xsin x(cos x ln x + sinx x)

Замечание. Правило дифференцирования сложной функции может быть применено и для отыскания производной функции, заданной неявно.

Действительно, если зависимость между x и y задана в форме F(x, y) = 0 и это уравнение разрешимо относительно y , то производную y′ можно найти из уравнения

3.9. Дифференцирование обратной функции.

Дифференцирование обратных тригонометрических функций

Пусть даны две взаимно обратные функции y = f (x) и x =ϕ( y)

(см.п. 1.4.8).

Теорема 3.5 (о производной обратной функции). Если функции

72