Глава 2. Предел функции

2.1. Числовая последовательность

При изучении различных разделов математического анализа достаточно часто приходится иметь дело с функциями, определенными на множестве натуральных чисел.

2.1.1. Определение и способы задания числовой последовательности

Определение 2.1. Функция, заданная на множестве натуральных чисел называется числовой последовательностью.

Итак, пусть задана последовательность f :N → R . Значения функ-

ции в данном случае образуют счётное множество и их обычно обозна-

чают так: f (1) = x1, f (2) = x2 , f (3) = x3 ,L, f (n) = xn ,L.

По сложившейся традиции совокупность чисел x1,x2 ,L,xn ,L также

называют бесконечной числовой последовательностью и обозначают

{xn}. При этом сами числа xn называют членами последовательности, а

выражение xn = f (n) - общим членом последовательности {xn}.

Для задания последовательности достаточно каким-либо способом задать функцию f . Очевидно, что способы ее задания, то есть способы

задания последовательности {xn} могут быть различны (см. способы за-

дания функций (пункт 1.4.2)).Очевидно, что последовательность задана, если указан ее общий член.

тельности {xn} будет таким: 2,5,8,11,L. Заметим, что рассмотренная по-

следовательность есть арифметическая прогрессия с первым членом равным 2 и разностью равной 3.

4. Пусть x1 = 0, x2 =1, xn+1 = xn−1 + 2xn , n ≥ 2. Соответственно, задана последовательность 0,1,2,6,16,L.

Способ задания последовательности, при котором её последующие члены определяются как функции предыдущих, называется рекуррент-

26

ным. Очевидно, что для однозначного задания последовательности в этом случае необходимо знать начальные данные.

Последовательность {xn} может быть изображена на числовой оси в

виде последовательности точек, координаты которых равны величинам соответствующих членов последовательности.

2.1.2. Ограниченность числовой последовательности

Последовательность может быть ограниченной или неограниченной (т.е. не являющейся ограниченной). Дадим определение ограниченной последовательности.

Определение 2.2. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует число M > 0, такое, что для всех n N выполняет-

Заметим, во-первых, что число M не обязано быть наименьшим, из всех подходящих по условию чисел, а во-вторых, что в качестве числа L в определении, использующем понятие окрестности, можно брать любое L , удовлетворяющее условию L > M .

Аналогично, последовательность {xn} называют ограниченной свер-

ху (справа), если все ее члены не превосходят некоторого числа M , и ограниченной снизу (слева), если все ее члены не меньше некоторого числа m.

Очевидно, что ограниченная последовательность ограничена как слева, так и справа. Если же последовательность ограничена с одной стороны, то она может быть неограниченной. Очевидно, что определение неограниченности (как отрицания ограниченности) будет следующим:

Определение 2.3. Последовательность {xn} называется неограниченной, если для любого числа M > 0, найдется такое n0 N , что выполняется неравенство xn0 > M .

27

xn ≥ −4 при всех n N .

3. Последовательность {xn} ={−1− n} ограничена сверху; так как

xn ≤1/3.

4. Последовательности {n −5} и {−1 − n} не являются ограниченны-

ми.

Отметим, что, так как последовательности - это функции, заданные на подмножестве N множества R (см. определение 2.1), то они обладают всеми теми свойствами ограниченных функций, которые перечислены в пункте 1.4.6.

2.1.3. Монотонность

Определение 2.4. Последовательность {xn} называется возрастающей , если для любых n N выполняется соотношение xn+1 > xn , оз-

начающее, что последующий член последовательности всегда больше предыдущего.

Последовательность {xn} называется убывающей , если для любых n N выполняется соотношение xn+1 < xn , означающее, что последую-

щий член последовательности всегда меньше предыдущего.

Если последовательность {xn} возрастает или убывает, то она назы-

вается строго монотонной.

Последовательность {xn} называется неубывающей , если для любых n N выполняется соотношение xn+1 ≥ xn , означающее, что после-

дующий член последовательности всегда не меньше предыдущего и невозрастающей , если для любых n N выполняется соотношение xn+1 ≤ xn , означающее, что последующий член последовательности всегда

не больше предыдущего.

Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными.

Пример 2.3. Докажем, что последовательность X n = n2 −1 монотонна. Для доказательства монотонности достаточно определить знак

Доказано строго монотонное возрастание.

28

2.1.4. Конечный предел последовательности

Наибольший интерес представляет поведение последовательностей в тех случаях, когда их аргумент n стремится к бесконечности, принимая значения строго в порядке возрастания n =1,2,3,L.

Определение 2.5. Число a называется пределом последовательно-

сти {xn},если для любого положительного числа ε найдется такой но-

ского слова limes, которое означает "предел"). Говорят также, что a - предельная точка последовательности {xn}.

Итак, по определению,

(nlim→∞ xn = a) ( ε > 0 N = N (ε ): n > N xn −a <ε )

Так как ( xn −a <ε) (xn Rε (a)) , то требование выполнения неравенства xn −a <ε в определении может быть заменено требованием принадлежности xn окрестности Rε (0) .

С геометрической точки зрения определение limn→∞ xn = a означает,

что какова бы ни была ε - окрестность точки a, начиная с некоторого номера, все точки xn попадут в эту окрестность; то есть вне ее останется

лишь конечное число членов. Отсюда следует, что две последовательности, отличающиеся между лишь собой конечным числом членов, ведут себя одинаково с точки зрения наличия у них конечного предела a.

Пусть ε - произвольное положительное число. Найдем для него такой номер N , для которого выполнение условия n > N влечёт за со-

равенства 1/n <ε . Последнее же неравенство выполняется в случае, если n >1/ε , поэтому N можно положить равным целой части числа 1/ε .

Тогда из неравенства n > N 0 − (−n1)n < ε , то есть по определению (см.

определение 2.5) данный предел равен 0. Что и требовалось доказать.

29

2.1.5. Бесконечный предел последовательности

Определение предела последовательности, сформулированное с помощью ε - окрестности, имеет смысл и в том случае, когда вместо конечного числа a стоит бесконечность (∞, +∞ или −∞). Получаем:

(lim xn = ∞) ( ε > 0 N = N (ε) :n > N (ε) (xn Rε (∞)).

n→∞

Вспомним, что (xn Rε (∞)) ( xn >1/ε).

С учетом этого, определение бесконечного предела означает, что для любого наперед заданного числа M =1/ε найдется соответствующее ему число N , такое, что для всех n > N выполнено неравенство xn > M .

Определение 2.6. Последовательность, предел которой равен ∞,

называют бесконечно большой.

Аналогично, вспомнив определения Rε (+∞) и Rε (−∞) (см. опр. 1.14) получим:

(lim xn = +∞) ( ε > 0 N = N (ε) :n > N (ε) xn > ε1 ),

n→∞

(lim xn = −∞) ( ε > 0 N > N (ε) :n > N (ε) xn < −ε1 ).

n→∞

В первом случае говорят о том, что последовательность {xn} бес-

конечно большая и положительная, а во втором - последовательность называют бесконечно большой и отрицательной.

Наличие в первом случае конечного числа отрицательных членов, а во втором - конечного числа положительных членов как отмечалось выше (см. пункт 2.1.4.) не влияет на предел.

Очевидно, что

Принята терминология, согласно которой последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а имеющая бесконечный предел или не имеющая предела, называется расходящейся.

Ecли сравнить определения бесконечно большой последовательности (см. опр. 2.6. ) и неограниченной последовательности (см. опр. 2.3.), то станет очевидной следующая теорема.

Теорема 2.1. (О неограниченности бесконечно большой). Если по-

следовательность {xn} бесконечно большая, то она неограниченная.

Замечание. Обратная теорема не верна, то есть из неограниченности не следует существование бесконечного предела.

Действительно, рассмотрим последовательность

30

1 , ï ðè n −н ечетн о м xn = nn, ï ðè n − ÷åòí î ì .

Эта последовательность не ограничена, но при этом не является бесконечно большой, так как вообще не имеет предела.

2.1.6. Свойства последовательностей, имеющих конечный предел

Теорема 2.2. (О единственности предела). Если последователь-

ность имеет конечный предел, то этот предел единственен.

Доказательство. Проведем доказательство от противного. Предпо-

N = max{N1,N2}.

Следовательно, при n > N оба неравенства будут выполнятся одновременно, то есть xn −a <ε и xn −b <ε. В силу этого, для n > N

a −b = (a − xn ) +(xn −b) ≤ a − xn + xn −b < 2ε

для любого положительного числа ε. Поскольку ε произвольное, выберем ε < 12 | a −b |, откуда вытекает неравенство | a −b |> 2ε . Но это проти-

воречит написанному выше неравенству. Полученное противоречие говорит о неверности предположения. Теорема доказана.

Теорема 2.3. (Об ограниченности последовательности, имеющей конечный предел). Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Доказательство. По условию, lim xn = a. Следовательно, для ε =1

n→∞

найдется N = N (1) , такое, что для любого n > N будет выполнено неравенство | a − xn |<1. Тогда для всех n > N получим:

xn = (xn −a) + a ≤ xn −a + a <1+ a .

Пусть теперь M = max{| x1 |,| x2 |,L,| xN |,1+ | a |}. Тем самым, для всех n N обеспечено выполнение неравенства | xn |≤ M . Ограниченность последовательности {xn} доказана (см. определение 2.2).

Замечание. Обратная теорема не верна. То есть, из ограниченности

31

последовательности не следует ее сходимость.

Действительно, последовательность {xn} ={(−1)n} ограничена, так как n N верно неравенство | xn |≤1. Но при этом она не имеет преде-

ла. Покажем это.

Заметим, что все члены данной последовательности, имеющие чётные номера, равны 1. Члены последовательности с нечётными номерами равны, соответственно, −1. Предположим, что последовательность имеет предел и этот предел равен a . Так как из определения предела (см. опр.2.5,) следует, что в произвольной окрестности предельной точкой a должно быть бесконечное число членов последовательности, то для данной последовательности a может быть либо равно 1, либо равно

−1. Пусть limn→∞ xn =1. Положим ε =1. По определению предела найдется N = N (1) такое, что для всех n > N должно быть выполнено неравенство | xn −1|<1, то есть (−1)n −1 <1. Однако, если n - нечетно, то не-

равенство неверно. Значит, предложение ложно и a ≠1. Аналогично, можно показать, что a = −1 также не является пределом данной последовательности. Следовательно, данная последовательность не имеет предела, то есть расходится.

Докажем также важную теорему.

Доказательство. Пусть limn→∞ xn = a < 0 . Тогда для произвольного числа ε > 0 найдется номер N , такой что при n > N будет выполнятся

Это противоречит условию теоремы. Исходное утверждение дока-

зано.

В частности, если последовательность {xn} сходится и при всех n выполнено неравенство xn > 0 , то limn→∞ xn ≥ 0 .

32