Таким образом, дифференцируемость функции x =ϕ( y) в точке y и формула (3.19) доказаны.

С помощью этой теоремы выводятся формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций:

положительный знак, и мы получаем первую формулу. Аналогично доказываются и остальные.

3.10. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция y = f (x) дифференцируема на некотором промежутке. Тогда производная f ′(x) этой функции, называемая еще производной первого порядка, будет новой функцией x , заданной на этом промежутке, и может, в свою очередь, иметь производную. Эту произ-

водную называют производной второго порядка функции y = f (x) и

обозначают одним из символов

y = f (x) называется производная от производной n −1 порядка данной функции. Производная n -го порядка обозначается одним из символов:

73

y(n) , f (n) (x).

Пример 3.5.

y = 5x3 +6x −1. y′ =15x2 +6, y′′ = 30x, y′′′ = 30, y(4) =L= y(n) = 0.

Очевидно, что для алгебраического многочлена n − ой степени все производные, начиная с (n +1) - ого порядка, равны нулю.

Пример 3.6.

y = eax, y′ = aeax, y" = a2eax, L , y(k ) = akeax.

Определение 3.9. Функция f (x) называется дифференцируемой k раз в некоторой точке (на некотором промежутке), если в этой точке (на этом промежутке) дифференцируемы функции

f (x), f ′(x), f ′′(x).f (3) (x),L, f (n−1) (x).

Дифференциал функции y = f (x) , где x - независимая переменная, называемый еще дифференциалом 1-го порядка, определяется формулой

где dx = x - произвольное достаточно малое приращение аргумента x . Зафиксируем dx; тогда dy будет функцией от x . Дифференциал этой функции называется дифференциалом 2-го порядка функции y = f (x) и

Дифференциал функции d 2 y называется дифференциалом 3-го порядка

Итак, дифференциал n - ого порядка равен произведению производной

74

циями от x . Поэтому при отыскании дифференциалов старших порядков нельзя выносить du за знак производной, а следует дифференцировать формулу 3.22 как произведение. Поэтому формулы для дифференциалов высших порядков сложной функции отличаются от полученных выше формул. Отметим, что дифференциалы высших порядков сложной функции по отношению к аргументу свойством инвариантности формы не обладают.

Из формулы (3.21) следует: f (n) = ddxk yk , то есть, что производную n - ого

порядка функции можно истолковать как отношение дифференциала n - ого порядка функции к n - ой степени дифференциала независимой пе-

dk y

ременной. Поэтому символ dxk часто применяют для обозначения производной n - ого порядка функции y по переменной x .

3.11. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция y = f (x) задана параметрическими уравнениями

пользуясь только параметрическими уравнениями (3.23), минуя представление функции y = f (x) в явной форме.

Теорема 3.6. Если на промежутке T функция x =ϕ(t) возраста-

Доказательство. Так как функция x =ϕ(t) возрастает (убывает) на T , то она имеет на этом промежутке обратную функцию t = g(x). В силу теоремы 3.5 эта обратная функция будет дифференцируема в точке x ,

нии теоремы о дифференцировании сложной функции находим производную функции

что и требовалось доказать.

75

3.12.Вопросы для самоконтроля к главе 3

1.Что называется приращением аргумента и приращением функции?

2.Дайте определение производной функции в точке. Каково её геометрическое и механическое истолкование?

3.Выведите уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке.

4.Дайте определение дифференцируемости функции в точке. Сформулируйте необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

5.Что называется дифференциалом функции? Каково его геометрическое истолкование?

6.Покажите, что абсолютная и относительная погрешности при замене приращения функции её дифференциалом есть величины бесконечно малые. Для какой функции дифференциал тождественно равен приращению?

7.Докажите теорему о непрерывности дифференцируемой функции. Покажите на примерах, что обратная теорема неверна.

8.Может ли функция иметь производную в точке разрыва.

9.Сформулируйте и докажите основные правила дифференцирования.

10.Выведите формулы для нахождения производных функций: sin x, cos x , tgx , ctgx , loga x , ln x .

11.Сформулируйте и докажите правило дифференцирования сложной функции.

76