Primery_reshenija_zadach_

Основные законы, формулы, примеры решения задач

Физические основы механики.

Кинематика поступательного и вращательного движения

1.Кинематическое уравнение движения материальной точки вдоль оси X:

x = (t),

где (t) - некоторая функция времени.

2. Средняя скорость за промежуток времени t

vx = Δtx ,

где x = x2 – x1; x1 - положение точки в момент времени t1; x2 - положение точки в момент t2 ; t = t2 - t1 .

3.Мгновенная скорость

vx = dxdt .

4. Среднее ускорение

ax = Δtvx .

5. Мгновенное ускорение

ax ddtvx .

6.Уравнение равнопеременного движения

x v0 t at2 , 2

где v0 - скорость точки в момент времени t= 0.

7.Скорость равнопеременного движения

vv0 t at .

8.Уравнение движения точки по окружности

= f(t) ,

где - угловое положение точки в момент времени t.

9. Угловая скорость точки, движущейся по окружности:

= d . dt

10. Угловая скорость при равномерном движении по окружности

= 2 n ,

где n - число оборотов в секунду. 11. Угловое ускорение

12. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки по окружности:

v = R ,

a = R , an = 2R ,

где v - линейная скорость точки (направлена по касательной к окружности); a - тангенциальное ускорение (направлено по касательной); an - нормальное ускорение (направлено к центру окружности); R - радиус окружности.

13. Полное ускорение

a= a 2 an 2 ,или a R 2 4 .

14. Уравнение равнопеременного движения по окружности

0 t t 2 , 2

где 0 - скорость точки в момент времени t= 0.

15. Угловая скорость равнопеременного движения по окружности

0 t .

Динамика материальной точки и тела, движущихся поступательно

16. Импульс (количество движения) движущейся материальной точки

массой m со скоростью v

p =m v .

17. Второй закон Ньютона

dp F , dt

где F - сила, действующая на материальную точку. 18. Второй закон Ньютона для средних значений силы

p F ,t

где F - среднее значение силы за время t.

19.Силы, рассматриваемые в механике:

a)сила упругости

Fх = - kx ,

где k - коэффициент жесткости пружины; x – ее абсолютная деформация;

б) сила гравитационного взаимодействия

F G m1m2 ,

r 2

где G - гравитационная постоянная; m1 и m2 - массы взаимодействующих материальных точек; r - расстояние между материальными точ-

ками (или телами).

в) сила трения скольжения

F = N ,

где - коэффициент трения скольжения; N - сила нормального давления.

20. Закон сохранения импульса для замкнутой системы из двух тел

m1 v1 m2 v2 m1 u1 m2 u2 ,

где v1 и v2 - скорости тел в начальный момент времени; u1и u2 -

скорости тех же тел в конечный момент времени.

21. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно:

22. Потенциальная энергия:

а) упруго деформированной пружины1

,

где k - коэффициент жесткости пружины; x - абсолютная деформация;

б) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести:

ЕП mgh ,

где g – ускорение свободного падения тела; h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где R

–радиус Земли).

23. Работа постоянной силы при прямолинейном движении

A F x x ,

где Fx - проекция силы на направление перемещения.

24. Полная механическая энергии системы

E = EK + EП .

25. Закон сохранения энергии в замкнутой системе тел, в которой действуют только консервативные силы

E( t ) EK ( t ) EП ( t ) const,

где t - произвольный момент времени.

26. Работа А, совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения энергии системы:

A E E2 E1,

где E E2 E1 - изменение полной энергии системы.

Динамика вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси

27. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси

M =J ,

где M – результирующий момент внешних сил относительно оси вращения; - угловое ускорение; J – момент инерции тела относительно оси вращения.

28. Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси вращения, проходящей через центр симметрии:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню:

б) обруча (тонкостенного цилиндра) радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра):

J mR2 ;

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска:

30. Закон сохранения момента импульса системы двух тел относительно общей неподвижной оси вращения

L ( t ) L ( t ) const,

где L1 (t) и L2 (t) - моменты импульсов первого и второго тел относительно общей оси вращения.

31. Кинетическая энергия абсолютно твердого тела, вращающегося во-

32. Элементарная работа при повороте абсолютно твердого тела на малый угол

A = M .

Примеры решения задач

Пример 1

Две материальные точки движутся по прямой согласно уравнениям:

x1 = A1 + B1 t + C1 t2 и x2 = A2 + B2 t + C2 t2, где A1 = 10 м; В1 = 4 м/с;

С1 = - 2 м/с2; A2 = 3 м; В2 = 2 м/с; С2 = 0,2 м/с2. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковы? Найти ускорения этих точек в мо-

мент времени 3с.

Дано:

x1 = A1 + B1 t + C1 t2 x2 = A2 + B2 t + C2 t2

A1 = 10 м; В1 = 4 м/с; С1 = - 2 м/с2

A2 = 3 м; В2 = 2 м/с; С2 = 0,2 м/с2

t = ? (при v1 = v2) a1 = ? a2 = ?

Решение. Так как требуется найти скорость и ускорение в определенный момент времени (t = 2 c), то это значит, что нужно определить мгновенные значения скоростей и ускорений.

Мгновенная скорость v есть первая производная от координаты по

Ускорение точек найдем, взяв первую производную от скорости по

Из выражений (4) и (5) видно, что движение обеих точек происходит с постоянным ускорением:

a1 = 2C1 = 2·(-2) м/c2 = - 4 м/c2,

a2 = 2C2 = 2·(0,2) м/c2 = 0,4 м/c2.

Пример 2

Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону

А Вt Ct 2 , где А=12 рад; В=18 рад/с; С=-4 рад/с2. Определить нармальное и тангенциальное ускорение точки, располо-

женной на расстоянии 0,2 м от оси вращения в момент времени 2с. Дано:

А Вt Ct 2

А=12 рад; В=18 рад/с; С=-4 рад/с2. t= 2 c, R = 0,2 м.

an=? a =?

Решение. Тангенциальное и нормальное ускорения точки, вращающего-

ся тела выражаются формулами

а r , (1) an 2 r

где - угловая скорость тела;- его угловое ускорение.

Угловую скорость найдем, взяв первую производную от угла поворота по времени:

Угловое ускорение найдем, взяв производную от угловой скорости по времени:

d 2C 8 рад/с2. dt

Подставляя значения , , r в формулу (1), получим a = ( 8 ) 0,2 м 1,6 м

с2 с2

а 22 0,2 м 0,8 м .

Пример 3

Поезд массой 4000 т идет со скоростью 36 км/ч. Перед остановкой

поезд начинает тормозить. Сила торможения равна 2 105 Н. Какое расстояние пройдет поезд за 1 минуту после начала торможения?

Дано:

V0 = 36 км/ч

F = 2 105 Н t = 1 мин

S = ?

Решение. После начала торможения поезд стал двигаться равнозамедлен-

но, следовательно, путь, который прошел поезд, выражается формулой at 2

где V0 – начальная скорость движения поезда. На поезд действует при этом только одна сила – сила торможения. Эта сила сообщает поезду отрицательное ускорение. По второму закону Ньютона это ускорение равно

Подставляем числовые значения V0 ,F, t в формулу (3), проведем вычисления S. Предварительно все данные запишем в системе СИ:

m = 4000 т = 4 106 кг,

V0= 36 км/ч = 10 м/с,

F = 2 105 Н, t = 1мин = 60 с.

Тогда

S= 10 м / с 60 с 2 10 5 Н ( 3,6 103 )с2 510 м. 2 4 106 кг

Пример 4

Тележка с песком массой 40 кг движется горизонтально со скоростью 5 м/с. Камень массой 10 кг попадает в песок и движется вместе с тележкой. Найти скорость тележки после попадания камня: а) падающего по вертикали; б) летящего горизонтально навстречу тележке со скоростью 10 м/с.

Дано:

m1 = 40 кг v1 = 5 м/с m2 = 10 кг

а) v2 = 0, б) v2 = 10 м/с

u = ?

Решение. Рассмотрим систему, состоящую из тележки и камня. Внешняя сила (сила тяжести) направлена вертикально, поэтому по отношению к вертикальному движению система незамкнута, и закон сохранения импульса неприменим. В горизонтальном направлении внешние силы отсутствуют, и закон сохранения импульса выполняется в проекции на направление движения. В качестве положительного направления оси Х примем направление движения тележки.

После вертикального падения камня скорость системы уменьшится только в связи с увеличением массы. Закон сохранения импульса для данного случая имеет вид

После подстановки числовых значений в выражение (2), получим