Primery_reshenija_zadach_
.pdf
Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось Х для случая, когда камень летит горизонтально со скоростью v2 = 10 м/c и застревает в
песке: |
|
|
m1 v1 m2 v2 m1 m2 u , |
(3) |
|
откуда |
|
|
u m1 v1 |
m2 v2 . |
(4) |
m1 |
m2 |
|
Произведем вычисления величины u:
u 40 5 10 10 м/с 2м/с.
40 40
Пример 5
В мешок с песком массой 4 кг, висящий на длинной нерастяжимой нити, попадает пуля, летящая горизонтально со скоростью 400 м/с, и застревает в нем. Масса пули 10 г. Найти высоту, на которую отклонится мешок с песком.
Дано: m1 =4 кг
v1 =0
m2 =10 г=10-2 кг v2 =400 м/с
h = ?
Решение. В горизонтальном направлении на пулю и мешок внешние силы не действуют, поэтому система мешок - пуля может считаться замкнутой.
Тогда закон сохранения импульса в проекции на ось Х запишется в виде
m2 v2 m1 m2 u ,
где u - скорость совместного движения мешка и пули. Отсюда
u |
m2 |
v2 |
. |
||
|
|
|
|||
m1 |
m2 |
||||
|
|
||||
(1)
(2)
После того как в мешок попала пуля, оба эти тела движутся вместе, и их кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию.
Согласно закону сохранения энергии |
|
||
m m |
m gh . |
||
1 |
2 |
u2 m |
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
Подставив (2) в формулу (3), выразим высоту подъема h:
h u |
|
m2 |
2 |
|
|
||
2 |
v2 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2g |
m1 |
m2 |
2g |
||||
Проведем вычисления по формуле (4)
|
|
2 |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
10 |
|
|
16 10 |
5,1 10 2 м 5,1см. |
||||
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0,01 |
2 |
9,81 |
|
||||
4 |
|
|
|
|||||
(3)
(4)
Пример 6
Маховик в виде диска массой 50 кг и радиусом 20 см вращается с частотой 480 об/м. Затем к поверхности маховика прижали тормозную колодку, под действием которой маховик остановился через 50 с. Определить момент сил торможения.
Дано:
m = 50 кг
R = 0,2 м
t = 50 с
n =480 об/мин = 8 об/с
M = ?
Решение. Для определения тормозящего момента М используем основное уравнение динамики вращательного движения в виде
M L , |
(1) |
||
|
|
|
|
t
где L=J - момент количества движения маховика;
J mR2 - его момент инерции.
2
Тогда L = J - изменение момента количества движения маховика за время t.
L = J = J{ 2 - 1)= -J 1, |
|
|
(2) |
||||||||
где начальная угловая скорость маховика |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 = 2 n1 , |
|
|
|
|
|
(3) |
|||
а конечная 2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После подстановки выражений (2) и (3) в формулу (1) получим |
|
||||||||||
M L J 2πn |
|
mR |
2 2πn |
|
mR 2 πn |
. |
(4) |
||||
|
t |
t |
2 |
t |
|
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
В результате вычислений по формуле (4) получим |
|
|
|||||||||
M |
mR πn |
|
50 4 10 |
3,14 8 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1,05 Н . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
||
Пример 7
Диск массой 5 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 2 м/с. Найти кинетическую энергию диска.
Дано:
m = 5 кг v = 2 м/с
Еk = ?
Решение. Кинетическая энергия диска складывается из кинетических энергий поступательного и вращательного движений, т.е.
mv2 |
|
J 2 |
, |
(1) |
|
|
|||||
Еk |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
где момент инерции диска
J mR2 2 ,
а угловая скорость = v/R. Подставляя значения J и в формулу (1), получим
mv2 |
J 2 |
mv2 |
mR 2 |
|
v2 |
3 2 . |
(2) |
|||
Еk |
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
2R2 |
4 mv |
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычисления дают |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
3 |
5 4 15 Дж . |
|
|||
|
Еk mv |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||
Молекулярная физика. Основы термодинамики
1.Уравнение состояния идеального газа (уравнение КлапейронаМенделеева)
pV mμ RT ,
где p - давление газа; V - его объем; T - абсолютная температура; m - масса m -
μ
|
N |
m |
N , |
|
|
||
|
|
μ |
A |
где NA =6,23·1023 моль-1 |
|
|
|
(постоянная Авогадро) - число молекул в одном |
|||
моле.
3.Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Клапейрона-Менделеева для различных изопроцессов:
а). Закон Бойля-Мариотта (описывает изотермический процесс)
pV const |
или |
p1 |
V 2 |
|
p2 |
||||
|
|
V1 |
при m = const, Т = const (m - масса газа; T - абсолютная температура).
б). Закон Гей-Люссака (описывает изобарический процесс при m = const; p = const) для двух состояний
V1 |
V 2 . |
T1 |
T 2 |
в). Закон Шарля (m = const; V = const - изохорический процесс) для двух
состояний |
|
|
|
|
p |
|
|
p |
|
1 |
|
|
2 . |
|
|
|
|||
T1 |
|
|
T 2 |
|
4. Основное уравнение кинетической теории газов
p 32 n ЕП ,
где n - число молекул в единице объема; <ЕП> - средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы.
5. Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы
ЕП 32 kT ,
где k = 1,38·10-23 Дж/К - постоянная Больцмана.
6. Средняя кинетическая энергия (поступательного и вращательного движения) одной молекулы
i kT ,
2
где i - число степеней свободы молекулы. Для одноатомного газа i =3; для двухатомного i = 5; для многоатомного i = 6.
7. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры
p= nkT.
8.Внутренняя энергия произвольной массы газа (суммарная кинетическая энергия теплового движения молекул газа)
Um i RT .
μ2
9. Связь между молярной (C ) и удельной (с) теплоемкостями
C μ μc.
10. Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме
CVμ |
i |
|
2 R ; |
||
при постоянном давлении |
|
|
i 2 R . |
||
C pμ |
2 |
|
|
||
11. Первое начало термодинамики (закон сохранения энергии для теп- |
||
ловых процессов) |
|
|
Q = U + A, |
||
где Q - количество теплоты, сообщенное системе; U - изменение внутренней энергии системы; А - работа, совершенная системой против дейст-
вия внешних сил. |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
R |
m |
|
|
T . |
|
U 2 |
|
μ |
|
|
|||
Работа расширения газа |
|
|
|
|
|
|
|
V 2 |
|
|
|||||
A pdV . |
|
|
|||||
V |
1 |
|
|
|
|
|
|
12. Работа, совершаемая газом: |
|
|
|
|
|
|
|
а) в изотермическом процессе |
|
V |
2 |
||||
m |
|
||||||
A μ RT ln |
|
|
; |
||||
|
|
||||||
|
|
|
V1 |
||||
б) в изобарическом процессе
A p V 2 V 2 ;
в) в адиабатическом процессе
|
m RT1 |
|
V1 |
|
1 |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
||
A |
U μ |
1 |
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
V1 |
|
|
||
где |
C p |
|
i 2 |
- показатель адиабаты. |
|
CV |
i |
||||
|
|
||||
|
|
|
13.Коэффициент полезного действия тепловой машины
ηQ1 Q2 A ,
Q1 Q1
где
Q1 - количество теплоты, переданное теплоотдатчиком рабочему телу;
Q2 - количество теплоты, отданное теплоприемнику; A Q1 Q2 - полезная работа за цикл.
14. Термический КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно:
η T1 T 2 ,
T1
где Т1 - температура теплоотдатчика; Т2 - температура теплоприемника.
15. Коэффициент полезного действия холодильной машины, работающей по обратному циклу:
η |
|
|
Q2 |
|
|
Q2 |
, |
||
х |
|
|
|
||||||
|
|
А |
|
|
Q1 |
|
Q2 |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
где Q2 - количество теплоты, отведенное от охлаждаемого тела; А - затраченная в цикле работа.
16. Связь КПД тепловой и холодильной машин, работающих по прямому и обратному циклам:
ηх |
1 η , |
где - КПД тепловой машины. |
η |
|
Примеры решения задач
Пример 1
В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением 1 МПа и температуре 300 К. После того как из баллона было выпущено 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до 290 К. Определить давление гелия, оставшегося в баллоне.
Дано:
V=10 л = 10-2 м3 p=1 МПа = 106 Па
m = 10 г = 10-2 кг
Т2 = 290 К; = 4·10-3 кг/моль
p2 = ?
Решение. Применим уравнение Клапейрона-Менделеева
p2V |
m2 |
R T , |
(1) |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
μ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где m2 - масса гелия в баллоне в конечном состоянии; |
|
||||||
- молярная масса гелия; |
|
|
|
|
|
|
|
R - универсальная газовая постоянная. |
|
||||||
Из этого уравнения выразим давление p2: |
|
||||||
p |
|
|
m2 R T 2 |
. |
(2) |
||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
μV |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Масса гелия m2 |
= m1 - m, |
|
|
|
где m1 - масса гелия в начальном состоянии; |
|
|||
m - масса гелия, взятого из баллона. |
|
|||
Масса гелия m1 |
находится из уравнения Клапейрона-Менделеева, за- |
|||
писанного для начального состояния: |
|
|
||
|
m1 |
μp1V |
. |
(3) |
|
RT1 |
|||
|
|
|
|
|
Окончательно искомое давление с учетом (2) и (3) выразится так:
|
|
m RT ( m - Δm )RT 2 |
|
μ p V |
|
|
RT 2 |
|
T 2 |
|
|
Δm |
RT |
2 |
|||||||||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μV |
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RT 1 |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
. (4) |
||||||||||||||
μV |
|
|
|
μV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Проведем вычисления по формуле (4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
290 |
|
|
|
|
|
|
|
8 31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
10 |
2 |
|
, |
|
|
290 |
|
|
Па |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,364 МПа . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 10 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
300 |
|
|
|
|
|
10 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 2
Определить среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы углекислого газа при температуре 400 К и полную кинетическую энергию теплового движения всех молекул, находящихся в 20 г углекислого газа. Молярная масса углекислого газа 44·10-3 кг/моль.
Дано:
m = 20 г = 2·10-2 кг T = 440 K
= 44·10-3 кг/моль
<Eвр> = ?; U = ?
Решение. Углекислый газ СО2 - трехатомный, для одной молекулы такого газа 3 степени свободы приходятся на поступательное движение и 3 степени свободы на вращательное движение, всего одна молекула трехатомного газа имеет 6 степеней свободы (i =6). На каждую степень свобо-
ды приходится одинаковая средняя энергия, равная 1 kT , где k - постоян-
2
ная Больцмана.
Поэтому средняя энергия вращательного движения одной молекулы
Eвр 3 |
1 |
kT |
3 |
kT . |
(1) |
|
|
||||
2 |
2 |
|
|
||
Полная кинетическая энергия теплового движения молекул СО2 - это внутренняя энергия газа. Число молекул, содержащихся в данной массе газа:
N |
m |
N A , |
(2) |
|
μ
где NA - постоянная Авогадро.
Поэтому полная кинетическая энергия теплового движения молекул
|
U N |
i |
kT |
m |
N A |
6 |
kT |
m |
N A 3kT . |
(3) |
||||||||
|
|
μ |
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
μ |
|
|
|
|||||||
Произведем вычисления по формулам (1) и (3) |
|
|
||||||||||||||||
|
Eвр |
3 |
kT 1,5 1,38 1023 4 102 |
8,28 1021 Дж ; |
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20 10 3 |
6,02 1023 3 1,38 1023 4 102 4531,4 Дж 4,53 кДж . |
|||||||||||||||||
U 44 103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Разность |
удельных теплоемкостей |
некоторого |
двухатомного |
газа |
||||||||||||||
c p cV 260 |
Дж |
. Найти |
молярную |
массу |
газа |
и его удельные |
||||||||||||
кг К |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
теплоемкости.
Дано:
c p cV 260 Дж кг К
i = 5
= ? cp уд.=? cV уд.=?
Решение. Известно, что формулы для молярных теплоемкостей газа при постоянном объеме и при постоянном давлении имеют вид
CV |
i |
R; |
|
|
|
|
|||
2 |
|
(1) |
||
C p i 2 R, |
||||
|
||||
|
|
i |
|
|
где i - число степеней свободы;
R - универсальная газовая постоянная.
С другой стороны, удельная теплоемкость связана с молярной соотношением