Графическое решение задачи

Рассмотрим задачу в стандартной форме: найти переменные x₁, x₂, которые обеспечивают максимальное значение функции Z

при ограничениях

На горизонтальной оси прямоугольной системы координат будем откладывать план выпуска первой продукции x₁, а на вертикальной – план выпуска второй продукции x₂.

Рассмотрим первое ограничение (4.1.5):

Множество точек, удовлетворяющих равенству (4.1.6)

образует прямую на плоскости. Построим эту прямую по ее точкам пересечения с осями координат. Для определения координат точки A пересечения с осью 0x₁ в уравнение (4.1.6) подставим x₂= 0. Из него следует x₂= 200 т.е. A(200,0). Для определения координат точки B пересечения с осью 0x₂ в уравнение (4.1.6) подставим x₁ = 0. Из него следует x₁=100 т.е. B(0,100).

Неравенству (4.1.5) удовлетворяют все точки одной из полуплоскостей, которые образовала построенная прямая. Для ее определения достаточно проверить справедливость неравенства для одной точки. Для начала координат O(0,0) неравенство (4.1.5) выполняется. Следовательно, все точки полу-плоскости, содержащей начало координат, будут графическим изображением этого неравенства. Аналогично построим прямую

по ее точкам пересечения с осями координат: C (250,0), D(0, 83 1/3). Все точки полуплоскости, содержащей начало координат O(0,0), будут графическим изображением неравенства .

Учитывая ограничения на знак , множество точек четырехугольника OAMD является множеством всех допустимых решений.

Все угловые точки (крайние точки) четырехугольника OAMD соответствуют допустимым базисным решениям:

угловая точка О(0,0) соответствует базисному решению x₁= 0, x₂ =0, s₁= 1 000, s₂= 25;

угловая точка A(200,0) соответствует базисному решению x₁= 200, x₂ =0, s₁= 0, s₂= 5;

угловая точка M(100,50) соответствует базисному решению x₁= 100, x₂ = 50, s₁= 0, s₂= 0;

угловая точка D(0, 83 1/3) соответствует базисному решению x₁= 0, x₂ = 83 1/3, s₁= 166 2/3, s₂= 0.

Теперь графически найдем точку четырехугольника OAMD, которая определит оптимальное решение.

Из теорем математического анализа следует, что оптимальное решение следует искать только среди точек границы четырехугольника OAMD. Для ее определения в начале координат построим вектор , координаты которого являются рыночными ценами. Прямаяпроходит через начало координат перпендикулярно вектору. Она определяет все планы, в которых выручка равна 0. Векторуказывает направление возрастания выручки. Если прямую нулевой выручки (пунктирная линия) перемещать параллельно в направлении вектора, то значение выручки будет увеличиваться. Так как среди внутренних точек четырехугольникаOAMD оптимального решения не может быть, то прямую нужно переместить до границы четырехугольника OAMD, т. е. до точки D.