Пример 3.1.1

Рассмотрим транспортную задачу, в которой в трех пунктах производства:

A₁,A₂,A₃ изготавливается однородная продукция в количествах:a₁=30,a₂=40,a₃=20 соответственно. Эту продукцию требуется доставить в четыре пункта потребления:B₁,B₂,B₃,В₄ в количествахb₁ = 20,b₂ = 30,b₃ = 30,b₄ = 10 соответственно. МатрицаCзадает стоимости перевозок единицы продукцииc_ij из пункта производстваA_iв пункт потребленияB_j:

.

Требуется определить план перевозок, который минимизирует транспортные расходы.

Запишем математическую модель данной транспортной задачи.

Обозначим x_ij– количество продукции, направляемое из пункта производ-стваA_iв пункт потребленияB_j(табл.3.1.1). Составим матрицу перевозок из величинx_ij

Таблица 3.1.1

		B1	B2	B3	B4
		20	30	30	10
A1	30	x11	x12	x13	x14
A2	40	x21	x22	x23	x24
A3	20	x31	x32	x33	x34

Сумма элементов первой строки: x₁₁ +x₁₂ +x₁₃ +x₁₄ определяет количество продукции, вывозимое из пункта производстваA₁. По условию задачи эта величина не может превосходить максимального количества продукцииa₁ = 30, производимого в этом пункте, т.е. должно выполняться неравенство

x₁₁ +x₁₂ +x₁₃ +x₁₄≤ 30.

Аналогично сумма элементов второй строки x₂₁ +x₂₂ +x₂₃ +x₂₄ определяет количество продукции, вывозимое из пункта производстваA₂. По условию задачи эта величина не может превосходить максимального количества продукцииa₂=40, производимого в этом пункте, т.е. должно выполняться неравенство:x₂₁ +x₂₂ +x₂₃ +x₂₄≤ 40.

Сумма элементов третьей строки x₃₁ +x₃₂ +x₃₃ +x₃₄ определяет количество продукции, вывозимое из пункта производстваA₃. По условию задачи эта величина не может превосходить максимального количества продукцииa₃=20, производимого в этом пункте, т.е. должно выполняться неравенство

x₃₁ +x₃₂ +x₃₃ +x₃₄≤ 20.

Сумма элементов первого столбца x₁₁ +x₂₁ +x₃₁определяет количество продукции, ввозимое в пунктB₁. По условию задачи эта величина не меньше минимального количества продукцииb₁=20, необходимого в этом пункте потребления, т.е. должно выполняться неравенство:x₁₁ +x₂₁ +x₃₁≥ 20.

Аналогично для всех остальных пунктов потребления должны выполняться неравенства:

x₁₂ +x₂₂ +x₃₂≥ 30,

x₁₃ +x₂₃ +x₃₃≥ 30,

x₁₄ +x₂₄ +x₃₄≥ 10.

Математически транспортную задачу можно сформулировать следующим образом:

• найти переменные x_ij, которые минимизируют транспортные расходы

T = 2x₁₁+3x₁₂+3x₁₃+4x₁₄+3x₂₁+2x₂₂+5x₂₃+x₂₄+4x₃₁+3x₃₂+2x₃₃+6x₃₄ (3.1.6)

• при ограничениях

x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄≤ 30,

x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄≤ 40, (3.1.7)

x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄≤ 20,

x₁₁+x₂₁+x₃₁≥ 20,

x₁₂+x₂₂+x₃₂≥ 30,

x₁₃+x₂₃+x₃₃≥ 30, (3.1.8)

x₁₄+x₂₄+x₃₄≥ 10,

x_ij≥ 0.

Решение этой задача в Excel составляет содержание лабораторной работы 2.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулировать условие совместимости ограничений транспортной задачи?

2. В чем состоит экономический смысл ограничений 3.1.2?

3. В чем состоит экономический смысл ограничений 3.1.3