2. Неоклассическая мультипликативная функция

(6.1.4)

Величина a_i определяет минимальное количество приобретаемого товара. Набор (a₁, a₂) можно рассматривать как минимальную корзину потребления.

3. Логарифмическая функция

Пример 6.1.1

Пусть потребитель определил отношение предпочтения для наборов из двух товаров X = (x₁, x₂), состоящего из x₁ кг. яблок и x₂ кг. конфет. Допустим, что для него строго предпочтительнее набор, в котором одновременно больше и яблок и конфет.

Допустим, что потребителю безразличны наборы

X = (1,1) (из 1 кг яблок и 1 кг конфет),

Y=(2, 2/3) (из 2 кг яблок и 2/3 кг конфет)

т.е. .

Набор Y=(2, 2/3) строго предпочтительнее набора Z = (1, 1/2) т.е. для потребителя приобрести 2 кг яблок и 2/3 кг конфет строго предпочтительнее, чем приобрести 1 кг яблок и 1/2 кг конфет. Тогда аксиома транзитивности означает, что для потребителя набор товаров X строго предпочтительнее набора товаров Z:

т.е. приобрести 1 кг яблок и 1 кг конфет, строго предпочтительнее, чем приобрести 1 кг яблок и 1/2 кг конфет.

Функцию полезности для данного примера можно построить, например, следующим образом. Обозначим b₁ = 50 ден. ед. стоимость 1 кг. яблок, а – b₂ = 150 ден. ед. стоимость 1 кг. конфет. Допустим, что полезность набора товаров целиком определяется его стоимостью. В этом случае в качестве функции полезности набора X = (x₁, x₂) можно принять стоимость товаров, входящих в этот набор:

_{u(x1, x2) =50 x1 + 150 x2.}

_{Вычислим полезность всех рассмотренных выше наборов:}

ден.ед.

ден.ед.

ден.ед.

_{Следует заметить, что полезность набора товаров не всегда совпадает с его стоимостью. Например, для потребителя с повышенным сахаром полезность яблок несомненно выше полезности конфет.}

Свойства функции полезности

1. Свойство монотонности. Предельная полезность товара

Функция полезности удовлетворяет свойству монотонности, если из неравенств

следует

(6.1.5)

Пусть функция полезности u(x₁, x₂) дифференцируема. В этом случае свойс-тво монотонности означает, что частные производные функции полезности положительны:

. (6.1.6)

Свойство монотонности означает, что рост потребления хотя бы одного товара приводит к увеличению полезности u(x₁, x₂) всего набора товаров. Частная производная называетсяпредельной полезностью товара j. Предельная полезность товара измеряется в ед. полезности за ед. товара (в ед. полезн./ед. товара).

Пусть потребления товара 1 изменяется на величину , а потреблении товара 2– на величину . Тогда величина

определяет приращение полезности при замене набора (x₁, x₂) на набор Приращение полезности можно приблизительно вычислить по формуле

(6.1.7)

В частности, если потребления товара 1 изменяется на величину , а потреблении товара 2 не изменяется, то

, (6.1.8)

если потребления товара 1 не изменяется = 0, а потребление товара 2 изменяется на величину, то

(6.1.9)

2. Свойство строгой вогнутости

Функция полезности удовлетворяет свойству строгой вогнутости, если справедливо

(6.1.10)

для любых

Если функция полезности дважды дифференцируема по всем аргументам, то свойство строгой вогнутости означает, что ее частные производные второго порядка являются отрицательными

, (6.1.11)

т.е. ростом потребления товара j скорость роста полезности замедляется.