Геометрическая иллюстрация оптимального решения

Для геометрической иллюстрации оптимального решения используются геометрические понятия изокванты и изокостn.

Изокостой называется совокупность всех векторов затрат ресурсов , использование которых в производстве приводит к одинаковым издержкамC т.е.

При различных значенияхC изокосты образуют параллельные прямые на плоскости. Можно доказать, что в точке оптимальных затрат ресурсов угол наклона изокванты равен углу наклона изокосты (рис. 5.3.1)

Рис. 5.3.1

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Сформулируйте задачу о максимуме выпуска продукции.

2. Запишите необходимые и достаточные условия решения задачи о максимуме выпуска продукции.

3. Как связаны норма замены в оптимальной точке с ценами на ресурсы.

1. Дайте определения изокосты.

2. Приведите геометрическую иллюстрацию задачи о максимуме выпуска продукции.

5.4. Функции спроса на ресурсы и функция предложения продукции

Изучаемые вопросы:

• Задача на максимум прибыли.

• Функции спроса на ресурсы и функция предложения продукции. Классификация типов ресурсов.

Задача на максимум прибыли

Пусть эффект производства определяется разностью между стоимостью выпуска продукции и стоимостью ресурсов (издержек производства)

.

Если величина Z положительна, то производство приносит прибыль, в противном случае – убыток. Будем предполагать, что фирма работает в стабильных условиях и ее поведение определяется стремлением к максимальной прибыли.

В задаче максимальной прибыли требуется найти объемы ресурсов , которые обеспечивают максимальную прибыль

(5.4.1)

при ограничениях

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0.

Это задача нелинейного программирования, для которой функция Лагранжа имеет вид

,

где λ_k ≥ 0 – множители Лагранжа.

Если в оптимальном решении должны использоваться все ресурсы, т.е.x₁ > 0, x₂ > 0, то необходимые и достаточные условия оптимальности имеют вид

Отсюда следует, что оптимальное распределение ресурсов

является решением системы уравнений

(5.4.2)

Из этой системы уравнений следует

(5.4.3)

т.е. в точке оптимального распределения ресурсов предельная норма замены первого ресурса вторым равна отношению их рыночных цен.

Функции спроса на ресурсы и функция предложения продукции.

Из системы уравнений (5.4.1) можно найти оптимальное распределение ресурсов как функции от цены выпускаемой продукции p и цен на ресурсы w₁, w₂

Они называются функциями спроса на ресурсы. Если функции спроса подставить в производственную функцию, то выпуск продукции будет функцией цены выпускаемой продукцииpи цен на ресурсы w₁,w₂

Эта функция называется функцией предложения

Классификация типов ресурсов

С помощью производных от функций спроса и предложения можно исследовать их чувствительность к изменениям цен. Предположим, что функции спроса и предложения дифференцируемы по ценам на ресурсы на продукцию.

Чувствительность функций спроса и предложения на изменение цены на готовую продукцию p определяют их частные производные по p.

Частная производная предложения показывает, на сколько изменяется выпуск продукции (предложение) при изменении цены на готовую продукцию на 1 руб.

Из теории производства следует, что повышение цены p на выпускаемую продукцию всегда приводит к увеличению объема выпуска , т.е. кривая предложения продукции возрастает с ростом цены на эту продукцию.

Частная производная показывает, на сколько изменяется спрос на первый ресурс при изменении цены на готовую продукцию на 1 руб.

Частная производная показывает, на сколько изменяется спрос на второй ресурс при изменении цены на готовую продукцию на 1 руб.

Ресурс k называется ценным, если выполняется условие

.

Ресурс k называется малоценным, если выполняется условие

Это означает, что повышение цены p на выпускаемую продукцию приводит к увеличению ценного ресурса и к уменьшению малоценного ресурса. Кривые спроса на ценные ресурсы возрастают с ростом цены на продукцию, а на малоценные ресурсы падают.

Чувствительность функций спроса и предложения на изменение цен на ресурсы определяют их частные производные:

показывают, на сколько единиц изменяется спрос на первый ресурс при изменении цены этого ресурса на 1 руб.,

показывают, на сколько единиц изменяется спрос на второй ресурс при изменении цены этого ресурса на 1 руб.

Ресурса k называется нормальным, если производная , т.е. при возрастании цены на ресурс спрос на него падает.

Из теории производства следует, что все ресурсы являются нормальными т.е. кривые спроса на ресурс падают с ростом их цен.

Каждый ресурс попадает в одну из следующих категорий.

• Нормальный и ценный: ,.

• Нормальный и малоценный : ,.

Два ресурса называются взаимнозаменяемыми, если выполняются условия

т.е. увеличение цены одного ресурса приводит к возрастанию спроса другого ресурса.

Два ресурса называются взаимнодополняемыми, если выполняются условия

,

т.е. увеличение цены одного ресурса приводит к одновременному падению спроса на оба ресурса.