Пример 5.2.3

Допустим, что стоимость выпуска продукции Yзависит от стоимости затрат трудаKи основных фондовL

Пусть стоимость основных фондов равна K = 640 000 = 8² 100² руб., а стоимость фонда заработной платы – L = 810 000 = 3⁴ 10⁴ руб. По формуле (5.2.6) при ₁ = 1/2, ₂ = 1/4 предельная норма замены труда основными фондами равна

Это означает, что уменьшение фонда заработной платы на 1 руб. приводит к увеличению стоимости основных фондов приблизительно на 0,3951 руб. Уменьшение фонда заработной платы на 10 000 руб. (ΔL = -10 000) по формуле (5.2.8) приводит к увеличению стоимости основных фондов приблизительно

Δ K - R_LK ∙Δ L=-0.3951*10 000=3 951 руб.

Сравните с точным значением ΔK = 643 857 – 640 000 = 3 857 руб., вычис-ленным в примере 5.2.2.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение коэффициента эластичности выпуска по первому ресурсу.

2. Запишите уравнение изокванты производственной функцией.

3. Дайте определение предельной нормы замены первого ресурса вторым.

4. Запишите формулу для предельной нормы замены труда основными фондами.

5. Запишите формулу для предельной нормы замены основных фондов трудом.

3. Модель фирмы

Изучаемые вопросы:

• Задача на максимум выпуска продукции.

• Геометрическая иллюстрация оптимального решения.

Задача на максимум выпуска продукции

Предположим, что фирма производит один вид продукции и технология его производства требует использования двух видов ресурсов. Технологическая связь между затратами ресурсов и выпуском продукции описывается производственной функцией

Обозначим через

p – цену единицы выпускаемой продукции;

w₁ – цену единицы первого ресурса;

w₂ – цену единицы второго ресурса.

Например, если x_k – число занятых в производстве работников, то w_k – сред-няя заработная плата одного работника. Если x_k – сырье, то w_k – цена единицы сырья. Если x_k – производственные фонды, то w_k – арендная плата за единицу фондов.

Выражение определяет стоимость выпуска продукции, а выражение –– стоимость ресурсов (издержек производства).

Задача максимального выпуска продукции при заданном объеме издержек имеет вид:

• найти объемы ресурсов , которые обеспечивают максимум выпуска продукции

(5.3.1)

• при ограничениях

(5.3.2)

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 (5.3.3)

Величина C определяет верхнее значение стоимости издержек.

Эта задача является задачей нелинейного программирования. Для ее решения построим функцию Лагранжа

(5.3.4)

Если в оптимальном решении должны использоваться все ресурсыx₁ > 0, x₂ > 0, то необходимые и достаточные условия оптимальности имеют вид

(5.3.5)

Отсюда следует, что оптимальное распределение ресурсов и множи-тель Лагранжа λ^* являются решением системы уравнений

(5.3.6)

Заметим, что предельная норма замены первого ресурса вторым равна

Поделив первое уравнение системы уравнений (7.3.6) на второе, получим

(5.3.7)

т.е. в точке оптимального распределения ресурсов предельная норма замены первого ресурса вторым равна отношению их рыночных цен.

Пример 5.3.1

Выпуск продукции задается производственной функцией Кобба-Дугласа

_,

где Y выпуск продукции, K производственные фонды, L – затраты труда.

Пусть на аренду фондов и оплату труда выделена денежная сумма C = 300 000 рублей, стоимость аренды единицы фондов составляет w_K =1 000 рублей, средняя ставка заработной платы равна w_L = 15 000 рублей. Требуется определить максимальный выпуск.

Решение. Найдем частные производные

Система уравнений (7.3.6) для оптимальных затрат ресурсов имеет вид

Поделив второе уравнение на первое, получаем, что норма замена основных фондов трудом равна

,

т.е. 15 единиц основных фондов заменяет одного работника

K = 15 L

Из равенства 1 000 K + 15 000 L = 300 000.

Находим

30 000 L = 300 000,

L^* = 10, K^* = 150.

Максимальный выпуск продукции равен

при численности работников 10 человек и основных фондах 150 единиц.