Пример 5.1.1

Обозначим через Y количество единиц продукции, выпускаемое фирмой за день, – x₁ количество кг затраченного сырья и x₁ – продолжительность изготовления продукции на оборудовании в минутах. Производственная функция затраты-выпуск

определяет выпуск продукции при затратах x₁ кг сырья и x₁ минут работы оборудования. Коэффициенты 2 и 50 означают, что для производства единицы продукции необходимо 2 кг сырья и 50 минут работы оборудования. Эти величины называют нормами затрат ресурсов.

Например, выпуск продукции при затратах 100 кг сырья и 10 часах работы оборудования составит

единиц продукции.

Из неравенств (5.1.2) определим минимальное количество ресурсов, необходимое для производства Y=12 единиц продукции

_,

т.е. требуется не меньше 24 кг сырья и 600 минут работы оборудования.

Мультипликативная производственная функция определяется равенством

, (5.1.3)

где число A определяет шкалу измерения выпуска продукции, параметры

x₁>0, x₂ >0.

В качестве аргументов x₁ и x₂ мультипликативной функции часто рассматривают L среднее число работников, занятых в производстве (труд), и K основные производственные фонды (капитал). В этом случае мультипликативная функция определяет зависимость выпуска продукции Y от затрат труда L и капитала K по формуле

В частности, при x₁ =1- x₂ >0 мультипликативная функция

(5.1.4)

называется функцией Кобба-Дугласа.

Пример 5.1.2

Допустим, что стоимость выпуска продукции Yсвязана со стоимостью затрат трудаLи основных фондовKпо формуле

Пусть стоимость основных фондов равна K = 640 000 = 8² 100² руб., а стоимость фонда заработной платы – L = 810 000= 3⁴ 10⁴ руб. Тогда стоимость выпуска продукции Y составит

Предельные производительности ресурсов

Производственная функция удовлетворяет свойству монотонности, если из неравенств

следует неравенство

(5.1.5)

Свойство монотонности означает, что увеличение затрат любого ресурса не приводит к уменьшению выпуска продукции.

Если производственная функция дифференцируема по всем аргументам, то свойство монотонности означает, что частные производные являются неотрицательными

(5.1.6)

Частная производная называется предельной производительностью 1-го ресурса. Аналогично, частная производная называется предельной производительностью 2-го ресурса. Предельная производительность ресурса показывает, на сколько единиц изменяется выпуск продукции при возрастании ресурса на единицу. Пусть затраты ресурса 1 изменяются на величину , а затраты ресурса 2– на величину . Тогда формула

определяет приращение выпуска, вызванное приращением ресурсов.

Из дифференциального исчисления следует, что приращение выпуска можно приблизительно равно полному дифференциалу

(5.1.7)

В частности, если затраты ресурса 1 изменяются на величину , а затраты ресурса 2 не изменяются т.е., то приращение выпуска приблизительно равно

(5.1.8)

Аналогично, если затраты ресурса 1 не изменяется = 0, а затраты ресурса 2 изменяется на величину, то приращение выпуска приблизительно равно

(5.1.9)