20. Испытания и события. Виды случайных событий.

Испытания и события.

Выше событие названо случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может либо произойти, либо не произойти. В дальнейшем, вместо того чтобы говорить «совокупность условий S осуществлена», будем говорить кратко: «произведено испытание». Таким образом, событие будет рассматриваться как результат испытания.

Виды случайных событий.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

21. Вероятность события.

Вероя́тность (вероятностная мера) — численная мера возможности наступления некоторого события.

С практической точки зрения, вероятность события— это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений или опытов. Например, если среди встреченных на улице людей примерно половина — женщины, то можно говорить, что вероятность того, что встреченный на улице человек окажется женщиной, равна 1/2. Другими словами, оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента.

Согласно определению П. Лапласа, мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель — число всех равновозможных случаев.

22. Элементы комбинаторики.

Комбинаторика – это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения.

Комбинаторный принцип умножения если одну часть действия можно выполнить способами, а другую - способами, то все действие можно выполнить числом способов.

23. Формула полной вероятности и Байеса.

Если событие может наступить только при появлении одного из несовместных событий (гипотез) , то вероятность события вычисляется по формуле полной вероятности: , где - вероятность гипотезы , - условная вероятность события при выполнении гипотезы ( .

Проиллюстрируем формулу полной вероятности на графе с выделенной вершиной:

Рис. 17

Полная вероятность события равна весу всего вероятностного графа с гипотезами.

С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса. Если до опыта вероятности гипотез были , , ..., , а в результате опыта появилось событие , то с учетом этого события "новые", т.е. условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса

Формула Байеса дает возможность "пересмотреть" вероятность гипотез с учетом наблюдавшегося результата опыта. Условная вероятность может находиться как отношение веса ветви, проходящей через вершину, соответствующую гипотезе , к весу всего вероятностного графа.