17. Определение определенного интеграла как предел интегральной
суммы, теорема Коши. Геометрический и физический смысл определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции, работа переменной силы.
18. Формула Ньютона-Лейбница, свойства определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то
Площадь криволинейной трапеции
Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле
Рис.1 Рис.2
Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой.
19. Дифференциальные уравнения, основные понятия.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, которое содержит производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут содержаться дифференциалы.
В тех случаях, когда неизвестные функции зависят только от одного аргумента, то оно называется обыкновенным, ну а если от нескольких, то уравнение будет называться дифференциальным уравнением с частными производными (ДУЧП). Здесь пока что рассматриваются только обыкновенные.
Общий вид дифура с одной неизвестной функцией таков:
Φ(х,у,у',у",...,у(n)) = 0.
А его порядком называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение. То есть в выше указанно виде мы имеем ДУ n-го порядка.
Примеры. Уравнение у' = y2/x есть ДУ первого порядка; а уже у" + у = 0 — второго порядка, ну а y'2 = х3 — так же первого.
Функция у = φ(х) называется решением ДУ, если последнее обращается в тождество после подстановки у = φ(х).
Основной задачей теории дифуров является нахождение всех решений данного ДУ, а их всегда много, так как они могут отличаться минимум на какую-то константу. В простых случаях эта задача сводится к нахождению интеграла. Поэтому его решение еще могут называть его интегралом, а процесс нахождения всех этих решений — интегрированием дифференциального уравнения.
Вообще интегралом данного ДУ называют всякое уравнение, не содержащее производных, из которого данное диф. ур. вытекает как следствие.
Как видим математика – это не школа английского языка, здесь нужно понимание материала. Именно этим и владели великие математики Ньютон и Лейбниц, которые еще в XVII веке поставили задачу для нахождения скорости изменения функции относительно изменения аргумента.
Они и ввели основные понятия, обозначения и показали, как применять это для решения многих задач механики и геометрии. Так как задачи о нахождении касательной к произвольной линии и вычислении скорости при произвольном законе движения и были первоисточником данного исчисления.