4. Определители второго, третьего порядков.

Определитель первого порядка равен тому единственному элементу, из которого состоит соответствующая матрица.

Определитель второго порядка вычислим, например, по элементам первой строки

Запишем разложение данного определителя по элементам второй строки

Полученный результат совпадает с результатом вычисления определителя по первой строке. Этот же результат получится и при разложении по любому из столбцов. Рекомендуем это проверить самостоятельно.

Из сказанного можно заключить, что определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Пример. . 

5. Система n линейных уравнений с n переменными (общий вид).

Матрица системы. Матричная форма записи системы. Совместные и

несовместные, определенные и неопределенные системы.

 Общий вид системы 

, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - коэффициенты системы; - свободные члены;- переменные;Если все= 0, система называется однородной.

Система m линейных алгебраических уравненийс n неизвестными (или, линейная система, также употребляетсяаббревиатураСЛА́У) влинейной алгебре— это система уравнений вида

6. Решение системы по формулам Крамера, с помощью обратной

матрицы, методом Гаусса.

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Итак, если система линейных уравнений по теореме Кронекера-Капелли имеет решение, а это условие наш онлайн калькулятор проверяетвсегда, прежде чем браться за решение, то его можно найти методом Крамера, используя следующие формулы: для вычисления корней уравнений xi (i=1,n)

xi=Δin/Δn (i=1,n),

где Δn=det A, а Δin являются определителями n-го порядка, которые получаются из Δn путем замены в нем i-го столбца столбцом свободных членов исходной системы.

Что бы закрепить теоретический материал, обратимся к практике, решим систему из трех уравненийметодом Крамера.

76x1-7x2-6x3=-5

10x1+12x2-7x3=11

-16x1+10.5x2-13x3=-10

Обра́тная ма́трица — такая матрицаA−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результатеединичную матрицуE:

Квадратная матрицаобратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть еёопределительне равен нулю.

7. Определение системы координат на плоскости: декартова и

полярная системы координат. Преобразование системы координат.

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовойили прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применениятригонометрическихуравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом илиазимутоми обозначается, равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нулядобесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

Параллельный перенос. Передвинем систему координат XОY в плоскости так, чтобы оси OX и OY оставались параллельны самим себе, а начало координат О сместилось в точку О' ( a, b ). Получим новую систему координат X'O'Y' ( рис.1 ):

Поворот вокруг начала координат. Повернём систему координат XОY в плоскости на угол ( рис.2 ).