Решение

Определим направление углового ускорения и момента силы , применяя правило правого винта. Если смотреть с конца вектора, вращение будет происходить против часовой стрелки. Момент сил трения будет тормозить вращение, значит, будет направлен против вращающего моментавдоль оси вращения. Угловое ускорение будет направлено в сторону главного момента всех сил, т.е. в сторону алгебраической суммы моментови. Тогда можно записать основной закон динамики вращательного движения так:

М  М_тр = J,

где М = FR.

Момент инерции диска (сплошной цилиндр) J равен Получаем = F R – M_тр, откуда .

Подставляя численные значения, получаем

= 7,5 кг.

Ответ: масса диска m = 7,5 кг.

Задача 3. Две гири массой = 2 кг и= 1 кг связаны нитью, перекинутой через блок. Радиус блокаR = 0,1 м, масса m = 1 кг. Найти ускорение, с которым движутся грузы и силы натяжения нитей Т₁ и Т₂. Нить нерастяжима и невесома. Блок – однородный цилиндр (рис. 3.7).

Дано:

= 2 кг

= 1кг

m =1 кг

R = 0,1 м

а - ?, Т₁ -?, Т₂ - ?

Рис.3.7

Решение

1. На грузы действуют силы ии

На блок действуют силы натяжения нити икоторые равны соответственно

и по третьему закону Ньютона. Ускорения грузов одинаковы, т.к. нить невесома и нерастяжима.

Силы исоздают момент силыи, направленные вдоль оси блока в противоположные стороны:.

2) Составим систему уравнений для грузов и блоков:

3) Силы и моменты сил для каждого тела коллинеарные, следовательно, можно переписать уравнение в скалярной форме:

Решим полученную систему уравнений, учитывая, что

Подставим эти выражения в уравнение (3):

т.е.

Просуммируем первые два уравнения системы:

Тогда

или

откуда

= 2,8 .

Из уравнения (1)

Н.

Из уравнения (2)

Ответ: а = 2,8 ;Т₁ = 14 Н; Т₂ = 12,6 Н.

Задача 4. С наклонной плоскости без скольжения скатывается однородное тело. Найти ускорение тела и силу трения, если угол наклона плоскости к горизонту 30⁰. Масса тела 0,8 кг, тело – обруч (рис.3.8).

Дано:

m = 0,8 кг

 = 30⁰

J = m

а - ? F_тр - ?

Рис.3.8

Решение

1)

Ускорение точки обода равно ускорению центра масс, т.к. движение происходит без скольжения.

2) В проекциях на оси координат:

Решаем систему уравнений. Из уравнения (2)

F_тр = m a.

Тогда

mg sin   m a = m a; mg sin  = 2 m a.

a = .

F_тр = m a; F_тр = 0,8 ^. 2,5 = 2 H.

Ответ: а = 2,5 ; F_тр = 2 H.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Маховик радиусом R = 0,2 м и массой 10 кг соединён с мотором с помощью приводного ремня. Натяжение ремня, идущего без скольжения, постоянно и равно Т = 14,7 Н. Какое число оборотов в секунду будет делать маховик через 10 с после начала движения? Маховик – однородный диск. Трением пренебречь.

Ответ:  = 23,5 .

Задача 2. Однородный стержень длиной = 1 м и массойm = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением вращается стержень, если вращающий момент равен 0,1 Н^.м?

Ответ:  = 2,4 .

Задача 3. Диск радиусом R = 0,2 м и массой 5 кг вращается с угловой скоростью, заданной уравнением  = c + 4 t. Найти величину момента силы, если сила приложена к ободу диска.

Ответ: М = 0,4 Н^.м.

Задача 4. На сплошной однородный цилиндр намотан трос. К свободному концу троса привязан груз массой = 10 кг. С каким ускорением будет опускаться груз, если его предоставить самому себе? Масса цилиндра= 20 кг.

Ответ: а = 4,95 .

Задача 5. Какую постоянную силу нужно приложить по касательной к сечению вала радиусом R₁ = 6 см, на котором укреплён маховик в форме диска радиусом R₂ = 60 см, чтобы увеличить частоту вращения системы за 1 мин от 2 до 4 с^-1? Масса маховика = 150 кг, масса вала= 5 кг.

Ответ: F = 94,3 Н.

Задача 6. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения М_тр = 4,9 . Найти массу диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением = 100 ?

Ответ: m = 7,36 кг.

Задача 7. Вал радиусом R = 5 см и массой m = 100 кг вращается с частотой  = 8 с^-1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F = 40 Н, под действием которой вал остановился через 10 с. Определить коэффициент трения .

Ответ:  = 0,31.

Задача 8. Масса диска m = 0,5 кг, его диаметр d = 40 см. Диск вращается с частотой  = 25 с^-1. При торможении он останавливается через t = 20 с. Определить тормозящий момент, считая его постоянным.

Ответ: М = 0,0785 Н^.м.

Задача 9. Гребной вал диаметром d = 0,2 м и массой m = 400 кг вращается в подшипниках, делая 4 . Будучи предоставленным самому себе, он остановился черезt = 4 с. Определить силу трения в подшипниках.

Ответ: F_тр = 125,6 Н.

Задача 10. Маховик в виде диска массой m = 50 кг и радиусом R = 20 см был раскручен до частоты = 480 и затем предоставлен самому себе. Под влиянием трения, маховик остановился. Найти момент сил трения, считая его постоянным и принимая, что: а) маховик остановился черезt = 50 с, б) маховик до полной остановки сделал N = 200 об.

Ответ: а) М_тр = 1 Н^.м; б) М_тр = 1 Н^.м.

Задача 11. На горизонтальную ось насажены маховик и лёгкий шкив радиусом R = 5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой m = 0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошёл путь s = 1,8 м за время t = 3 с. Определить момент инерции маховика, считая массу шкива пренебрежимо малой.

Ответ: кг^.м².

Задача 12. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузы массой = 100 кг и= 110 кг. С каким ускорением будут двигаться грузы, если масса блокаm = 400 г? Трение при вращении блока ничтожно мало.

Ответ: а = 0,467 .

Задача 13. Через неподвижный блок массой m = 0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы = 0,3 кг и= 0,5 кг. Определить силыТ₁ и Т₂ натяжения шнура по обе стороны блока во время движения грузов, если массу блока можно считать равномерно распределённой по ободу.

Ответ: Т₁ = 3,53 Н; Т₂ = 3,92 Н.

Задача 14. Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид  = 5 + 4 t² – t³. По какому закону меняется момент сил, действующих на шар? Какова величина момента сил М в момент времени t = 2 с?

Ответ: М = 1,28 – 0,96 t; М = 100 Н^.м.

Задача 15. Маховик, момент инерции которого равен J = 63,6 кг^.м², вращается с постоянной угловой скоростью  = 31,4 . Найти тормозящий моментМ, под действием которого маховик останавливается через t = 20 с.

Ответ: М = 100 Н^.м.

Задача 16. Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кг^.м², вращается, делая 20 . Через минуту после того, как на него перестал действовать вращающий момент, колесо остановилось. Найти: 1) момент сил трения; 2) число оборотов, которое сделал маховик до полной остановки после прекращения действия сил.

Ответ: 1) М = 513 Н^.м; 2) N = 600 об.

Задача 17. На барабан массой 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 2 кг. Найти ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.

Ответ: а = 3 .

Задача 18. Две гири разного веса соединены нитью, перекинутой через блок. Момент инерции блока J = 50 кг^.м², радиус R = 20 см. Блок вращается с трением, момент силы трения М_тр = 98,1 Н^.м. Найти разность натяжения нити Т₁ и Т₂ по обе стороны блока, если блок вращается с постоянным угловым ускорением  = 2,36 .

Ответ: Т₁ – Т₂ = 1080 Н.

Задача 19. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0,1 кг^.м², намотан шнур с привязанным к его концу грузом = 0,5 кг. До начала вращения высота груза над поломh = 1 м. Найти: 1) через сколько времени груз опустится до пола; 2) скорость груза в момент удара о пол; 3) натяжение нити.

Ответ: 1) t = 1,1 с; 2) ; 3)Т = 4,1 Н.

Задача 20. Блок массой m = 1 кг укреплён на конце стола. Гири А и Б равной массы = = 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения гири Б о стол  = 0,1. Блок считать однородным диском. Трением в блоке пренебречь (рис.3.9). Найти: 1) ускорение, с которым движутся гири; 2) натяжение нитей Т₁ и Т₂.

Ответ: 1) а = 3,53; 2)Т₁ = 6,3 Н; Т₂ = 4,5 Н.

Задача 21. С наклонной плоскости скатывается без скольжения однородный диск. Найти ускорение диска и силу трения, если угол наклона плоскости к горизонту  = 36⁰, масса диска 500 г.

Ответ: а = 3,9 ;F_тр = 0,98 Н.

Задача 22*. С наклонной плоскости скатывается без скольжения сплошной цилиндр и тележка, поставленная на лёгкие колёса. Масса цилиндра и тележки одинаковы. Какое из тел скатится быстрее и во сколько раз?

Ответ:

Задача 23*. На полый тонкостенный цилиндр намотана нить, свободный конец которой прикреплён к потолку. Цилиндр сматывается с нити под действием собственного веса. Найти ускорение цилиндра и силу натяжения нити, если массой и толщиной нити можно пренебречь. Начальная длина нити много больше радиуса цилиндра.

Ответ:;

Задача 24*.. На полый тонкостенный цилиндр массой m намотана нить (тонкая и невесомая). Свободный конец её прикреплён к потолку лифта, движущегося с ускорением вниз. Цилиндр предоставлен сам себе. Найти ускорение цилиндра относительно лифта и силу натяжения нити. Нить считать вертикальной.

Ответ:

Указание: ускорение цилиндра относительно Земли Угловое ускорение вращательного движения цилиндрагде- ускорение центра масс цилиндра относительно лифта.

Задача 25*. Найти линейное ускорение центра масс шара, скатывающегося без скольжения с наклонной плоскости, если угол наклона плоскости к горизонту равен 30⁰, начальная скорость шара равна нулю.

Ответ: .

Задача 26*. По горизонтальному столу может катиться без скольжения цилиндр массой m, на который намотана нить. Ко второму концу нити привязан груз той же массой m. Нить перекинута через блок, укреплённый на краю стола. Блок невесом. Найти ускорение груза и силу трения между цилиндром и столом (рис.3.10). Решить задачу:

1) для полого цилиндра; 2) для сплошного цилиндра.

Ответ: 1)F_тр = 0;

2. 

Рис.3.10

Задача 27. Определить линейное ускорение центра масс обруча, скатывающегося без скольжения с наклонной плоскости с углом наклона к горизонту 30⁰. Сравнить найденное ускорение с ускорением тела, соскальзывающего с этой наклонной плоскости при отсутствии трения.

Ответ: ;а = 4,9 .

Задача 28. Определить линейное ускорение центра масс сплошного цилиндра, скатывающегося без скольжения с наклонной плоскости, составляющей угол 30⁰ с горизонтом. Сравнить найденное ускорение с ускорением тела, соскальзывающего с этой плоскости при отсутствии трения.

Ответ: ;

Задача 29. Маховое колесо, имеющее момент инерции 24,5 кг^.м² вращается с угловой скоростью 62,8 . После того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось, сделав 100 оборотов. Найти: 1) момент сил трения; 2) за какое времяt после прекращения действия вращающего момента колесо остановилось?

Ответ: М = 77 Н^.м; t = 20 с.

Задача 30. По ободу шкива, насаженного на общую ось с маховым колесом, намотана нить, к концу которой подвешен груз массой 1 кг. На какое расстояние должен опуститься груз, чтобы колесо со шкивом получило скорость, соответствующую 60 ? Момент инерции колеса со шкивом равен 0,42 кг^.м², радиус шкива R = 10 см.

Ответ: h = 0,865 м.

Задача 31. Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило за одну минуту скорость вращения от 300 до 180 . Момент инерции колеса равен 2 кг^.м². Найти: 1) угловое ускорение колеса; 2) тормозящий момент; 3) число оборотов, сделанных колесом за 1 мин.

Ответ:  =  0,21 ;М_тр = 0,42 Н^.м; N = 240.

Задача 32. Тонкостенный цилиндр вращается вокруг оси, проходящей через его ось симметрии. Уравнение вращения цилиндра имеет вид  = 2 + –4. По какому закону меняется момент сил, действующий на цилиндр? Чему равен момент сил в момент времени t = 2 с? асса цилиндра m = 5 кг, радиус R = 0,2 м.

Ответ: М =  9,2 Н^.м; М = m (2 – 24 t).

Задача 33. Маховик, момент инерции которого 2 кг^.м², через t = 5 с после начала движения имел скорость  = 31,4 . Найти вращающий момент сил, действующий на маховик. Какое число оборотов маховик сделал заt = 5 с от начала действия момента сил?

Ответ: М = 12,6 Н^.м.

Задача 34. Вал вращается с постоянной угловой скоростью, соответствующей 180 . При торможении вал начинает вращаться равнозамедленно с угловым ускорением = 3 . 1) Через сколько времени вал остановиться? 2) Сколько оборотов он сделает до остановки?

Ответ: t = 6,28 с; N = 3 (оборотов).

Задача 35. Шар радиусом R = 0,1 м и массой 0,5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр по закону  = t + 2 . Определить величину момента силы, если сила приложена к поверхности шара.

Ответ: М = 8Н^.м.

Задача 36. Однородный стержень вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через его конец, с ускорением  = 2,4 . Масса стержняm = 0,5 кг, длина = 1 м. Определить величину момента силы, действующей на стержень.

Ответ: М = 0,4 Н^.м.

15