Решение

а) На оси кольца.

1. Найдем направление индукции , созданной элементами тока, лежащими на одном диаметре кольца. Они направлены под углом к оси х (рис. 13.9).

   1. (для двух диаметрально противоположных элементов).

Спроецируем ина осих и у:

; ,

так как перпендикулярноr.

;

;

.

Сумма проекций векторов dB на ось х будет равна нулю, то есть В_х тоже равна нулю.

; ;.

Интегрируя, получаем

; ;

Тл.

б) в центре кольца h = 0, r = R (рис. 13.10):

Тл.

Рис. 13.10

Ответ: а) Тл; б)Тл.

Задача 4. По длинному прямому проводу, согнутому под прямым углом, течет ток I = 20 А. Найти магнитную индукцию в точке, лежащей на биссектрисе угла и отстоящей от вершины угла наа = 10 см (рис. 13.11).

Рис. 13.11

Решение

1. Нарисуем линии индукции магнитного поля для каждого отрезка провода. Линии должны проходить через заданную точку, лежать в плоскости, перпендикулярной току, и иметь центр на проводнике с током (рис. 13.11). Направление линии индукции определим по правилу буравчика. Касательные к силовым линиям перпендикулярны плоскости чертежа и векторы инаправлены «к нам».

2. . Так как инаправлены в одну сторону по одной прямой, то.

3. - индукция от вертикальной части провода; ₁ 0, ₂ = 135.

- индукция от горизонтальной части провода; ;₃ = 45.

₄  , так как провод ограничен вершиной угла слева и бесконечен справа (рис. 13.11).

.

Тл.

Ответ: Тл.

Рис. 13.12

Задача 5. По сплошному бесконечному цилиндрическому проводнику радиусом R = 2 см течет ток плотностью j = 810⁴ . Рассчитать магнитное поле внутри и вне проводника (рис. 13.12).

Решение

На рисунке изображено поперечное сечение проводника с двумя точками на расстояниях r₁ и r₂ от оси проводника. Необходимо вычислить индукцию магнитного поля в этих точках.

Закон Био – Савара – Лапласа применить нельзя, так как проводник не тонкий. Для решения задачи применим закон полного тока:

.

Циркуляция напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром.

1. Для точки 1, находящейся внутри проводника, выберем в качестве контура обхода окружность, центр которой лежит на оси проводника, а радиус равен r₁ – расстоянию от центра до данной точки.

; ;;

; ;.

Тл.

2. Точка 2 находится вне проводника. Контур обхода – окружность радиусом r₂, проходящая через точку 2. Охватываемые токи проходят через площадь - в проводнике, радиус которого равенR.

; ;

; ;Тл.

Полученные соотношения дают возможность построить график зависимости индукции магнитного поля сплошного цилиндрического проводника от расстояния r в любой точке внутри и вне проводника (рис. 13.13).

Рис. 13.13

Ответ: Тл;Тл.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. По бесконечному прямому проводнику идёт ток 20 А. Проводник образует петлю, радиус которой R = 2 см. Определить индукцию магнитного поля в центре петли по величине и направлению (рис. 13.14).

Ответ: В = 4,2710^-4 Тл.

Рис. 13.4 Рис. 13.5

Задача 2. Два очень длинных прямых параллельных друг другу провода соединены на одном конце полукольцом радиусом R = 2,5 см. Чему равна индукция магнитного поля, созданного проводами в центре полукольца, если ток в проводах I = 12 А (рис. 13.15).

Ответ: Тл.

Задача 3. Прямой бесконечно длинный провод с током I = 10 А образует в середине кольцевой виток радиусом R = 3 см, плоскость которого перпендикулярна проводу. Определить индукцию магнитного поля по величине и направлению в точке, лежащей в центре витка (рис. 13.16).

Ответ: В =  2,210^-4 Тл.

Задача 4. Два бесконечных прямых провода с токами I₁ = 8 А и I₂ = = 12 А расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях. Найти индукцию магнитного поля в точке, лежащей на расстоянии 3 см от первого провода и 2 см от второго провода (рис. 13.17).

Ответ: В = 13,110^-5 Тл.

Задача 5. По прямому бесконечно длинному проводу течёт ток I₁ = = 3,14 А. Круговой виток с током I₂ = 3 А радиусом R = 30 см расположен так, что плоскость его параллельна прямому проводнику, а перпендикуляр, опущенный из центра витка на провод, является нормалью к плоскости витка. Расстояние от центра витка до провода равна d = 20 см. Найти индукцию магнитного поля в центре витка (рис. 13.18).

Ответ: B = 710^-6 Тл.

Задача 6. Круговой виток радиусом R = 3 см с током I₁ = 3 А лежит в одной плоскости с бесконечно длинным прямым током I₂ = 6 А. Расстояние от центра до провода равно d = 10 см. Определить индукцию магнитного поля в центре витка (рис. 13.19).

Ответ: В = 5,0810^-5 Тл.

Задача 7. Бесконечный прямой провод с током I = 20 А согнут под прямым углом. Определить индукцию магнитного поля в точке А₁, лежащей на продолжении горизонтальной части провода, на расстоянии а = 20 см от вершины угла (рис. 13.20).

Ответ: В_А = 10^-5 Тл.

Задача 8. Бесконечный прямой провод с током I = 100 А согнут под прямым углом. Определить индукцию магнитного поля в точке А₂ (рис. 13.20), лежащей на биссектрисе угла на расстоянии а = 10 см от вершины угла.

Ответ: В_А = 8,2810^-5 Тл.

Задача 9. Провод согнут в виде прямоугольника со сторонами а = = 3 см и b = 4 см. По проводу идёт ток I = 50 А. Определить величину и направление индукции магнитного поля в центре прямоугольника.

Ответ: В = 1,6710^-3 Тл.

Задача 10. Провод длиной 1 м согнут в виде квадрата. По проводу течёт ток I = 10 А. Определить индукцию магнитного поля в центре квадрата.

Ответ: В = 4,510^-5 Тл.

Задача 11. По бесконечно длинному проводнику, согнутому, как показано на рис. 13.21, течёт ток I = 100 А. Определить магнитную индукцию В в точке А, если радиус закругления R = 10 см. Закругление представляет собой четверть окружности.

Ответ: В_А = 3,5710^-4 Тл.

Задача 12. Прямой бесконечно длинный проводник с током I = 50 А согнут так, что между частями его образовался угол  = 120⁰. Определить индукцию магнитного поля в точках, лежащих на биссектрисе угла и удалённых от вершины его на расстояние а = 5 см (рис. 13.22).

Ответ: 1) В₁ = 3,4610 ^{- 4} Тл; 2) В₂ = 1,1610^-4 Тл.

Задача 13. По тонкому проволочному кольцу течёт ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась магнитная индукция в центре кольца?

Ответ: = 1,14 раза.

Задача 14. По контуру в виде равностороннего треугольника течёт ток I = 40 А. Сторона треугольника а = 30 см. Определить магнитную индукцию в точке пересечения высот.

Ответ: В = 2,410^-4 Тл.

Задача 15. По проводнику в виде тонкого кольца радиусом R = 10 см течёт ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию В в точке, равноудалённой от всех точек кольца на r = 20 см.

Ответ: В = 6,2810^-5 Тл.

Задача 16. По проводнику в виде тонкого кольца радиусом R = 10 см течёт ток. Чему равна сила этого тока, если индукция магнитного поля в точке А (рис. 13.23) В = 10^-5 Тл. Угол  = 10⁰.

Ответ: I = 61,2 А.

Задача 17^*. Напряжённость магнитного поля в центре кругового витка радиусомr = 8 см равна 30 . Определить напряжённость поля на оси витка в точке, расположенной на расстоянииd = 6 см от центра витка.

Ответ: Н = 15,4 .

Задача 18^*. По контуру, согнутому в виде правильного шестиугольника, длина стороны которого а = 20 см, течёт ток I = 100 А. Найти напряжённость магнитного поля в центре шестиугольника. Для сравнения определить напряжённость Н₀ в центре кругового провода, совпадающего с окружностью, описанной около данного шестиугольника.

Ответ: Н = 275 ;Н₀ = 250 .

Задача 19. По контуру в виде квадрата идёт ток I = 50 А. Сторона квадрата а = 20 см. Чему равна магнитная индукция в точке пересечения диагоналей?

Ответ: В = 2,8210^-4 Тл.

Задача 20. Два длинных параллельных провода находятся на расстоянии d = 5 см один от другого. По проводам текут одинаковые токи в противоположных направлениях силой I = 10 А каждый. Найти напряжённость магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии = 2 см от одного провода и= 3 см от другого.

Ответ: Н = 132 .

Задача 21. Расстояние между двумя параллельными токами d = 5 см. По проводам в одном направлении текут токи I = 30 А каждый. Найти напряжённость магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии = 4 см от одного и= 3 см от другого провода.

Ответ: Н = 200 .

Задача 22. По двум бесконечно длинным параллельным проводникам текут токи I₁ = 50 А и I₂ = 100 А в противоположных направлениях. Расстояние между проводниками d = 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке, удалённой от первого проводника на = 25 см и от второго на= 40 см.

Ответ: В = 8,810^-5 Тл.

Задача 23. По двум параллельным прямым бесконечно длинным проводникам текут токи I₁ = 20 А и I₂ = 30 А в одном направлении. Расстояние между проводниками d = 10 см. Вычислить индукцию магнитного поля В в точке, удалённой от обоих проводников на одинаковое расстояние r = 10 см.

Ответ: В = 8,7210^-5 Тл.

Задача 24. Два бесконечно длинных прямых проводника скрещены под прямым углом. По проводникам текут токи I₁ = 80 А и I₂ = 60 А. Расстояние между проводниками d = 10 см. Чему равна индукция магнитного поля в точке А, одинаково удалённой от обоих проводников (рис. 13.24).

Ответ: В = 410^-4 Тл.

Задача 25. По двум бесконечно длинным прямым проводникам, скрещенным под прямым углом, текут токи I₁ = 30 А и I₂ = 40 А. Расстояние между проводниками d = 20 см. Определить магнитную индукцию в точкеС (рис. 13.24), одинаково удалённой от обоих проводников на расстояние, равное d.

Ответ: В = 510^-5 Тл.

Задача 26. По обмотке очень короткой катушки радиусом R = 16 см течёт ток силой I = 5 А. Сколько витков проволоки намотано на катушку, если напряжённость магнитного поля в её центре Н = 800 ?

Ответ: N = 51 (виток).

Задача 27. Бесконечно длинный провод согнут под углом 60⁰ с закруглением радиусом R = 10 см. По проводнику течёт ток I = 20 А. Определить индукцию магнитного поля в центре закругления (рис. 13.25).

Ответ: В = 8,110^-5 Тл.

Задача 28. Вычислить индукцию магнитного поля, созданного отрезком АВ прямолинейного проводника с током I = 20 А в точке С, расположенной на перпендикуляре к отрезку на расстоянии r = 5 см от него. Отрезок АВ виден из точки С под углом 60⁰.

Ответ: В = 410^-5 Тл.

Задача 29. По двум длинным параллельным прямым проводникам текут токи I₁ = 2I₂. Определить точки, в которых индукция магнитного поля равна нулю для случаев: а) токи идут в одном направлении; б) токи идут в противоположных направлениях. Расстояние между проводниками равно а (рис. 13.26).

Ответ: а) б) x = 2a, где x – расстояние от тока I₁ до искомой точки.

Задача 30. Два бесконечных прямых проводника находятся в одной плоскости под углом 90⁰ друг к другу. Определить индукцию магнитного поля в точках А₁ и А₂ (рис. 13.27), если = 2 см,= 4 см. ТокиI₁ = I₂ = 20 A.

I

1

r

2

r

2

Ответ: Тл;Тл.

А₁

А₂

I

2

Рис. 13.27

Задача 31^*. По проводнику, согнутому в виде квадратной рамки со стороной а = 10 см, течёт ток I = 5 A. определить индукцию магнитного поля в точке, равноудалённой от вершин квадрата на расстояние, равное его стороне.

Ответ: Тл.

Задача 32. Катушка длиной l = 20 см содержит N = 100 витков. По обмотке катушки идёт ток I = 5 А. Диаметр катушки d = 20 см. Определить индукцию магнитного поля на оси катушки на расстоянии а = 10 см от её конца.

Ответ:Тл; Тл.

Задача 33. Определите магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом 5 см, по которому течет ток 10 А, в точке А расположенной на расстоянии 10 см от центра кольца (рис. 13.28).

Ответ: В = 11,2 мкТл.

Задача 34^*. Тонкая лента шириной l = 40 см свёрнута в трубку радиусом R = 30 см. По ленте течёт равномерно распределённый по ширине ленты ток I = 200 А. Определить магнитную индукцию на оси трубки в средней точке (рис. 13.29).

Ответ: В = 3,4910^-4 Тл.

Рис.13.28 Рис. 13.29

Задача 35^*. Определить магнитную индукцию В, созданную прямым бесконечным током I = 20 А, согнутым под углом 120⁰ в точке А, лежащей на продолжении горизонтальной части провода (рис. 13.30) на расстоянии а = 10 см от вершины угла.

Ответ: В_А = 3,510^-5 Тл.

Задача 36^*. Два круговых контура с токами I₁ = 10 А и I₂ = 20 А лежат в параллельных плоскостях. Расстояние между центрами контуров l = = 20 см, радиусы контуров R_1­ = R₂ = 10 см. Определить индукцию магнитного поля, созданного контурами в точке, лежащей посередине расстояния между ними, если: а) токи идут в одном направлении; б) токи идут в противоположных направлениях (рис. 13.31).

Ответ: а) В_А = 0,66·10^-4 Тл.; б) В_А = 0,22·10^-4 Тл.

Задача 37. Проводник согнут в виде ромба со стороной а = 4 см. Углы при вершинах ромба 60⁰ и 120⁰. Определить индукцию магнитного поля в точке пересечения диагоналей ромба, если ток I = 30 А (рис. 13.32).

Ответ: В_А = 9,410^-4 Тл.

Задача 38. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток 10 А. Определите, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, магнитную индукцию В в точке, расположенной на расстоянии 10 см от проводника .

Ответ: В = 20 мкТл.

Задача 39. Определите циркуляцию вектора магнитной индукции по окружности, через центр которой перпендикулярно ее плоскости проходит бесконечно длинный прямой провод, по которому течет ток 5 А.

Ответ: Вdl = 6,28 мкТлм

Задача 40. Соленоид длиной l = 0,5м содержит N = 1000 витков. Определите магнитную В поля внутри соленоида, если сопротивление его обмотки 120 Ом, а напряжение на ее концах 60 В.

Ответ: В = 1,26 мТл.

159