Занятие 13 закон био – савара – лапласа

Учебная цель: добиться понимания физической сущности закона Био - Савара - Лапласа, принципа суперпозиции для магнитного поля элементов тока и научиться применять их для расчета магнитных полей проводников с током.

Литература

Основная: Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989. – Гл. 22, § 22.1, 22.2, 22.3.

Дополнительная: Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1989. – Т. 2, гл. 6, § 39 - 42.

Контрольные вопросы для подготовки к занятию

1. Сформулируйте, запишите математическое выражение закона Био - Савара - Лапласа и поясните его.

2. По какому правилу определяется направление вектора магнитной индукции (напряженности) элемента тока?

3. Запишите выражение закона Био - Савара - Лапласа для напряженности магнитного поля элемента тока.

4. Сформулируйте и поясните принцип суперпозиции магнитных полей.

5. Как рассчитывается величина индукции (напряженности) магнитного поля в случае, если направление индукции (напряженности) элементов тока данного проводника одинаковы?

6. Сформулируйте, запишите выражение и поясните закон полного тока (теорему о циркуляции напряженности магнитного поля).

7. Сформулируйте и объясните правило выбора знаков токов, охватываемых данным контуром.

8. По какой формуле рассчитывается индукция (напряженность) магнитного поля:

- прямого проводника конечной длины с током на расстоянии r от его оси;

- бесконечно длинного проводника;

- в центре прямоугольного проводника с током;

- на оси кругового витка радиусом R с током I ?

9. Запишите выражение индукции (напряженности) магнитного поля соленоида и поясните его.

10. Что называется длинным соленоидом (нормальной катушкой), каким является его поле?

11. Запишите выражение для индукции (напряженность) магнитного поля в произвольной точке соленоида конечной длины с током I.

Краткие теоретические сведения и основные формулы

Закон Био – Савара – Лапласа позволяет определить величину и направление магнитной индукции в любой точке магнитного поля, создаваемого бесконечно малым элементом проводника с током I – элементом тока (I dl).

Согласно этому закону, элемент проводника dl с током I (рис. 13.1) создает в некоторой точке С магнитное поле, индукция которого dB пропорциональна длине dl, силе тока I, синусу угла  между направлением тока и радиус-вектором точкиС и обратно пропорциональна квадрату расстояния , т.е.

,

где - магнитная постоянная; - безразмерная величина, характеризующая магнитные свойства среды и называемая магнитной проницаемостью среды.

Рис. 13.1

В векторной форме закон Био - Савара - Лапласа имеет вид

. (13.1)

Направление определяется по правилу векторного произведения, или по правилу обхвата правой руки. Вектор направлен перпендику­лярно к плоскости, в которой лежат векторыи, таким образом, что из конца вектораповоротдо совмещения спо кратчайшему пу­ти виден происходящим против часовой стрелки.

Наглядно правило векторного произведения на практике заменяется правилом обхвата правой руки: отставленный под прямым углом боль­шой палец правой руки направляют по направлению тока в проводнике, концы загнутых четырех пальцев, охватывающих проводник с током, по­мещенных в заданную точку магнитного поля, покажут направление вектора в этой точке.

Учитывая, что векторы магнитной индукции и напряженности связа­ны соотношением

или , (13.2)

для напряженности законБио - Савара - Лапласа примет вид

. (13.3)

Величина вектора равна

. (13.4)

Для магнитных полей, так же как и для электростатических, соблюда­ется принцип суперпозиции: при наложении нескольких магнитных по­лей, имеющих магнитные индукции ,,,...,, магнитная индукция ре­зультирующего поля равна геометрической сумме магнитных индукций складываемых полей:

.

Закон Био - Савара - Лапласа (13.1) и (13.3) представлен в виде диф­ференциального уравнения для магнитной индукции и напряженности, создаваемых небольшим участком проводника . Для вычисления полной магнитной индукции или напряженностимагнитного поля,создаваемого в точке с током , идущим по проводнику конечной длинынадо гео­метрически суммировать элементарные индукции (напряженности), создаваемые всеми элементами тока :

, .

Если индукция магнитного поля от всех элементов токанаправлены вдоль одной прямой, то геометрическое суммирование сводится к алгебраическому суммированию, т.е. к интегрированию:

; (13.5)

. (13.6)

Знак (l) показывает, что интегрирование производится по всей длине l проводника.