Задание 9

9.1. Из центра поселка выходят две улицы: одна – на север, а другая – на восток. На одной улице необходимо построить школу, а на другой – детский сад и проложить между ними дорогу. На каком расстоянии от центра необходимо их разместить, чтобы дорога между ними была наименьшей, если площадь треугольника, ограниченного тремя указанными дорогами, должна равняться ?

9.2. Прямоугольный сосуд с вертикальной стенкой высотой наполнен водой и стоит на горизонтальной плоскости. Из отверстия в стенке бьет струя. Определить положение отверстия, при котором дальность струи наибольшая, если скорость вытекающей жидкости по закону Торричелли равна, гдерасстояние от поверхности воды до отверстия.

9.3. Кусок угля массы , лежащий на горизонтальной конвейерной ленте, должен быть сдвинут приложенной к нему силой. Под каким угломк горизонту следует приложить эту силу, чтобывеличина ее была наименьшей? Коэффициент трения угля по резине.

9.4. Электрическая лампа висит над центром круглого стола радиуса . На какой высотенад столом должна находиться лампа, чтобы книга, лежащая у края стола, была лучше всего освещена? Освещенностьпрямо пропорциональна косинусу угла паденияи обратно пропорциональна квадрату расстояниядо источника света.

9.5. Завод отстоит от железной дороги, проходящей через город, считая по кратчайшему расстоянию, накм. Под каким угломк железной дороге надо провести шоссе с завода, чтобы доставка грузов извбыла наиболее дешевой, если стоимость перевозок по шоссе в два раза дороже, чем по железной дороге?

9.6. Два источника света расположены друг от друга на расстоянии 25 м. На каком расстоянии от более сильного источника, на прямой, соединяющей эти точки, освещенность будет наименьшей, если силы света источников относятся, как 27:8. Освещенность точкипрямо пропорциональна силе светаобратно пропорциональна квадрату расстоянияот точки до источника света.

9.7. Из артиллерийского орудия расположенного на горизонтальной поверхности, производят выстрел. Определить, под каким углом следует произвести выстрел, чтобы получить наибольшую дальность полета.

9.8. На лугу возле речки необходимо огородить участок для выпаса скота прямоугольной формы, который прилегает к прямолинейному берегу речки. Завезено 100 м ограждения. Какими должны быть размеры исоответствующего прямоугольника, чтобы его площади была наибольшей?

9.9. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью 294и затем разделить этот участок забором на две равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?

9.10. С круга радиуса вырезан сектор с центральным углом, а из оставшейся части круга изготовлена лейка в форме конуса. При каком значениилейки будет наибольшим? Каков этот объем?

9.11. По наклонной плоскости из верхней точки , в нижнюю точкускатывается без трения тело. Расстояние между точкамиипо горизонтали равно. При каком угле наклонаплоскости к горизонту время скатывания тела минимально?

9.12. Два автомобиля движутся с одинаковой скоростью по дорогам, которые пересекаются между собой под углом. Составляющие скоростей автомобилей параллельны. Когда один автомобиль достиг перекрестка, второму оставалось проехать до него расстояние. Спустя какое времярасстояние между автомобилями будет наименьшим?

9.13. Два автомобиля движутся с постоянными скоростями ипо дорогам, пересекающимся под прямым углом. Когда первый из них достиг перекрестка, второму оставалось проехать до этого места расстояние. Спустя какое времярасстояние между автомобилями будет наименьшим?

9.14. Человек находится в точке на расстоянииот берега озера. Правее, в озере в точкена расстоянииот берега тонет юноша. Скорость движения человека по суше, в воде. Доказать, что из точкив точкучеловек быстрее всего попадет, еслиуглы икоторые образуют скорости движения человека на суше и воде с перпендикуляром к берегу озера удовлетворяют соотношению.

9.15. Человек находится на берегу озера в точке и хочет в кратчайшее время попасть в точку, находящуюся на озере. Скорость движения человека по в воде, а по берегу.Под каким углом человеку надо начинать плыть в точку .

9.16. Требуется изготовить коробку с крышкой, объем которой был бы равен , причем стороны основания относились бы как. Каковы должны быть размеры коробки, чтобы ее полная поверхность была наименьшей?

9.17. Требуется изготовить открытую сверху прямоугольную коробку максимального объема . Стороны основания коробки должны относится как. Каковы должны быть размеры коробки, если на ее изготовление можно израсходоватьматериала?

9.18. Открытый сверху резервуар имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала, если он должен вмещать литров воды?

9.19. Из углов квадратного листа железа со стороной нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, загнув оставшиеся боковые полосы под прямым углом, получить открытую сверху коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона вырезанного квадрата?

9.20. Из прямоугольного листа жести размером см требуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?

9.21. Требуется изготовить открытый сверху цилиндрический сосуд максимальной вместимости. Каковы должны быть размеры сосуда (радиус и высота ), если на его изготовление имеется материала?

9.22. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак макси-мальной вместимости. Каковы должны быть размеры сосуда (радиус и высота ), если на его изготовление имеется материала?

9.23. Требуется изготовить открытый сверху бак цилиндрической формы с круглым основанием и вертикальной боковой поверхностью заданного объема . Каковы должны быть линейные размеры бака (радиус и высота ), чтобы на его изготовление израсходовать наименьшее количество жести?

9.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак заданного объема . Каковы должны быть размеры сосуда (радиус и высота ), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

9.25. Требуется вырыть яму конической формы (воронку) с образующей м. При какой глубине воронкиее объем будет наибольшим?

9.26. Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму прямого круглого конуса заданной вместимости . Каковы должны быть размеры конуса (высота и радиус основания ), чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?

9.27. Из круглого бревна радиуса дм требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основаниеми высотой. Прочность балки пропорциональна ширине основания и квадрату высоты балки.

9.28. Цистерна имеет форму прямого кругового цилиндра, завершен-ного сверху полушаром. Вместимость цистерны . Найти радиус цилиндра , при котором цистерна будет иметь наименьшую полную поверхность.

9.29. Сечение оросительного канала имеет форму равнобочной трапеции, боковые стороны которой равны меньшему основанию. При каком угле наклона боковых сторон от горизонта сечение канала будет иметь наибольшую площадь?

9.30. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Периметр сечения м. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?