2.10. Решение типовых примеров задания 7 ргр

1.Вычислить приближенно с помощью дифференциала с точностью до. Определить относительную погрешность вычисления.

Решение. Для вычислений воспользуемся приближенной формулой (2.9)

.

В нашем случае ;;.

Вычислим ,.

Подставляя найденные значения в приведенную формулу, получим

.

Табличное значение .

Относительная погрешность

.

2.Вычислить приближенно с помощью дифференциалас точностью до. Определить относительную погрешность вычисления.

Решение. Для вычисления воспользуемся приближенной формулой

.

В нашем случае ;;.

;;.

Подставляя найденные значения в приведенную формулу, получим

.

Табличное значение .

Относительная погрешность

.

3.Вычислить приближенно с помощью дифференциалас точностью до, если.

Решение. Для вычисления воспользуемся приближенной формулой

.

В нашем случае ;;.

Вычислим ;.

.

Подставляя найденные значения в приведенную формулу, получим

.

Табличное значение .

Относительная погрешность

.

4.Вычислить приближенно с помощью дифференциалас точностью до. Определить относительную погрешность вычисления.

Решение.Для вычисления воспользуемся приближенной формулой

.

В нашем случае ;,,

или в радианах .

Вычислим ,.

Подставляя найденные значения в приведенную формулу, получим

.

Табличное значение . Относительная погрешность

.

5.Вычислить приближенно с помощью дифференциалаc точностью до, если. Результат выразить в градусах. Определить относительную погрешность вычисления.

Решение.Для вычисления воспользуемся приближенной формулой

.

В нашем случае ;,.

;.

Подставляя найденные значения в приведенную формулу, получим

.

Или в градусах рад..

Табличное значение . Относительная погрешность

.

2.11. Решение типового примера задания 8 ргр

Тело массой кг движется по закону .

Найти действующую силу, когда скорость тела м/с.

Решение. Сила, действующая на тело равна .

Найдем выражения скорости и ускорения тела

;.

Вычислим время, когда скорость тела м /с.

;;.

с.с – не подходит.

Ускорение тела при с:м/с² Н.

2.12. Решение типового примера задания 9 ргр

Проволокой длинойтребуется огородить клумбу, которая должна иметь форму кругового сектора. Какой следует взять радиус круга, чтобы площадь кругового сектора

была наибольшей?

Решение.

Обозначим радиус круга через

, а длину дуги сектора – через

(рис. 2.3). Площадь кругового сектора

. Функцияподлежит

исследованию на максимум. Заметим,

что зависит от двух переменных

и . Выразимчерез(можно и наоборот). Согласно условию задачи, периметр кругового сектора равен, то есть. Отсюда.

Следовательно, .

;;.

Убедимся, что при площадь кругового сектора будет наибольшей.

При , например,,.

При , например,,.

При переходе через точку производная меняет знак сна, следовательно, приплощадь сектора будет наибольшей.

2.13. Решение типового примера задания 10 ргр

Исследовать функцию и построить ее график.

План исследования: 1) найти область существования функции; 2) найти точки разрыва и ее односторонние пределы в точках разрыва; 3) выяснить, явля­ется ли данная функция четной или нечетной; 4) найти точки экстремума и опре­делить интервалы возрастания и убывания; 5) найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости; 6) найти асимптоты графика; 7) построить график функции, дополнительно определив точки пересечения с осями координат.

Решение.1) Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме, при котором обращается в нуль знаменатель, то есть.

2) Исследуем функцию на непрерывность. Найдем односторонние пределы в точках .

;. ; .

В точках функция имеет разрыв 2-го рода.

3) Установим четность и нечетность функции.

;.

Так как , функция является четной, то есть она симметрична относительно оси.

4) Для нахождения точек экстремума вычислим первую производную:

.

Дробь равна нулю, когда равен нулю числитель. ;– точка возможного экстремума. Как видно, при первая производная отрицательна, а при – положительна. В точке первая произ-водная меняет свой знак сна. Значит, функция имеет минимум:

.

5) Выясним, есть ли точки перегиба и определим интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную.

.

Приравняем нулю вторую производную: ..

График исследуемой функции не имеет точек перегиба.

Разобьем числовую ось на три интервала: ,,.

Установим характер кривизны в этих интервалах:

Интервал

Знак

–

–

Кривизна

6) Определим асимптоты графика. Прямые являются вертикальными асимптотами. Используя соответствующие формулы, выясним вопрос о наличии горизонтальной и наклонной асимптоты.

.

.

Прямая – горизонтальная асимптота. Наклонных асимптот нет.

7) Точек пересечения с осями координат нет. Построим график функции.