2.7. Геометрический смысл производной

Пусть функция

определена в интервале и пусть точка на графике функции соответствует значе-нию аргумента , а точка значению (рис. 2.1).

Проведем через точки и секущую. Обозначим через угол между секущей и осью . Очевидно, этот угол зависит от .

Если существует предел , то прямую с угловым коэффициентом , проходящую через точку называют предельным положением секущей при .

Из находим

. (2.2)

Существование конечного предела в уравнении (1.8) эквивалентно существованию конечной производной.

Угловой коэффициент касательной к кривой в точке или тангенс угла , который образует касательная к кривой в данной точке с положительным направлением оси , - это производная в этой точке.

. (2.3)

В этом заключается геометрический смысл производной.

Найдем уравнение касательной. Из аналитической геометрии известно, что, если прямая проходит через точку в направлении, которое определяется угловым коэффициентом , то уравнение этой прямой можно записать в виде

. (2.4)

Учитывая, что , уравнение (1.9) можно записать в виде

. (2.5)

Уравнение (2.5) называется уравнением касательной к кривой в точке .

Нормалью к кривой называется прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно к касательной.

Поскольку угловые коэффициенты касательной и нормали связаны между собой условием перпендикулярности, то уравнение нормали к кривой в точке имеет вид

. (2.6)

2.8. Решение типового примера задания 6 ргр

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точкеcабсциссой.

Решение.Уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке

;.

Ордината точки касания

;.

Найдем . Для этого сначала найдем, а затем вычислим частное значение производной при.

..

Тогда уравнение касательной и нормали к кривой имеют вид

; .

;; .

2.9. Определение и геометрический

^{смысл дифференциала}

. Из определения производной и предела перемен-ной следует, что , или

, (2.7)

где при .

Приращение функции можно разбить на две части: и .

Произведение есть бесконечно малая первого порядка относительно . Произведение же есть величина бесконечно малая более высокого порядка относительно , так как.

Первое слагаемое (при ) являетсяглавной частью приращения функции .

Дифференциалом функции в точкеназывается главная, линейная относительно, часть приращения функции в этой точке

. (2.8)

. Геометрический смысл дифференциала функции

Пусть точкана графике

функции соответствует

значению аргумента , точка

значению аргумента , пря-

мая касательная к графику

в точке,угол

касательной и осью (рис.2.2).

Пусть точка пересечения

касательной с прямой.

Из прямоугольного треу-

гольника получаем:

,

т.е. дифференциал функции

равен величине отрезка .

Из геометрического рассмотрения видно, что величины отрезков иразличны.

Таким образом, мы выяснили геометрический смысл дифференциала функции в точке : дифференциал функции в точкеравен приращению ординаты касательной к графику функции в точке.

Из определения дифференциала, как главной (линейной) части приращения функции при достаточно малых значениях имеет место приближенное равенство

. (2.9)

Эта формула часто используется арии приближенных вычислениях.