1. 3. Классификация функций. Непрерывность функции в точке.

Точки разрыва

Основными элементарными функциями называются такие:

1. Степенная функция ,. Графики этих функций приведены на рис. 1.1 - 1.7.

2. Показательная функция,(рис. 1.8).

3. Логарифмическая функция(рис. 1.9).

4. Тригонометрические функции,,,(рис. 1.10 - 1.13).

Графики основных элементарных функций необходимо помнить.

Приведем графики основных элементарных функций.

1. Степенная функция:

.

.

, .

Рис. 1.6

Рис. 1.7

Рис.1.5

2. Показательная функция .

3. Логарифмическая функция .

4.Тригонометрические функции.

Рис. 1.11

Функция называется непрерывной в точке , если граница функции и ее значения в этой точке равны, то есть

. (1.3)

Часто встречаются понятия односторонней непрерывности. Функция называетсянепрерывной в точке слева, если она определена на полуинтервале , гдеи; если функцияопределена на полуинтервалеи, то функция называетсянепрерывной в точке справа. Используя эти понятия, можно сказать, что функция будет непрерывной в точкетогда и только тогда, когда она определена в некоторой окрестности точкии

. (1.4)

Если эти условия не выполняются, то функция называется разрывной в точке , а сама точка называется точкой разрыва функции.

Различают два вида разрывов. Если для функции существуют конечные границы

,,

причем не все числа ,,равны между собой, то разрыв в точкеназываютразрывом первого рода, точку точкой разрыва первого рода. В частности, если

,

то разрыв в точке называют условным, а точкуточкой условного разрыва. Величину называют скачком функции.

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует, или равен бесконечности, то разрыв в точке называютразрывом второго рода, а саму точку точкой разрыва второго рода.

1.4. Решение типовых примеров задания 2 ргр

1.Дана функция . Найти точки разрыва, односторонние пределы в точках разрыва и указать тип разрыва.

Решение. Функция не определена в точке, поэтому в этой точке имеет разрыв. Чтобы определить характер разрыва, найдем границы слева и справа:

; .

Поэтому, точка есть точка разрыва второго рода.

2.Дана функция . Найти точки разрыва, односторонние пределы в точках разрыва и указать тип разрыва. Определить скачек функции в точке разрыва и построить график.

Функция имеет в точкеразрыв первого рода:

;.

Скачек функции в точке равен.