Контрольные вопросы к лекции №13

1. Критерий Кронекера-Капелли.

2. Совместные и определенные системы линейных уравнений.

3. Методы решения систем линейных уравнений и условия их применимости.

4. Однородные системы линейных уравнений.

5. Свободные и разрешенные переменные.

Матричный метод

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу)систем линейных алгебраических уравненийс ненулевымопределителемсостоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

, где — основная матрица системы,и— столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на — матрицу, обратную к матрице:

Так как , получаем. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) являетсяневырожденностьматрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулюопределителя матрицыA:

.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор , действительно обратное правило: системаимеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит названиеальтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной СЛАУ[

Сначала убедимся в том, что определитель матрицыиз коэффициентов при неизвестныхСЛАУне равен нулю.

Теперь вычислим алгебраические дополнениядля элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахожденияобратной матрицы.

Далее найдём союзную матрицу,транспонируемеё и подставим в формулу для нахожденияобратной матрицы.

Подставляя переменные в формулу, получаем:

Осталось найти неизвестные. Для этого перемножимобратную матрицуи столбец свободных членов.

Итак, x=2; y=1; z=4.

Метод Гаусса

[править|править исходный текст]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверяласьопытными участниками и может значительно отличаться отверсии, проверенной 12 августа 2013; проверки требует1 правка.

Текущая версия страницы пока не проверяласьопытными участниками и может значительно отличаться отверсии, проверенной 12 августа 2013; проверки требует1 правка.

Перейти к: навигация,поиск

У этого термина существуют и другие значения, см. Метод Гаусса (оптимизация).

Ме́тод Га́усса^[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений(СЛАУ). Это метод последовательного исключенияпеременных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы^[2].

Содержание

 [убрать]

• 1 История

• 2 Описание метода

  • 2.1 Условие совместности

  • 2.2 Алгоритм

    • 2.2.1 Описание

    • 2.2.2 Простейший случай

  • 2.3 Пример

• 3 Применение и модификации

• 4 Достоинства метода

• 5 Неоптимальность метода Гаусса

• 6 См. также

• 7 Примечания

• 8 Литература

История[править|править исходный текст]

Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода — в китайском трактате «Математика в девяти книгах», составленном междуI в. до н.э.иII в. н. э.

Описание метода[править|править исходный текст]

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица называется основной матрицей системы,— столбцом свободных членов.

Тогда, согласно свойству элементарных преобразованийнад строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор(ненулевойминормаксимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных^[3].

Тогда переменные называютсяглавными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число , где, то рассматриваемая системанесовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть для любых.

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где— номер строки):

, где

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путёмэлементарных преобразованийнад исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Следствия: 1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой. 2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.

Условие совместности[править|править исходный текст]

Упомянутое выше условие для всехможет быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:

Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).

Теорема Кронекера — Капелли. Системасовместна тогда и только тогда, когдарангеё основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. Следствия: Количество главных переменных равно рангу системы и не зависит от её решения. Если ранг совместной системы равен числу переменных данной системы, то она определена.

Алгоритм[править|править исходный текст]

Блок схема представлена на рисунке. Данный рисунок адаптированный для написания программы на языке С++, где a[0] столбец свободных членов.

Алгоритм Гаусса для решения САУ

Описание[править|править исходный текст]

Алгоритм решения СЛАУметодом Гаусса подразделяется на два этапа.

• На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразованийнад строками систему приводят к ступенчатой илитреугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

• На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Метод Гаусса требует арифметических операций.

Этот метод опирается на:

Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду). Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду.

Простейший случай[править|править исходный текст]

В простейшем случае алгоритм выглядит так:

• Прямой ход:

• Обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.

Пример

Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную наи, соответственно:

Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на:

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончим первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

из третьего;

из второго, подставив полученное

из первого, подставив полученные и.

Таким образом исходная система решена.

В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.

Применение и модификации

Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для:

• нахождения матрицы, обратной к данной (к матрице справа приписывается единичнаятакого же размера, что и исходная:, после чегоприводится к виду единичной матрицыметодом Гаусса—Жордана; в результате на месте изначальной единичной матрицы справа оказываетсяобратнаяк исходной матрица:);

• определения ранга матрицы(согласно следствию изтеоремы Кронекера—Капеллиранг матрицыравен числу её главных переменных);

• численного решения СЛАУ в вычислительной технике (ввиду погрешности вычислений используется Метод Гаусса с выделением главного элемента, суть которого заключена в том, чтобы на каждом шаге в качестве главной переменной выбирать ту, при которой среди оставшихся после вычёркивания очередных строк и столбцов стоит максимальный по модулю коэффициент).