Дослідження функції та побудова графіків
2.41. Для заданих функцій знайти інтервали зростання і спадання, а також точки екстремуму:
|
1)
|
2)
|
3)
|
|
4)
|
5)
|
6)
|
;
;
;
;
;
. 2.42.
Визначити найбільше
та найменше
значення наступних функцій на вказаних
відрізках:
|
1)
|
2)
|
|
3)
|
4)
|
|
5)
|
|
;
;
;
;
. 2.43.
Визначити найбільшу площу прямокутника,
вписаного в коло радіуса
.
2.44.
Знайти інтервали опуклості та вгнутості
графіка функції
і точки перегину:
|
1)
|
2)
|
3)
|
|
4)
|
5)
|
6)
|
;
;
;
;
;
.2.45. Знайти асимптоти графіків функцій:
|
1)
|
2)
|
3)
|
|
4)
|
5)
|
6)
|
;
;
;
;
;
.2.46. Дослідити функції та побудувати їх графіки:
|
1)
|
2)
|
3)
|
|
4)
|
5)
|
6)
|
;
;
;
;
;
.
Векторні та комплексні функції дійсної змінної
2.47. Довести формули:
1)
;
2)
.
2.48. Знайти похідні вектор-функції:
1)
;
2)
;
3)
.
2.49.
Дано рівняння руху
.
Визначити траєкторію і швидкість руху.
2.50.
Дано рівняння руху
.
Визначити траєкторію і швидкість руху
в момент часу
.
2.51.
Довести, що вектори
і
перпендикулярні.
2.52. Знайти годографи вектор-функцій:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
2.53. Для кожної із наступних кривих написати рівняння дотичної та рівняння нормальної площини в даній точці:
1)
якщо
;
2)
,
якщо
.
2.54. Знайти похідні 2-го порядку вектор-функцій:
1)
;
2)
.
2.55.
Побудувати криві, які задані рівняннями
,
і знайти
:
|
1)
|
2)
|
|
3)
|
4)
|
;
;
;
. 2.56.
Показати, що функція
має період
.
2.57. Знайти модуль та аргумент функцій:
1)
;
2)
.
2.58. Зобразити множину точок на площині комплексної змінної, яка задана рівняннями:
|
1)
|
2)
|
|
3)
|
4)
|
;
;
;
.
Відповіді
2.1.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
2.2.
;
.
2.3.
;
2.4. 1)
;
;
2)
;
;
.
2.5. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
2.6. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
2.7. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
2.8.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
;
6)
.
2.9.
.
2.10.
(2;5). 2.11.
;
;
;
.
2.12.
.
2.13. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
2.14.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
2.15.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
2.16. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
2.17.
.
2.18. 2см. 2.19. 3см.
2.20.
. 2.21. 1,1. 2.22.1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
2.23. 1)
1,02; 2) 1,07; 3) 0,775;
4)
2,97; 5) –0,1; 6) 0,485. 2.24. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
2.25. 3;
12; 9.
2.26.
1)
,
якщо
і
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
2.30. (1,1).
2.31.
;
2.32. 1)
;
2) 0; 3)
;
4)
;
5)
;
6) 0.
2.33.
1) –4; 2)
;
3) 0; 4) 9; 5)
;
6)
.
2.34. 1)
;
2) 1;
3)
;
4) 0; 5)
;
6) 0. 2. 35. 1)
–1; 2) 0; 3)
;
4)-1. 2.36. 1)
1;
2)
1; 3)
;
4) 1; 5) 1; 6)
.
2.37.
.
2.38.
.
2.39. 1)
0,842; 2) 1,648;
3)
0,049; 4) 2,012. 2.40.
.
2.41.
1) на
спадає, на
зростає;
.
2)
на
зростає, на
спадає;
;
3)
на
спадає, на
зростає;
;
4)
на (0;1)
спадає, на
зростає;
;
5) зростає по всій області визначення;
6)
на
зростає, на
спадає;
.
2.42.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
2.43.
.
2.44.
1) на
вгнута, на (-3;-1) опукла;
;
2)
на
крива вгнута, на
опукла,
;
3)
на
крива опукла, на
вгнута,
;
4)
на
крива опукла, на (-1;1) вгнута,
;
5)
на
крива опукла, на
вгнута,
;
6)
на
крива опукла, на
вгнута.
2.45.
1)
;
2)
(ліва); 3)
;
4)
(права),
(ліва); 5)
;
6)
.
2.46.
1)
непарна,
,
асимптоти
,
точок перегину немає;
2)
,
асимптоти
,
точок перегину немає,
3)
,
парна,
,
асимптоти
,
точок перегину немає;
4)
,
абсциса точок перегину
,
асимптота
;
5)
,
парна,
,
точки перегину
,
асимптот немає.
6)
,
точка перегину
,
асимптоти
.
2.48.
1)
;
2)
;
3)
.
2.49.
Пряма
.
2.50.
Циклоїда
.
2.53.
1)
;
2)
(дотична),
(площина).
2.54.
1)
;
2)
.
2.55.
1) коло
,
;
2)
еліпс
,
,
;
3)
права гілка гіперболи
,
;
4)
парабола
,
.
2.57.
1)
,
2)
,
.
2.58.
1) смуга, визначена прямими
,
разом з прямими;
2)
смуга, визначена прямими
,
;
3)
кут, визначений прямими
,
,
який розташований в другій чверті;
4)
кільце, визначене колами
,
.