Тема 1. Вступ до математичного аналізу Елементи теорії множин та математичної логіки
1.1. Зобразити за допомогою діаграм Ейлера – Венна такі множини:
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) ; |
5) ; |
6) . |
1.2. Довести за допомогою діаграм Ейлера – Венна, що:
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) . |
5) ; |
6) . |
1.3. Нехай універсальною множиною є множина усіх натуральних чисел. Дано множини: А = {1;2;3;4;5}, B = {2;4;6;8},
C = {2;4;6;…}, D = {3;6;9;12;…}.Знайти множини:
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) ; |
5) ; |
6) . |
1.4.
1. Нехай- універсальна множина,. Знайти множини.
2. - множина чисел, що діляться на 3,- множина чисел, не більших 6,- множина парних чисел. Записати:
1) {3,6}; |
2) {1,3,5,7,…}; |
3) {9,15,12,18,…}; |
4){7,8,9,10,…}; |
5) ; |
6) ; |
7) ; |
8). |
1.5. З’ясувати, в якому випадку мають місце співвідношення:
1) ; |
2) Ø; |
3) ; |
4) ; |
5) ; |
6) . |
1.6. Довести:
1) ;
2) ;
3) ; 4).
1.7.
1) Наступні множини зобразити геометрично на числовій прямій:,,
. Чи вірно, щоØ,, ?
2) Дано множину. Записати всі можливі підмножини.
1.8. . Знайти.
1.9.
1) Зобразити на числовій прямій множини: та знайти:;
;
2) Записати і зобразити наступні множини: ,
,;
3) Дано: , . Записати множини:.
1.10. Нехай . Знайтита.
1.11. Нехай . Знайти:
1) ; 2); 3).
1.12. Знайти множини розв’язків рівнянь:
1) ; 2);
3) ; 4); 5);
6) ; 7).
1.13. Навести три приклади квадратних рівнянь, множина
розв’язків яких відповідно: порожня, має лише один корінь (кра-
тний); має два різні дійсні корені.
1.14. Які з наведених речень є висловленнями? Якщо речення є висловленнями, то істинне воно, чи хибне?
1) ; 2); 3)- парне число;
4) Для всіх справедливо:;
5) Трикутник АВС – прямокутник;
6) 18 ділиться на 3; 7) .
1.15. З простих висловлень А та В побудувати висловленняі встановити їх істинність.
1) А: “15 ділиться на 5”, В: “5 < 1”;
2) А: “”, В: “”;
3) А: “Всі кути квадрата прямі”, В: “Діагоналі прямокутника не рівні між собою”;
4) А: “”, В: “8 – просте число”;
5) А: “Гіпотенуза прямокутного трикутника більша за його катет”, В: “”.
1.16. Користуючись формулами , звільнитись від знака імплікації і спростити формули:
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) . |
1.17. Скласти таблиці істинності для наступних формул:
1) ; 2); 3).
1.18. Використовуючи таблиці істинності, довести рівносильність наступних формул:
3) ; |
4) . |
1) ; |
2) ; |
1.19. Вказати, які з наступних речень є предикатами:
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) ; |
5) ; |
6) |
1.20. Довести, що формули тає водночас або істинними, або хибними (закон контрапозиції).
1.21. Нехай М: “Даний чотирикутник - паралелограм”, К: “ Дві протилежні сторони чотирикутника паралельні”. Чи буде істинною імплікація: 1) ? 2)? 3) Чи можна стверджувати, щоє достатньою умовою для?
1.22. Нехай М: “Дане число ділиться на 9”, К: “Дане число ділиться на 3”. Сформулювати і визначити, чи буде істинним твердження: 1) ; 2).
1.23. Наступні висловлення записати за допомогою символів і встановити істинність чи хибність кожного з них:
1) “Для кожного додатного числа існує таке від’ємне число, для якого”;
2) “Не існує раціонального числа такого, що”;
3) “Для кожного додатного числа існують числа, які більше за.
1.24. Задано предикат : “Ціле числоє дільником числа”. Знайти множину істинності цього предиката, якщо:
1) ; 2); 3).
1.25. Яка властивість функції записується у вигляді формули:
1) ;
2) ;
3) ?
1.26. Наступні висловлення записати за допомогою символів і встановити їх істинність:
1) “Існує таке ціле число , що”;
2) “Для кожного дійсного числа виконується”.