24. Задачі , які приводять до поняття похідної. Означення похідної.

Геометричний зміст похідної визначає кутовий коефіцієнт дотичної , а швидкість виражає фізичний зміст похідної.Можна похідну від функції в точці розглядати як швидкість зміни функції в цій точці. Похідною функції f(x) у точці х0 називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х0 до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x0).

27.Найпростіші правила диференціювання. Похідні оберненої функції. Похідна складеної функції.

28. Односторонні та нескінченні функції.

Якщо т Х0 є лівим чи правим кінцем відрізка то говорячи про похідну як про границю відношення приросту функції до приросту аргументу матимемо на увазі що в першому випадку приріст аргумента має бути додатнім а в другому від’ємним.Тобто буде йти мова про односторонні похідні.Якщо границя відношення приросту функції до приросту аргументу існує але рівна 00 в такому випадку говорять про нескінченні похідні.В такому випадку дотична до кривої вертикальна.

31 Інваріантність форми диференціалу першого порядку

Для диференційовної функції , причомудля незалежної змінної.

Нехай функції та- диференційовні і задають складну функцію. Тоді, але. Тому, де- диференціал функції.

Отже, диференціал першого порядку зберігає свою форму, тобто диференціал першого порядку має один і той же вигляд, який не залежить від того чи - незалежна змінна чи функція.

На основі цієї властивості маємо наступні правила для обчислення диференціалу першого порядку:

1) ;

2) ;

3) .

32 Застосування диференціала в наближених обчисленнях

З означення похідної функції в точці випливає, що її прирістможна подати у вигляді:, де, якщо.

Отже, при малих має місце наближена рівність:

 

, тобто .

Звідки

.                (3.12)

 

Формула (3.12) дозволяє знаходити значення функції в точці, якщо відомі значенняі, з точністю

 

,

де .

Приклад 3.13. Наближено обчислити значення .

Розв’язання. В даному випадку ,. Покладемо, що відповідаєв градусній мірі;

.

 

За формулою (3.12), отримаємо:

 

,

 

тобто .

Для того, щоб оцінити абсолютну і відносну похибки, скористаємось більш точним значенням, отриманим за допомогою калькулятора: . Тоді, а відносна похибкадорівнюватиме:

.

 

Приклад 3.14. Наближено обчислити значення .

Розв’язання. В даному випадку .

 

Нехай ,, тодіі за формулою (3.12):, отримаємо, що:

 

.

 

Використовуючи калькулятор, отримаємо: . Тоді, а відносна похибкадорівнюватиме:

 

35 Похідні вищих порядків від функцій, заданих параметрично

. Якщо функції і

параметрично задають функцію , то похідні,, можна послідовно обчислити за формулами:

 

,  і т. д.

 

Так, для похідної другого порядку має місце формула:

 

.                               (3.15)

 

Приклад 3.19. Знайти похідну функції, заданої параметрично:,.

Розв’язання.

 

за формулою (3.15)