- •1.Множини та дії над ними
- •1.Задання множини за допомогою переліку її елементів.
- •1.Доповнення та різниця множин
- •2. Властивості дійсних чисел. Модуль дійсного числа.
- •5. Найпростіші теореми про границю змінної.
- •6. Граничний перехід в рівностях та нерівностях.
- •9. Границя монотонної варіанти число е.
- •13. Означення границі функції на мові послідовностей та на мові «ε-δ».
- •18. Точки розриву та їх класифікація.
- •30.Означення диференціала. Основні правила диференціювання.
- •33.Означення похідних вищих порядків. Формули похідних вищих порядків для основних елементарних функцій.
- •34 Диференціали вищих порядків
- •37.Формула Тейлора для основних елементарних функцій.
- •38.Різні форми залишкового члена у формулі Тейлора.
- •41.Розкриття невизначеностей.
- •42.Умова сталості та умова монотонності функції.
- •48. Асимптоти графіка функції.
1.Множини та дії над ними
Множина-це сукупність об’єктів , як об’єднані в сукупність за певною ознакою (є спеціальні назви)
Множина є заданою, якщо є задана характеристика об’єктів множини.
ℕ - множина натуральних чисел,
ℤ - множина цілих чисел,
ℚ - множина раціональних чисел,
ℝ - множина дійсних чисел,
ℂ - множина комплексних чисел.
Задання множини
1.Задання множини за допомогою переліку її елементів.
Нехай множина X складається з елементів a, b, c, ..., k. Для означення цього факту використовується позначення:
X = {a, b, c, ... , k}
A = {4, 2, 1, 3}
B = {червоний, білий, блактиний}
Наприклад, множина натуральних чисел ℕ визначається як:
ℕ = {1, 2, 3, ... , n, ...}
2. Задання множини вказівкою властивості її елементів. Розглянемо елементи деякої цілком означеної множини A.При цьому необхідні елементи виділяють за деякою їх властивістю (або вказують породжуючу процедуру) P, такою що кожний елемент x ∈ A або має властивість P (записується P(x)), або не має її. За допомогою властивості P виділимо множину всіх тих елементів, які мають властивість P. Цю множину будемо позначати як {x ∈ A | P(x)} = {x | P(x)}. Задання множини вказівкою її властивості (або породжуючим предикатом) слід здійснювати обережно. Наприклад, множина Y = {X|X∉X} (множина всіх множин, які не містять себе в якості елемента) веде до парадокса Рассела і є некоректною в аксіоматичній теорії множин.
Операції з множинами
1.Доповнення та різниця множин
Нехай задана деяка множина U (універсальна множина або універсум). Якщо A ⊂ U, то елементи множини U, які не належать А, називаються доповненням множини
А до множини U і позначають як CUA або UCA. Якщо A ⊂ U, B ⊂ U, то доповнення множини B до А називають різницею множин А та B (саме в такому порядку) і позначають А \ B або А-B, тобто A \ B = {x:x ∈ A ∧ x ∉ B}.
Різниця множин A та B
Доповнення множини A до U
Примітка: Тут символ ∧ означає вимогу одночасної справедливості обох частин твердження (логічна зв'язка "І", кон'юнкція). Парний з ним символ ∨ означає вимогу справедливості щонайменш одного з двох тверджень (чи обох одночасно) (диз'юнкція, логічне АБО).
Приклади:
{1, 2} − {червоний, білий} = {1, 2}
{1, 2, зелений} − {червоний, білий, зелений} = {1, 2}
{1, 2} − {1, 2} = ∅
Якщо U - множина цілих чисел, то доповнення її підмножини A всіх парних чисел є підмножина В всіх непарних чисел.
Деякі властивості операції доповнення:
A ∪ A′ = U
A ∩ A′ = ∅
(A′)′ = A
A − B = A ∩ B′
Об'єднання множин
Об'єднанням множин А та B називається множина, яка складається з усіх тих елементів, які належать хоча б одній з множин A, B:
A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ A ∈ B}.
Приклади:
{1, 2} ∪ {червоний, білий} = {1, 2, червоний, білий}
{1, 2, зелений} ∪ {червоний, білий, зелений} = {1, 2, червоний, білий, зелений}
{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}
Деякі властивості операції об'єднання:
A ∪ B = B ∪ A
A ⊆ A ∪ B
A ∪ A = A
A ∪ ∅ = A
Перетин множин
Перетином множин А та B називається множина, яка складається з усіх тих елементів, які належать кожній із множин А, B:
A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ A ∈ B}.
Кажуть, що множини не перетинаються, якщо A ∩ B = ∅
Приклади:
{1, 2} ∩ {червоний, білий} = ∅
{1, 2, зелений} ∩ {червоний, білий, зелений} = {зелений}
{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}
Деякі властивості перетину:
A ∩ B = B ∩ A
A ∩ B ⊆ A
A ∩ A = A
A ∩ ∅ = ∅
Симетрична різниця множин
Симетрична різниця множин A та B є така множина елементів, які містяться в одній з цих двох множин, але не в обох. Позначається як AΔB.
Наприклад, симетрична різниця множин {1,2,3} та {3,4} є {1,2,4}.
Деякі властивості симетричної різниці:
A Δ B = (A − B) ∪(B − A)
A Δ B = (A ∪B) − (A ∩B)
Потужність множини
Практично всі з розглянутих вище множин має визначену кількість елементів. Наприклад, множина А з розділу "Способи задання множин" має 4 елементи, множина B - три елементи. Порожня множина має нуль елементів. Існують множини, які мають нескінченну кількість елементів. Такою є множина ℕ всіх натуральних чисел. Поняття потужності множин стає важливим в контексті встановлення відношень між множинами. Зрозуміло, наприклад, що взаємооднозначне відношення між множинами А та B можливо встановити лише коли кількість їхніх елементів збігається. Особливо важливою проблема порівняння потужності постає для множин з нескінченною кількістю елементів. Виявляється, що потужності таких множин можуть бути не рівними, і це призводить до деяких цікавих наслідків.
Декартів добуток множин
Декартів добуток (прямий декартів добуток) множин X та Y - це множина усіх можливих впорядкований пар або кортежів, першими компонентами яких є елементи множини X, а другими - елементи множини Y.
Декартів добуток множин X та Y позначається як X × Y: X × Y = { (x, y) | x ∈ X ∧ y ∈ Y }
Тут впорядкована пара (x, y) елементів x, y є множина {{x}, {x, y}}, яка має таку властивість, що (x, y) ≠ (y, x).
Множена дійсних чисел-сукупність усіх раціональних та ірраціональних чисел.
Дійсні числа можна зображувати точками числової осію
Дійсні числа - це позитивні числа, негативні числа або нуль. Всі дійсні числа діляться на раціональні та ірраціональні. Перші - це числа, представлені у вигляді дробу. Другі - це дійсне число, що не є раціональним.