Вакарчук І.О. Квантова механіка

Зосередимо увагу на величинi

pn=−∞

до якої застосуємо формулу Ейлера–Маклорена (Див. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. М.: Наука, 1970. С. 540–544):

Bk k-те число Бернуллi (B1 = 1/6, B2 = 1/30, . . .). Ми не обговорюємо тут умов для функцiї f(n), а зауважимо лише, що цей

ряд, узагалi кажучи, є асимптотичним. Отже, в нашому випадку

У границi L → ∞ внесок другого доданка i решти, що позначенi

крапками, порiвняно з першим є зникаюче малим. Тому “виживає” лише ведучий член, тобто перший. Отже, в границi L → ∞

пiдсумовування за хвильовими векторами замiнюється iнтеґруванням за схемою:

81

Вiдповiдно до цього при L → ∞

що ми й мали при розглядi руху частинок у необмеженому об’- ємi простору. Вiдповiднi замiни в тривимiрному випадку мають вигляд:

82

3◦. xδ(x) = 0, δ′(x) = −δ(x)dxd .

Приклад. Знайти розподiл за iмпульсами для гармонiчного осцилятора з хвильовою функцiєю (основний стан гармонiчного осцилятора)

амплiтуда квантових коливань, m маса осцилятора, ω частота,

Z +∞

|ψ(x)|2dx = 1.

−∞

Знаходимо амплiтуду

83

§ 6. Середнi значення координати та iмпульсу

Уведемо позначення для середнiх значень: замiсть слiв “сере-

ки в околi dx точки x (розглянемо одновимiрний випадок). Тому,

за означенням, середнє значення координати

ZZ

hxi = x|ψ(x)|2dx = ψ (x)xψ(x)dx.

Iнтеґрування вiдбувається по всьому промiжку значень x: для частинки в обмеженому об’ємi x [−L/2, L/2], а у випадку безмежного об’єму x (−∞, +∞). Очевидно

Нехай тепер у цьому ж станi ψ(x) необхiдно знайти середнє значення iмпульсу частинки hpi. Розкладемо ψ(x) у ряд за пло-

скими хвилями:

X

ψ(x) = C(p)ψp(x),

p

84

Z

C(p) = ψp(x)ψ(x)dx,

ψ (x) = 1 eipx/~.

p √

L

Згiдно з принципом суперпозицiї, величина |C(p)|2 дорiвнює ймовiрностi того, що частинка має iмпульс p. Тому середнє значення iмпульсу

Спробуймо тепер так записати вираз для середнього значення iмпульсу, щоб не розраховувати величину C(p), а знайти це середнє безпосередньо з ψ(x). Скористаймось явним виглядом для коефiцiєнтних функцiй C(p):

Розгляньмо окремо другий iнтеґрал i виконаймо ряд простих перетворень:

=iнтеґрування частинами

85

З граничних умов перiодичностi

ψ(x) = ψ(x + L)

при x = −L/2 випливає, що

ψ(L/2) = ψ(−L/2),

i отже, вираз у фiгурних дужках дорiвнює нулевi. Тому

Тепер, повертаючись до середнього значення iмпульсу, маємо:

Уведемо символiчне позначення для операцiї похiдної

pˆ = −i~dxd

i “обiзвемо” цей оператор оператором iмпульсу. Таким чином,

Z

hpi = dx ψ (x)ˆpψ(x).

Формула подiбна до середнього значення координати,

Z

hxi = dx ψ (x)xψ(x),

лише з тiєю рiзницею, що для hpi маємо пiд iнтеґралом оператор

диференцiювання.

86

Аналогiчно доводимо, що

Z

hp2i = dx ψ (x)ˆp2ψ(x),

де квадрат оператора iмпульсу

pˆ2 = pˆpˆ = −~2 d2 . dx2

Ми вже можемо розраховувати середнє значення кiнетичної енерґiї частинки маси m у станi ψ:

оператор кiнетичної енерґiї.

Якщо частинка рухається в зовнiшньому полi з потенцiальною енерґiєю U(x), то середнє значення повної енерґiї E в станi ψ до-

рiвнює сумi середнiх значень кiнетичної та потенцiальної енерґiй:

Цей оператор називають також оператором Гамiльтона, або просто гамiльтонiаном.

87

Середнє значення кiнетичної енерґiї можна записати, iнтеґруючи частинами, ще й так:

Бачимо, що ця величина є завжди додатною, як i повинно бути за означенням. Тепер середнє значення повної енерґiї

Узагальнимо нашi результати на тривимiрний випадок. Середнє значення координати r у станi ψ(r)

Z

hri = ψ (r)rψ(r)dr,

для довiльної функцiї U(r)

Z

hU(r)i = ψ (r)U(r)ψ(r)dr.

Для середнього значення iмпульсу p

Z

hpi = ψ (r)pˆψ(r)dr,

де вектор оператора iмпульсу

pˆ = ipˆx + jpˆy + kpˆz;

88

а гамiльтонiан частинки з потенцiальною енерґiєю U(r)

Таким чином, ми ввели поняття оператора iмпульсу, операторiв кiнетичної та повної енерґiї частинки, якi вiдiграють винятково важливу роль у квантовiй теорiї.

§7. Спiввiдношення невизначеностей Гайзенберґа

Узв’язку з iмовiрнiсною iнтерпретацiєю хвильової функцiї та обчисленням середнiх значень фiзичних величин, зокрема таких, як координати та iмпульси частинок, виникає задача розрахунку вiдхилень цих величин вiд середнiх значень. Кiлькiсною характеристикою таких вiдхилень є середньоквадратичнi вiдхилення.

Уквантовiй механiцi, на вiдмiну вiд того, що ми маємо у класичнiй теорiї, цi величини, взагалi кажучи, не є незалежними. Уперше цей зв’язок для координат та iмпульсiв установив В. Гайзенберґ у 1927 роцi.

Нехай стан частинки описується хвильовою функцiєю ψ(x),

а середнi значення її координати та iмпульсу в цьому станi дорiвнюють вiдповiдно hxi та hpˆi. Уведiмо позначення для операторiв

89

i застосуймо до нього нерiвнiсть Буняковського–Шварца13

Зауважимо, що знак рiвностi має силу за умови, що f1(x) =

f2(x) × const.

Далi маємо

ZZ

ZZ

Z

c 2 h c 2i

=ψ (x)( p) ψ(x)dx = ( p) .

13Вiктор Якович Буняковський народився в м. Барi Вiнницької областi в

1804 роцi, помер у 1889 роцi в Петербурзi. Навчався в Парижi. Вiн довiв цю нерiвнiсть у 1859 р., а Г. А. Шварц опублiкував її в 1884 р.

90