Вакарчук І.О. Квантова механіка

то з потрiбною нам точнiстю

χ= (2σˆmcpˆ) ϕ

i умова нормування (“перекидаємо” при цьому дiю оператора pˆ з ϕ+ на ϕ, користуючись його самоспряженiстю)

яка нормується без “вагового оператора” (див. §2)

Z

ψSch+ ψSch dq = 1

i тому має звичайний змiст густини ймовiрностi. Отже,

Тепер наближене рiвняння Дiрака для шрединґерiвської хвильо-

621

Зберiгаючи прийняте наближення 1/c2, операторнi коренi розкла-

даємо в ряд:

Перемножуючи цi вирази з тiєю ж точнiстю, знаходимо рiвняння:

ˆ ˆ ′

+ eV + 1H + 2H ψSch = E ψSch,

де поправка другого порядку до гамiльтонiана за параметром 1/c2

Отримане рiвняння має вигляд рiвняння Шрединґера з урахува-

Спростимо цей вираз. По-перше, (σˆ pˆ)2 = pˆ2, а по-друге, величину (E′ − eV ) можна замiнювати на оператор кiнетичної енерґiї

622

pˆ2/2m, маючи на увазi, що розрахунок середнiх значень, за теорi-

єю збурень, здiйснюється на хвильових функцiях нульової задачi, тому:

= (E′ − eV )pˆ2 + 2ie~( V pˆ) + e~2 2V.

Отже, маємо, що

(E′ − eV )pˆ2 = pˆ4 − e~2 2V − 2ie~( V pˆ). 2m

Зрозумiло, що лiву частину цiєї рiвностi ми також можемо записати як pˆ4/2m, звiдки, мiж iншим, отримуємо цiкаву операторну

(σˆ V )(σˆ pˆ) = ( V pˆ) + i(σˆ [ V pˆ]).

8Читач може здивуватись, що ми нiбито з нiчого отримали цей зв’язок.

Iз цього приводу можна сказати, що “вгадування” як фундаментальних зв’язкiв мiж рiзними явищами, так i передбачення на їхнiй основi нових явищ та закономiрностей нерiдко ґрунтується на використаннi тотожностi “нуль дорiвнює нулевi”. Потрiбно лише вдало вибирати цi “нулi”. Для iлюстрацiї

значення xn за розподiлом Ґаусса, не розраховуючи явним чином iнтеґрали. Для непарних n цi середнi дорiвнюють нулевi, а для n = 2, 4, . . . маємо лан-

ти, наприклад, x4 або будь-яку iншу функцiю ϕ(x). А взагалi, встановлення

рiзних зв’язкiв, якi iснують у природi, хоч i дає iнтелектуальне задоволення, насправдi, є визнанням нашого безсилля збагнути Свiт через безмежну кiлькiсть зв’язкiв. Стовiдсоткове знання зовсiм не потребує встановлення окремих зв’язкiв, але воно позбавляє нас насолоди iнтелектуальної творчостi.

623

Тепер, збираючи все разом, знаходимо

Нехай потенцiал V = V (r) є центрально-симетричним, тодi

Тут ми використали означення оператора ˆ i оператора спiну ча-

L

стинки ˆs = ~σˆ /2.

Таким чином, поправка

Перейдемо тепер до обговорення фiзичного змiсту кожного

здоданкiв у цьому виразi. Перший член це вiдома вже нам

зрiвняння Кляйна–Ґордона–Фока поправка на залежнiсть маси частинки вiд швидкостi. Другий член має назву оператора спiнорбiтальної взаємодiї. Вiн має змiст енерґiї взаємодiї власного магнiтного моменту електрона з магнiтним полем, створеним ядром (протоном), яке в системi вiдлiку електрона рухається навколо нього. Дiйсно, ця взаємодiя в класичному випадку має вигляд:

E = −(µH),

де µ магнiтний момент частинки, а магнiтне поле в нереляти-

вiстськiй межi

H = 1c [Ev] = −1c [ V v] = −mc1 [ V p],

де

E= − V

напруженiсть електричного поля. Векторний добуток

[ V p] = 1r dVdr [rp] = 1r dVdr L.

624

Отже,

E = 1 1 dV (µL) mc r dr

i вiдповiдний оператор

З точнiстю до 1/2 цей вираз справдi збiгається з оператором спiн-

орбiтальної взаємодiї. Ми не будемо обговорювати тут цiєї “половинки” Л. Томаса, який уперше в 1926 роцi з класичних мiркувань знайшов вираз для спiн-орбiтальної взаємодiї, розглядаючи електрон як дзиґу. Проблема “половинки” Томаса пов’язана з неiнерцiальнiстю системи вiдлiку, у якiй електрон перебуває в станi спокою.

Про останнiй доданок у ˆ часто говорять, що йому важко

H2

надати змiст i вiн не має класичного аналога. На наш погляд, це не зовсiм так. Насамперед, вiн вiдмiнний вiд нуля тiльки в тих точках, де є заряди. Справдi, потенцiал V задовольняє рiвняння

Пуассона

2V = −4πρ,

де ρ = ρ(r) густина зарядiв, що створюють електростатичне

поле. Таким чином, останнiй член у ˆ

H2

~2e 2V = − πe~2 ρ, 8m2c2 2m2c2

i вiн не дорiвнює нулевi в тих точках простору, де густина зарядiв ρ 6= 0. Наприклад, якщо заряд ядра атома величиною |e|Z знаходиться в початку координат, то ρ = |e|Zδ(r). Отже, внесок в

енерґiю вiд цього оператора дають такi траєкторiї руху електрона, якi проходять крiзь ядро, тобто коли орбiтальний момент кiлькостi руху електрона L дорiвнює нулевi. Тому цей доданок можна

трактувати як спiн-орбiтальну взаємодiю, “аналiтично продовжену” на випадок, коли L → 0, r → 0. У виразi для середнього

значення оператора спiн-орбiтальної взаємодiї ми одержимо при цьому невизначенiсть “нуль на нуль”, коректно розкриваючи яку,

625

отримаємо вираз, що збiгається з внеском вiд останнього доданка

Приклад. Довести рiвнiсть h V i = −h 2V /2i.

Комплексне спряження оператора ( V ) не змiнює його, тому середнє

Тому ми можемо записати в операторнiй формi, що

( V ) = − 2V/2

або

2i( V pˆ) = −~ 2V.

Зрозумiло, що такий символiчний запис має змiст лише при обчисленнi середнiх.

§ 77. Атом водню з урахуванням релятивiстських поправок

Застосуймо рiвняння Дiрака до вивчення атома водню. Хоча воно має точний розв’язок для цiєї задачi, ми обмежимось квазiрелятивiстським наближенням. Це пов’язано з тим, що вихiд за наближення 1/c2 потребує, як ми вже зазначали, урахування

радiацiйних поправок.

Отже, нехай векторний потенцiал поля A = 0, а скалярний V

є потенцiалом поля ядра,

eV = −e2 . r

626

Якщо ядро має заряд |e|Z, то в остаточних формулах зробимо замiну e2 на Ze2. Нас цiкавить енерґетичний спектр атома, який

ми знайдемо методом теорiї збурень. Енерґiя

E = E(0) + E(1),

де нульове наближення це власне значення нерелятивiстського гамiльтонiана

вих функцiях електрона атома водню

ψn,l,m = Rn,l(r)Yl,m(j)(θ, ϕ)

з тим, що кутова функцiя тепер є сферичним спiнором. Вiдповiдно

до того, що h ˆ i складається з трьох доданкiв, поправка

2H

Вираз для першого доданка запозичмо iз задачi про π-

мезонний атом у теорiї Кляйна–Ґордона–Фока:

627

Другий доданок, оскiльки радiальнi та кутовi змiннi роздiлюються,

Оскiльки оператор спiн-орбiтальної взаємодiї для s-станiв, коли

628

то

Як бачимо, ця величина дорiвнює E2(1) в межi l → 0. Це повнiстю

оператора спiн-орбiтальної взаємодiї в межi, коли орбiтальний момент iмпульсу електрона прямує до нуля. Класичною мовою це означає, що траєкторiя електрона проходить крiзь ядро.

Зберемо тепер отриманi результати разом. Для j = l + 1/2

де стала тонкої структури α = e2/~c 1/137. Замiсть l запишемо j − 1/2:

Якщо переписати цей вираз через j, то ми знову отримаємо той самий вираз, що й для j = l+1/2. Отже, остаточно релятивiстська

поправка до формули Бора для рiвнiв енерґiї електрона в атомi водню (формула тонкої структури енерґетичних рiвнiв)

j = l ± 1/2; l = 0, j = 1/2.

Зауважимо, що цей вираз вiдрiзняється вiд виразу, який дає рiвняння Кляйна–Ґордона–Фока, тим, що в ньому, замiсть орбiтального квантового числа l, стоїть число j. Такими чином, рiвняння

Дiрака враховує спiн електрона.

629

З урахуванням спiну електрона квантовi стани нумеруються, як i ранiше, за головним квантовим числом n i орбiтальним l

зiндексом при ньому, який указує значення j. Наприклад, стан

зn = 1, l = 0, j = 1/2 позначають як 1s1/2, стан з n = 2, l = 1, j = 3/2 як 2p3/2. Розрахуємо розщеплення енерґетичних рiвнiв

2s1/2 та 2p3/2-станiв:

me4 α2

= E2p3/2 − E2s1/2 = ~2 32 .

Ця величина добре узгоджується з експериментально вимiряними значеннями, на вiдмiну вiд формули теорiї Кляйна–Ґордона– Фока, яка враховує лише поправку на залежнiсть маси електрона вiд швидкостi (там, замiсть 1/32, стоїть 1/12).

Як бачимо, теорiя Дiрака в проблемi Кеплера не повнiстю знiмає виродження: наприклад, стани 2s1/2 i 2p1/2 мають одне й теж

значення енерґiї. Подальше зняття виродження дають радiацiйнi поправки, якi враховують дiю на електрон флюктуацiй напруженостей електромагнiтного поля у вакуумному станi. Це разом iз взаємодiєю “спiн електрона–спiн ядра” дає надтонку структуру енерґетичного спектра атомiв.

Радiацiйнi поправки призводять до змiщень енерґетичних рiвнiв електрона в атомi, якi мають назву лембiвського зсуву9. Це змiщення можна розрахувати на основi таких простих мiркувань. Унаслiдок взаємодiї електрона з нульовими коливаннями електромагнiтного поля, його радiус-вектор r набуває додаткового змiщення δˆr. Вiдповiдно до цього, потенцiальна енерґiя, яка вхо-

дить у рiвняння Дiрака, це є усереднена за вакуумним станом поля величина V (r + δˆr). Розкладаючи її в ряд за малими змiщеннями (дрижаннями) δˆr, знаходимо, що ця потенцiальна енерґiя

дорiвнює

hV (r + δˆr)i = V (r) + hδˆri V (r) + 2!1 h(δˆr )2iV (r) + · · · .

Оскiльки середнє hδˆri = 0, а усереднення за кутами в третьому

9У 1955 роцi У. Лемб за вiдкриття цього зсуву в структурi енерґетичного

спектра атома водню нагороджений Нобелiвською премiєю.

630